新高考數(shù)學(xué)二輪專題《立體幾何》第3講 空間中兩直線所成的角（解析版）

1、第3講 空間中兩直線所成的角一選擇題（共8小題） 1空間四邊形的兩對邊，、分別是、上的點(diǎn)，且，則與所成角大小為ABCD【解答】解：過點(diǎn)作的平行線，交于，連結(jié)，、分別是、上的點(diǎn)，且，是與所成角或所成角的補(bǔ)角，由余弦定理得，異面直線和所成的角為故選：2在正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為ABCD【解答】解：在正方體中，、是、的中點(diǎn)，設(shè)取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)，、所成的角即為與所成的角利用勾股定理得： 在中，利用余弦定理故選：3過正方體的頂點(diǎn)的平面與直線垂直，且平面與平面的交線為直線，平面與平面的交線為直線，則直線與直線所成角的大小為ABCD【解答】解：如圖，平面，則，同理，則平面，過

2、正方體的頂點(diǎn)的平面與直線垂直，平面平面，平面平面，平面平面，直線與直線所成角即為與所成角為等邊三角形，直線與直線所成角的大小為故選：4已知正四面體中，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為ABCD0【解答】解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，異面直線與所成的夾角就是與所成的夾角，由題意：設(shè)正四面體的棱長為，則，由余弦定理可得故選：5如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，則直線和所成角的度數(shù)是ABCD【解答】解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，0，0，2，0，2，設(shè)直線和所成角為，則，直線和所成角為故選：6如圖，在長方體中，則異面直線與所成角的大小為ABCD【解答】解：如圖

3、：連結(jié)，則異面直線與所成角為，在中，；則，故選：7在直三棱柱中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線和所成角的余弦值是ABCD【解答】解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，0，0，2，0，2，設(shè)直線和所成角為，則故直線和所成角的余弦值是故選：8在直三棱柱中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，當(dāng)二面角為時(shí)，直線與的夾角為ABCD【解答】解：由題意可得為二面角的平面角，為等腰直角三角形，連，取得中點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，平行且等于，或其補(bǔ)角，即為直線與的夾角由于，由余弦定理可得，故選：二填空題（共6小題）9平面過正方體的棱，平面，平面，則直線與直線所成角的正弦值為【解答】解：由題意，在正方體的

4、一邊在補(bǔ)形一個(gè)正方體，平面過棱，的屏幕為，且平面，平面，如圖，可知為對角線，通過平移，直線與直線所成角為，都是正方體的對角線，為等邊三角形，因此故答案為：10圖，分別是三棱錐的棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為【解答】解：取的中點(diǎn)，連接，由中位線定理可得：，且，是異面直線，所成的角（或所成角的補(bǔ)角），在中由余弦定理可得：，異面直線與所成的角為：故答案為：11將正方形沿對角線折成直二面角，與平面所成角的大小為；是等邊三角形；與所成的角為；二面角為則上面結(jié)論正確的為【解答】解：將正方形沿對角線折成直二面角，設(shè)對角線的交點(diǎn)為則，平面，又建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系不妨取則，0，0，1，0，0，0，0

5、，0，與平面所成角為，大小為，因此不正確，可得是等邊三角形，正確，1，1，與所成的角為，因此正確由已知可得：平面，因此正確，0，設(shè)平面的法向量為，則，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，1，則，可得二面角為鈍角因此不正確綜上可得：只有正確故答案為：12在正四棱柱中，分別是線段與上的動(dòng)點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為，線段的長度的最小值為 【解答】解：以為原點(diǎn)，為軸，這軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，0，1，1，1，0，1，設(shè)異面直線與所成角為，異面直線與所成角的余弦值為設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，線段的長度取得最小值故答案為：，13如圖，長方體中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則異面

6、直線與所成的角的余弦值是0【解答】解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，0，0，2，1，0，異面直線與所成的角的余弦值為0故答案為：014如圖，長方體中，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角為【解答】解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，0，0，2，1，0，設(shè)異面直線與所成角為，異面直線與所成角為故答案為：三解答題（共4小題）15空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，且，求異面直線與所成角的大小【解答】解：取中點(diǎn)，連結(jié)、，、分別是、的中點(diǎn)，且，且，且，是異面直線與所成角，異面直線與所成角的大小為16四面體的棱長均為，、分別為棱、的中點(diǎn)，求異面直線與所成的

7、角的余弦值【解答】解：由題意可得四面體為正四面體，如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，則，故即為所求的異面直線角或者其補(bǔ)角設(shè)這個(gè)正四面體的棱長為2，在中，中，由余弦定理可得17長方體中，已知，且，求：（1）下列異面直線之間的距離：與；與；與（2）異面直線與所成角的余弦值【解答】（1）解：為異面直線與的公垂線段，故與的距離為為異面直線與的公垂線段，故與的距離為過作，垂足為，則為異面直線與的公垂線，即與的距離為（2）解法一：連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、，則，就是異面直線與所成的角，在中，解法二：如圖，在原長方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)同樣的長方體，連接、，則，（或其補(bǔ)角）為與所成的角，在中，故所求的余弦值為18如圖所示，在三棱柱中，底面，點(diǎn)、