學(xué)以致用講“概型”

1、PAGE PAGE 9學(xué)以致用講“概型” 以幾何概型教學(xué)為例教育家陶行知先生曾說(shuō)過(guò)：“生活即教育?！薄疤岢谏钪袑ふ医逃嬷B，把生活和教育有機(jī)地結(jié)合在一起?！鄙钪刑幪幪N(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)，在實(shí)際教學(xué)中，教師如果能夠以學(xué)生所熟知的生活經(jīng)驗(yàn)作為切入點(diǎn)，結(jié)合本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容適時(shí)引入，能把學(xué)生的好奇心激發(fā)出來(lái)，把他們主動(dòng)探究知識(shí)的欲望調(diào)動(dòng)起來(lái)。同時(shí)教師也要指導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用到日常生活中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題，用知識(shí)武裝自己，讓知識(shí)更好地服務(wù)于我們的日常生活，達(dá)到教育教學(xué)最終目的。學(xué)以致用就是建立在這個(gè)基礎(chǔ)上的。下面，以執(zhí)教幾何概型為例，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)以致用。一、溫故知

2、新師：同學(xué)們好！生（站，齊答）：老師好！師：前面我們學(xué)習(xí)了古典概型，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下古典概型的特點(diǎn)。生：每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的；基本事件總數(shù)是有限個(gè)。師：古典概型的計(jì)算公式是什么？生：。師（追問(wèn)）：分別指的什么含義？生：是基本事件總數(shù)，是事件包含的基本事件數(shù)。師：我們來(lái)感受一下這樣一個(gè)問(wèn)題情境。（多媒體“情境1 某公司為慶祝開業(yè),進(jìn)行隆重的剪彩儀式,一根長(zhǎng)3米的彩帶,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長(zhǎng)都不少于1米的概率有多大?”）（待學(xué)生讀完后拿出備好的彩帶和剪刀）師：哪位同學(xué)到臺(tái)上來(lái)嘗試一下剪裁實(shí)驗(yàn)？（找三名同學(xué)，兩名拿彩帶，另外一名來(lái)剪。）師：我們暫時(shí)先不來(lái)剪開，先找到剪彩的辦法再

3、來(lái)剪。生：彩帶一共3米，要求剪得的兩段長(zhǎng)都不少于1米，所以將彩帶平均分成三段，每段為1米，在中間一段任意一點(diǎn)處剪都可以，概率是。師：這個(gè)實(shí)驗(yàn)的基本事件是什么？生：在彩帶上任意一點(diǎn)處剪斷。師：每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的嗎？生：是等可能的。師：在1米到2米之間剪都可以，你剪的這種情況有多少種？生：無(wú)數(shù)種。師：我們能不能從剛才的情境中抽象、歸納出一個(gè)一般的結(jié)論？剛才的概率是怎么算出來(lái)的，那位同學(xué)說(shuō)說(shuō)看？生：可發(fā)生區(qū)域的總長(zhǎng)度比上總長(zhǎng)度。師：非常好，他給我們抽象出了一個(gè)很好的結(jié)論，構(gòu)成事件的區(qū)域長(zhǎng)度比上全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度。（多媒體“”）師：我們?cè)賮?lái)看一個(gè)問(wèn)題情境。（多媒體 情境2 蘇果超市在某節(jié)

4、日搞促銷活動(dòng),凡購(gòu)物滿68元者便可參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)到紅色區(qū)域便可獲得一等獎(jiǎng)，轉(zhuǎn)到黃色區(qū)域獲得二等獎(jiǎng)，轉(zhuǎn)到藍(lán)色區(qū)域獲得三等獎(jiǎng)，轉(zhuǎn)到其他區(qū)域沒有獎(jiǎng)，則獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率分別多大？）生（齊答）：，。（教師拿出自制的轉(zhuǎn)盤，做示范轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到藍(lán)色區(qū)域）師：我今天運(yùn)氣不夠好，抽到三等獎(jiǎng)。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，你們很快的說(shuō)出概率是，是根據(jù)直覺和經(jīng)驗(yàn)得出的結(jié)果，還是有合理的解釋？生：轉(zhuǎn)盤平均分成8份，紅色區(qū)域占一份，所以概率是；黃色區(qū)域占兩份，概率是，藍(lán)色區(qū)域占三份，概率是。師：為什么可以這樣考慮？能不能按照情境1的思路來(lái)回答？該實(shí)驗(yàn)的每個(gè)基本事件是什么？生：每個(gè)基本事件是指針轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)盤上每一點(diǎn)，指針轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)

5、盤上每個(gè)位置是等可能發(fā)生的。師：基本事件全部結(jié)果構(gòu)成的總區(qū)域是什么？生：圓的面積。師：中一等獎(jiǎng)這個(gè)事件發(fā)生的區(qū)域是什么？生：紅色區(qū)域的面積。師：剛才大家說(shuō)的概率應(yīng)該是怎么算出來(lái)的？生：構(gòu)成事件的區(qū)域面積比上全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積。師：很好，這位同學(xué)為我們抽象出了求概率的又一個(gè)一般性的結(jié)論。（多媒體“”）師：我們?cè)賮?lái)看一個(gè)情境。（多媒體 情景3 有一杯1升的水，其中漂浮有1個(gè)微生物，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個(gè)微生物的概率.）師：我們都學(xué)過(guò)生物，知道微生物用肉眼是看不到的，所以它隱藏在哪我們是不知道的，那么小杯水中含微生物的概率是多少？生 ：微生物在一升水中任意一點(diǎn)處是

6、等可能發(fā)生的，當(dāng)微生物位于小杯0.1升水內(nèi)任意一點(diǎn)時(shí)事件發(fā)生，概率是。師：誰(shuí)能從這個(gè)情境抽象出一個(gè)一般性的結(jié)論？生：構(gòu)成事件的區(qū)域面積比上全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積。師：很好！我們又得到了求概率的一個(gè)一般性結(jié)論。（多媒體“”）師：剛才我們考慮了三個(gè)問(wèn)題情境，大家思考一個(gè)問(wèn)題：這三個(gè)問(wèn)題情境有什么共同特點(diǎn)？可以對(duì)比我們復(fù)習(xí)過(guò)的古典概型的特點(diǎn)。生：基本事件有無(wú)限多個(gè)。師：古典概型的所有基本事件有有限個(gè)，這是區(qū)別。有共同點(diǎn)嗎？（學(xué)生沉默了一會(huì)，教師提醒）師：剛才三個(gè)情境，第1個(gè)在彩帶上任意一點(diǎn)處剪斷，第2個(gè)指針轉(zhuǎn)到每一點(diǎn)的機(jī)會(huì)，第3個(gè)微生物在杯子中每一點(diǎn)是生：等可能的。師：再說(shuō)完整一點(diǎn)。生：每個(gè)基本事

7、件的發(fā)生是等可能的。（多媒體 兩個(gè)基本特點(diǎn)）師：滿足這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型我們稱之為幾何概型。二、欲用先學(xué)（板書“幾何概型”，“幾何概型特點(diǎn)”，“幾何概型定義”）師：某某，把幾何概型的定義讀一下，其他同學(xué)一邊聽一邊理解。（幾何概型定義文字比較長(zhǎng)沒有具體板書，投影到屏幕上，為加深印象，讓學(xué)生讀一遍）生：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣;而一個(gè)隨機(jī)事件A的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn).事件A發(fā)生的概率與d的測(cè)度（長(zhǎng)度、面積、體積）成正比，與d的形狀、位置無(wú)關(guān)，滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型

8、.師：定義比較長(zhǎng)，不容易記住，我們可以抓住關(guān)鍵詞，這里有幾個(gè)區(qū)域？生：兩個(gè)。師：對(duì)，D的區(qū)域和d的區(qū)域。分別表示什么區(qū)域？生：D表示整個(gè)區(qū)域，d表示事件A所包含的區(qū)域。師：事件A的概率怎么求的？生：長(zhǎng)度之比，面積之比，體積之比。師：在這里，長(zhǎng)度、面積、體積我們統(tǒng)稱為測(cè)度。所以幾何概型概率計(jì)算公式為。（板書 ）師：這里的測(cè)度指的長(zhǎng)度、面積、體積，后面還會(huì)涉及其他的情況。二、學(xué)以致用師：學(xué)了知識(shí)就要運(yùn)用，學(xué)以致用。我們來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題。（多媒體 例1 （1） x的取值是區(qū)間1,4中的整數(shù)，任取一個(gè)x的值，求“取得值大于2”的概率；（2）x的取值是區(qū)間1,4中的實(shí)數(shù)，任取一個(gè)x的值，求“取得值大于2

9、”的概率.）（思考2分鐘）生：（1）是古典概型，（2）是幾何概型。師：為什么？問(wèn)題（1）是古典概型，具體怎么分析？要求概率需要哪些量？生：基本事件總數(shù)是4，記“取得值大于2”為事件，事件包含的事件數(shù)為2，。師：很好！問(wèn)題（2）怎么分析？生（猶豫片刻）：將區(qū)間分成3份，（改口）4份。師：不清楚是3份，還是4份可以怎么辦？生（齊答）：畫個(gè)圖。師：對(duì)，畫圖。數(shù)學(xué)中常用的一種方法就是數(shù)形結(jié)合。接著剛才的問(wèn)題，3份還是4份？生：3份，“取得值大于2”占其中的2份，概率是。師：這兩個(gè)問(wèn)題一字之差，做法、結(jié)果完全不同。他回答的很好，我們來(lái)一起規(guī)范一下書寫格式。（教師板書，第（1）問(wèn)由學(xué)生說(shuō)，教師寫；第（2）

10、問(wèn)師生共同完成，邊寫邊講注意事項(xiàng)）（板書 解：（1）基本事件總數(shù)為4個(gè)， 記“取得值大于2”為事件，包含2個(gè)基本事件， 所以。 答：“取得值大于2”的概率為。 （2）記“取得值大于2”為事件，基本事件總區(qū)域?yàn)榫€段AC，當(dāng)取得數(shù)位于線段BC上時(shí),事件A發(fā)生 所以 答：“取得值大于2”的概率為。師：所以求概率問(wèn)題我們首先要判斷這個(gè)問(wèn)題是古典概型還是幾何概型。我們來(lái)看下一個(gè)例題。（多媒體 例2. 某人午覺醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.）師：我們都知道電臺(tái)報(bào)時(shí)是什么時(shí)間報(bào)時(shí)??？生（齊答）：整點(diǎn)報(bào)時(shí)。師：這個(gè)問(wèn)題怎么考慮？我這里有一個(gè)時(shí)鐘模型，想象不出

11、來(lái)的話可以動(dòng)手操作一下。（教師拿出自制的模型旋轉(zhuǎn)分針，學(xué)生開始在下面小聲討論）師：誰(shuí)來(lái)回答？生1：分針在每一點(diǎn)位置是等可能的，所有基本事件構(gòu)成圓面，“等待時(shí)間不多于10分鐘”分針位于10到12之間，構(gòu)成區(qū)域?yàn)樯刃?，扇形面積占圓面積的，所以概率是。師：剛才這位同學(xué)是利用面積之比做的。還有其他思路嗎？生2（舉手）：將周分成12份，“等待時(shí)間不多于10分鐘”占2份，用弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)之比求，概率為。師：生2給我們提供了另外一種思路，指針可以看作長(zhǎng)一點(diǎn)，分針端點(diǎn)落在圓周上每一點(diǎn)是等可能的，弧長(zhǎng)占圓周長(zhǎng)的，所以概率是?；￠L(zhǎng)計(jì)算公式是什么，還記得嗎？假設(shè)半徑為。（沒有學(xué)生回答，教師補(bǔ)充）師：如果扇形的半徑是，

12、圓心角是，則扇形弧長(zhǎng)，公式是由圓的周長(zhǎng)公式推導(dǎo)的。類似的，扇形面積。師：“有誰(shuí)還想到其他方法了？“生（舉手）：一周是，該事件是，比值是。師：很好，她想到了角度之比。我們一起來(lái)完善語(yǔ)言描述。指針轉(zhuǎn)過(guò)每一個(gè)角度是等可能的，所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域周角是，該事件包含的區(qū)域構(gòu)成圓心角是，比值是。師：我們從不同的角度解決了這個(gè)問(wèn)題，說(shuō)明測(cè)度的選擇不是唯一的。繼續(xù)下一個(gè)例題。（多媒體 例3. 一只海豚在水池中游弋，水池為長(zhǎng)30m，寬20m，高為2m的長(zhǎng)方體，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m的概率）師：大家認(rèn)真讀題，計(jì)算一下。（用5分鐘學(xué)生思考書寫，教師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生只注重計(jì)算，沒有注意書寫，教師提醒）師：那位同學(xué)

13、上臺(tái)為大家展示一下板書？（生舉手，上黑板板書）師：他的書寫格式有沒有問(wèn)題？生：沒有。師：結(jié)果呢？生：不對(duì)。他求的是離岸邊超過(guò)2m的概率。師：所以我們做題時(shí)一定要仔細(xì)讀題，看清關(guān)鍵詞，避免這種情況發(fā)生。師：下面我們通過(guò)課堂練習(xí)來(lái)檢驗(yàn)一下是否掌握了幾何概型。四、學(xué)用互助（5分鐘【課堂練習(xí)】：）1在區(qū)間0,10中任意取一個(gè)數(shù)，則它與4之和大于10的概率是 .2已知地鐵列車每10min一班，在車站停1min，則乘客到達(dá)站臺(tái)立即能乘上車的概率為 .3如圖，某人向正方形內(nèi)投鏢，如果他每次都投入正方形內(nèi)，那么他投中陰影部分區(qū)域的概率為 .師：我們找三位同學(xué)來(lái)分析一下3道練習(xí)。生1：第1題基本事件總的區(qū)域是0

14、,10，當(dāng)取得數(shù)位于(6,10時(shí)事件發(fā)生，概率為長(zhǎng)度之比。師：測(cè)度指的是長(zhǎng)度。生2：第2題也是長(zhǎng)度之比總的時(shí)間長(zhǎng)度是10分鐘，立即上車指的是后1分鐘，概率是。師：說(shuō)的很好，立即上車不是立即發(fā)車。生3：首先確定是面積之比，但不知道邊長(zhǎng)。生：設(shè)邊長(zhǎng)。生：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，面積為；陰影部分合起來(lái)是圓，半徑是，面積；比值是。師：回答很好。該題還說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題，概率與幾何區(qū)域的形狀、位置無(wú)關(guān)，至于長(zhǎng)度、面積、體積等有關(guān)。（下課鈴響）師：我們來(lái)一起回顧一下本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容。生：幾何概型的定義、特點(diǎn)、概率計(jì)算公式。師：希望同學(xué)們能用我們今天所學(xué)的內(nèi)容去解決更多的實(shí)際問(wèn)題。下課！幾何概型是在古典概型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步

15、的發(fā)展，是等可能事件的概念從有限到無(wú)限的延伸，是另一種基本的概率模型，在概率論中占有相當(dāng)重要的地位。幾何概型相對(duì)古典概型，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有些抽象，要想準(zhǔn)確理解幾何概型思維概念還有一定的難度。因而，我采用了溫故知新（對(duì)比古典概型）、實(shí)際問(wèn)題情境導(dǎo)入，通過(guò)游戲，使學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象，從特殊到一般的認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)歸納概括出幾何概型的定義及計(jì)算公式，從而突破重點(diǎn)；通過(guò)運(yùn)用生活中的實(shí)際例子讓學(xué)生享受解決實(shí)際問(wèn)題的樂(lè)趣，從而突破難點(diǎn)。課后反思：1.因材施教：學(xué)以致用的方略中學(xué)數(shù)學(xué)的理論是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的高度概括。幾何概型比較抽象，學(xué)生不宜理解。課前準(zhǔn)備一些生活中的道具，如彩帶、轉(zhuǎn)盤、時(shí)鐘，學(xué)生動(dòng)手操作，大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，對(duì)數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際運(yùn)用有了更深層次的認(rèn)識(shí)。有助于培養(yǎng)、提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力。2.注重實(shí)踐：學(xué)以致用的方向每節(jié)課都是一個(gè)體驗(yàn)的過(guò)程，要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題，提出猜想形成的結(jié)論，驗(yàn)證假設(shè)。教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，啟發(fā)學(xué)生積極思考，就是通過(guò)各種有效教學(xué)方式，使學(xué)生處于活潑狀態(tài)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。教學(xué)觀念要以生為本，把教會(huì)學(xué)生作為出發(fā)點(diǎn)，在問(wèn)題的被解決中找到樂(lè)趣，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重要意義。3.活學(xué)活用：學(xué)以致用的關(guān)鍵中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本內(nèi)容中就有發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用能力及創(chuàng)新意識(shí)?？梢娎斫獠⒄莆諗?shù)學(xué)知識(shí)