2023課標版（文理）數(shù)學高考第一輪專題練習-第八章 立體幾何

1、第 頁共56頁2023課標版（文理）數(shù)學高考第一輪專題練習第八草立體幾何第一講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、表面積和體積夯基出考點練透2021浙江島考萊幾何體的三視圖如圖8-1-1所示（單位:cm）,則該幾何體的體積（單位:cn?）是 （| B. 3 C. D. 3V22020全國卷III :f里如圖8-1-2為菜幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是閣 8-1-26+4V2B. 4+4V26+2V3 D. 4+2V32022武漢市部分學校質(zhì)檢某圓柱體的底面直徑和島均與萊球體的直徑相等，則該圓柱體表面積與球體 TOC o 1-5 h z 表面積的比值為（）5 | 4 D.| 2 C.- 3 B.2

2、A.2022山東省部分重點中學綜合考試己知圓錐的側(cè)面積為8 n ,且圓錐的側(cè)而展開圖恰好為半圓，則該圓 錐外接球的表面積為（9n C D.3232018全國卷I 理某圓柱的商為2,底面周長為16,其三視圖如圖8-1-3所示.圓柱表面上的點在正視 圖上的對應點為A,圓柱表面上的點/V在側(cè)視圖上的對應點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從:1/到的路徑中，最短 路徑的長度為()2Vl7 B. 2V5 C. 3 D. 2圖 8-1-32022西安復習檢測在正方體ABCD-Aaa內(nèi)部有兩個球G和漢，已知球0與正方體的三個面相切，球(h 與正方體的六個面相切，且球a與球a也相切.設(shè)球a, a的半徑分別為r r2,

3、則i()r2V3-V2 B. 2-V32021河南重點中學5月仿真三星堆遺址位于四川省廣漢市，距今約三千到五千年.考古學家從三星堆遺址中發(fā)掘出了玉琮(c6ng).玉琮(圖8-1-4(1)是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的禮器.假定某玉琮中間內(nèi)空，形狀對稱，如圖8-1-4(2)所示，圓筒內(nèi)徑長2 cm,外徑長3 cm，筒萵4 cm，中部為棱長是3 cm TOC o 1-5 h z 的正方體的一部分，圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，則該玉琮的體積為()圖 8-1-4(27-)cm3B. (24+-) cm344C. (36-) cm D. (18+-) cm32021重慶5月三診設(shè)某空心球

4、是在一個大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個有相同球心的小球(稱為內(nèi)球) 得到的，己知內(nèi)球面上的點與外球面上的點的最短距離為1，若某正方體的所有頂點均在外球面上，且所有面 均與內(nèi)球相切，則()該正方體的棱長為2該正方體的體對角線長為3+V3空心球的內(nèi)球半徑為力-1空心球的外球表面積為(6+6V3) H2022廣州市模擬若圓臺的上、下底面半徑分別為2,4,萵為2,則該圓臺的側(cè)面積為 .2022長春市質(zhì)量監(jiān)測某公園供游人休息的石凳如圖8-1-5所示，它可以看作是由一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，如果被截正方體的棱長為40 cm,則石凳所對應幾何體的表面積為cm2.2019天津商考理已知四棱錐的底面

5、是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為若圓柱的一個底面的圓周 經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為 .2021東北三省四市聯(lián)考直三棱柱中，所有棱長為1，ZT為棱沒6；的中點，則平面也截三棱柱 ABC-MQ所得截面圖形的面積為 .提能力考法實戰(zhàn)2022鄭州一模已知一圓柱的軸截面為正方形，母線長為7，在該圓柱內(nèi)放置一個棱長為a的正四面體，并且正四面體在該圓柱內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則的最大值為()| B. 1 C. V3 D.2如圖8-1-6所示，在長方體ABCD-AGIX中，AA=2t尸是上的動點，則下列選項正確的是M的最小值為gZW的最小值為的最小值為I). APPCx

6、的最小值為圖 8-1-62021武漢5月質(zhì)檢桌面上有3個半徑為2 021的大球兩兩相外切，在其下方空隙中放入一個小球，該球 與桌面和上述三個大球均相切，則該小球的半徑為（）.2 021D 2 02143C.D.2 02122021全國卷乙以圖8-1-7為正視圖，在圖8-1-7中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某 個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為 （寫出符合要求的一組答案即可）.til圖 8-1-72020新島考卷I 已知直四棱柱ABCD-AGD.的棱長均為2, .以及為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC必的交線長為 .2022陜西百校聯(lián)考欲將一底面半徑為75,體積為3 n的圓錐

7、體模型打磨成一個圓柱體和一個球體相切的模具，如圖8-1-8所示，則打磨成的圓柱體和球體的體積之和的最大值為 .2022廣東六校聯(lián)考己知三棱錐產(chǎn)的頂點戶在底面的射影0為Ji%?的垂心，若S讀.SSpBC、且三棱錐產(chǎn)/f況的外接球半徑為4,則的最大值為 .2021鄂東南5月聯(lián)考科技熱點如圖8-1-9（1）是一款以偵察為主的尤人機,它配備了兩臺火箭發(fā)動機, 動力強勁，最大飛行速度超過3馬赫.如圖8-1-9（2）所示，空間中同時出現(xiàn)了 A，B，C，D四個R標（目標和無人機的大小忽略不計），其中AB=Ab嗣 km, 6373 km,故3 km,且目標A, 所在平面與C、Z?所在平面滿足二面角A-BD-C

8、的大小為n，若無人機可以同時偵測到這四個目標，則其最小偵測半徑為 km.圖 8-1-9國創(chuàng)新預測2021南昌5月模擬如圖8-1-10是一個底面半徑和島都是1的圓錐形容器，勻速給容器注水，則容器中 水的體積K是水面高度*的函數(shù)，記為片/Cr），若正數(shù)私6滿足於壚1，則的最小值為 （）- B.-C.- D.-126432022四川模擬現(xiàn)為菜球狀巧克力設(shè)計圓錐體樣式的包裝盒,要求包裝盒與巧克力球相切，若該巧克力 球的半徑為3,則其包裝盒的體積的最小值為 .第二講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系夯基出考點練透2022蘇州市調(diào)研已知瓜為兩條不同的直線，a,，r為三個不同的平面，則下列命題正確的是（）若

9、 m a, n/ a，則 m n若a丄汐，尸丄盧，且a門y=mt則丄若 me a, nd a, m n/ ，則 a / P若 ml. a、nff 鈴、a 丄盧，則 mA_n2022泉州市質(zhì)量監(jiān)測己知/!及7與/仍所在的平面互相垂直，AO=25t AB=AD=20t及則直線必與直線優(yōu)所成角的余弦值為（）2021重慶市第三次調(diào)考下列結(jié)論中錯誤的是空間中兩兩相交于不同點的三條直線確定一個平面正三棱錐的對棱互相垂直垂直于同一條直線的兩個平面互相平行1).空間一點與兩條界面直線都相交的直線，有且僅有一條2017全國卷I 在下列四個正方體中，及沒為正方體的兩個頂點,A Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中

10、，直線與平面,WW不平行的是2021江蘇常州7月聯(lián)考在空間中，到定線段作的兩個端點P，0距離相等的點的軌跡是(線段松的中點以線段作為直徑的圓線段/幻的中垂線線段/汐的中垂而2021江蘇蘇北四市聯(lián)考已知長方體ABCD-MC中，爐4，B=2, E,尸分別為棱AB, 的中點，平而I截該長方體所得的截面圖形為 邊形.提能力考法實戰(zhàn)2022安徽名校聯(lián)考如圖8-2-1,在直三棱柱ABC-MQ中，AB=AC=1, M=4f ABAC, 為側(cè)的中點，點N在棱O, 6妒3，則異面直線及#與a/所成角的正切值為(1 B.孿 Ci D.孿圖 8-2-12022山西模擬如圖8-2-2所示，在空間四邊形ABC晚點E，分

11、別是邊AB，似的中點，點F、G分別是邊BC，上的點，且完=蕓=$則下列說法正確的是Co Cu 3E，F(xiàn)，G，H四點共面；研與餅異面；與仍的交點似可能在直線/16上，也可能不在直線6?上;研與仍的交點似一定在直線/16上. B. C. D.2022甘肅九校聯(lián)考在劉徽對我國古代數(shù)學名著九章算術(shù)所作注解中有“斜解立方，得兩塹堵”.如圖8-2-3,在正方體ABCD-AIX中“斜解”得到_塹堵ABBDCG,萬為的中點，則異面直線做與從所成的角為（）2021安徽四校聯(lián)考在棱長為1的正方體ABCD-AGI中，點E, A分別是棱 d 氏C、的中點，戶是上底面A、S、M內(nèi)一點，若平面BDEF，則線段長度的取值范

12、圍是（）,V2 B.手孕c 手爭 D與函數(shù)綜合多選題己知正方體ABCD-AM的棱長為1,動點P在正方體表面上運動，若I PA二X、點P的軌跡長度為/CO，則下列結(jié)論正確的有（）C.AV2）=V2nD.A 苧畔如圖8-2-4,已知正方體ABCDA、B、C、IX的棱長為2,點M,:V分別是棱BC，C、D的中點，點戶在平面A、B、C、認內(nèi)，點0在線段/LV上，若PM=yS,則作長度的最小值為. 第三講直線、平面平行的判定及性質(zhì)夯基出考點練透2022貴陽市模擬如圖8-3-1 （1），在梯形 麗）中，AB/CD, CD-2AB, E，尸分別為AD，的中點，以為折痕把AJ/F折起，使點P不落在平面/漢7內(nèi)

13、（如圖8-3-1），那么在以下3個結(jié)論中，正確結(jié)論的個數(shù)是圖 8-3-167W平面/1仰;平面 既/平向BEF.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3如圖8-3-2,在三棱錐J-及7?中，A梹CD=a，Mt N，P，0分別在棱AC, BC，BD, /fZK不包含端點）上，AB,均平行于 平面酮，則四邊形淤W的周長是（）A. 4a B. 2aC.1）.周長與截面的位置有關(guān)2021大慶鐵人中學5月三模關(guān)于空間兩條直線a, b和平面a，下列命題正確的是（）A.若 a/b, be a，則 a/ a若 a/ a, /xz a，則 a/ b若 a丄 a,/丄 a，則 a/b若 a/ a,b/ a，則 a/

14、b2022青島市質(zhì)檢多選題在三棱柱ABC-ACx中，E，F(xiàn)，G,斤分別為線段AAh ACh C、Bh側(cè)的中點，則下列說法正確的是（）EtF,GtH四點共面平面平面ABG直線/L4與份異面直線及7與平面/LW平行下列三個命題在“（）”處都缺少同一個條件，補上這個條件可使這三個命題均為真命題（其中1，m為兩 條不同的直線，a，為兩個不同的平面），則此條件是 .Z II m jm c a m | a 1/ a I | m 1/ o f丄m ml a 1/ o.().2022北京模擬如圖8-3-3所示，在邊長為2的正方體ABCD祕CDs中，點.1/是該正方體表面及其內(nèi)部的 一動點，且側(cè)/#平面A認C，

15、則動點#的軌跡所形成區(qū)域的面積是 .如圖8-3-4所示，四棱錐P-ABCD的底面/腳是直角梯形,BC/AD，ABVAD, AB=BCAD,州丄底面ABCD,過 況的平面交份于MJ/與汐不重合)，交州于況求證:醐BC.若W丄私求的值.VPA BCD圖8-3-4如圖8-3-5,己知四棱柱ABCD-AGa的所有棱長均為2, f為/的中點，尸為做的中點.求證:diF/y 平面 BCE.若及7丄平面ABB、Ah 0=4,求四棱柱ABCD-MGa的表面積.圖 8-3-52022江西五校聯(lián)考如圖8-3-6,四棱錐V，C晚底面是邊長為2的正方形,其他四個側(cè)面都是側(cè)棱長為V5的等腰三角形，ZT為的中點.在側(cè)棱況

16、上找一點A:使份平面 _；并證明你的結(jié)論；在(1)的條件下求三棱錐ZF況y/的體積.圖 8-3-6提能力考法實戰(zhàn)2022甘肅九校聯(lián)考如圖8-3-7,四棱錐P-ABCD的底面必是菱形，及60 ，作丄底面ABCD, E，尸分別是AD, (7?的中點,為即上一點，且尸料肌證明：平面權(quán)淤若PA=AB,三棱錐護從？的體積為#，求PD.角度創(chuàng)題如圖8-3-8所示,是圓0的直徑，點戶在圓0所在平面上的射影恰是圓0上的點C,且=2從;點是PA的中點，卯與劭交于點E，點戶是上的一個動點.求異面直線及7和乃1所成角的大?。喝羝矫鍭BC,求g的值：若點尸為凡的中點，且PCAB=2,求三棱錐產(chǎn)從F的體積.第四講直線、

17、平面垂直的判定及性質(zhì)夯基礎(chǔ)考點練透2017全國卷III在正方體ABCD-ACxlX中，厶為棱仍的中點，則（）A. AxEVDCx B. A.ELBDC. AxELBCy D. AxELAC2022 州市一調(diào)在空間中，a,是兩個不同的平面，/，/7是兩條不同的直線，下列說法錯誤的是（若 ml. a tm/ n, nc P,則 a 丄盧若 a/ P, mV a n 丄冷，則 m n若 a /a ,na 冷，則 mn若 a 丄冷，xz a，a n P=n, mln,則 ml. P數(shù)學文化九章算術(shù)中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.在如圖8-4-1所示的四棱 錐FABCD中，/汐丄平面Am

18、 底面/1及7?是正方形，且PkCD，點E、F分別為凡;州的中點，則圖中的鱉臑有（A. 2 個 B. 3 個 C. 4 個 1）. 5 個圖 8-4-12021浙江高考如圖8-4-2,已知正方體ABCD-AC, M, .V分別是 械0沒的中點，則直線與直線沒沒垂直，直線淤V平面ABCD直線與直線凡?平行，直線J/V丄平面BD祕直線凡2?與直線沒沒相交，直線淤V77平面ABCD直線與直線 似異面，直線縱1平面BMR圖 8-4-2多選題如圖8-4-3 (1),在矩形與菱形A腳中，2於4, Z/!敝120，禮N分別是份;M的中點.現(xiàn)沿將菱形/f份T7折起，連接ED, EC，構(gòu)成三棱柱AFD-BEC,

19、如圖8-4-3 (2)所示.若側(cè)丄份;記平面/WZVn平面 ADF=1.則()圖 8-4-3A.平面/!優(yōu))9丄平面ABEF義.醐/1直線份與平面4從所成的角為60 四面體況做的外接球的表面積為148 Ji2019北京卨考理已知是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：/丄/;m/ a ；7丄 a.以其中的兩個論斷作為條件，余下的個論斷作為結(jié)論，寫出個正確的命題: .2022豫北名校聯(lián)考己知三棱錐S-ABC, SA二S臣SC，/!及7是邊長為4的正三角形，點E, A分別是SC，BC 的中點，厶是W上的一點，且EFLSD,若 賊、則DB= .2020江蘇高考如圖8-4-4,在三棱柱ABCAQ中

20、，ABAC,茂6*丄平面ABC, Et尸分別是AC,漢6的中點.求L.EF/平面做6；.求證:平曲K丄平面職.圖 8-4-42022廣州調(diào)研如圖8-4-5,在直三棱柱ABC-AM 中， , /!供2, BC=CCt=4, 是M的中點.求四棱錐B-ACl)的體積.(2求證:丄平面從漢圖 8-4-5提能力考法實戰(zhàn)2022貴陽市模擬如圖8-4-6,長方體ABCDMC、a中，AB=A吋，AA=2,尸是上底面內(nèi)的一點，經(jīng)過點戶且在上底面內(nèi)的一條直線/滿足/丄凡：(1)作出直線1，并說明作法(不必說明理由);當戶是A.C.的中點時，求三棱錐FBCD的體積./PDB圖 8-4-6如圖8-4-7,已知菱形/腳

21、的邊長為2, Z/60 o，點F是平面必外一點，四邊形A腳中，EA交仞于點 M, HM，勝2,373-1, DB=6. FA1CD.求證:川丄平面?!及7Z求四面體的表面積.數(shù)學探索如圖8-4-8,在四棱錐S-ASCD中，已知底面似為矩形，AMP為等腰直角三角形，SA=SD=2y2, Al2,廠是漢的中點.（1）若在線段卻上存在點E，使得平面分77平而例7的有且只有，側(cè)丄平W OT7的有且只有朋夕平面汾石的有且只有，做丄平面份Z；的有且只有平面汾石的有且只有，朋丄平面處Z；的有且只有平面份(；的有且只有，做丄平面處Z；的有且只有2018全國卷II 理在長方體ABCD-MCxIX中，AB=BC=

22、y仞=75,則異面直線AIX與做所成角的余弦值為()A-I ? C4 是邊長為2的正方形，AAh BG，CC，做均與底面J腳垂直，且AA/3,點I)，5分別為況和 的中點.(1)棱上是否存在點吏得平面M丄平面4從?若存在，寫出PA的長并證明你的結(jié)論:若不存在，請說明 理由.求二面角A-BE-D的余弦值.2021重慶市第三次調(diào)考正方體ABCD-AMDs的棱長為2,點戶在棱CC上，點石在棱似上.若A、E=CF(如圖8-5-7(1),求證:漢F，久四點共面.若為的中點，過B，E，尸三點的平面記為a,平面與棱做相交于點識如圖8-5-7 (2),平面a將正圖 8-5-72021蓉城名校聯(lián)考如圖8-5-8

23、(1),/1Z?是腳中漢邊上的高，且AB=2AD=2AC,將腳沿勸翻折，使 得平面ACDX.平面ABD,如圖8-5-8 (2)所示.求證:AB1CD.(2)在圖8-5-8 (2)中，萬是即上一點，連接犯以當必與底面4仇所成角的正切值為吋，求直線淤與平面所成角的正弦值.圖 8-5-8國創(chuàng)新預測與函數(shù)綜合如圖8-5-9,三棱錐PA8C中，州丄平面ABC、ABVBC.平面a經(jīng)過棱/T的中點E，與棱PB，AC分別交于點A P，且優(yōu)W平面a、PA平面a.證明丄平面a.若做點在直線汾上，求平面拗6與平面份6所成銳二面角的余弦值的最大值.圖 8-5-92021福州市5月質(zhì)檢開放題如圖8-5-10,在三棱柱A

24、BC-AG中，ABA.AC,平面ABCV平面ABM,平面J況丄平面ACCAx.(1)證明：A4,丄平Iti ABC.在勝於1，沉;與平面淤從所成的角為30 ，異面直線616與所成角的余弦值為$這三個條件中任選兩個，求二面角A、U 的余弦值.答案第八章立體幾何第一講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、表面積和體積夯基礎(chǔ)考點練透A解法一 由三視圖可知，該兒何體是一個成面為等腰梯形的貞四棱柱，其中底面等腰梯形的底邊長分別為介2V2,高為該四棱柱的卨為1,所以該兒何體的體積（V2+2V2） XX1=|.故選A.解法二 由三視圖可知，該幾何體是由底面為等腰直角三角形（腰長為2）的直三棱柱截去一個底面為等腰直 角

25、三角形（腰長為1）的直三棱柱后得到的，所以該幾何體的體積IXX1-1X12X1.故選A.C由三視圖知該幾何體為圖D 8-1-1所示的三棱錐卜ABC,其中州丄平面ABC, ABAC, AB=A（AP2,所以 PBPOBCTi、故其表面積 5（|X2X2）X3+|X （2V2）2Xsin 60 =6+23.圖 D 8-1-1C設(shè)圓柱體的底面半徑為/PVAB于 P，則 0F=0P=ry AO = V3,所以 APAa-aP=y-Y，又AP=Aaay3rn,因此 G/5+1 ）71=75-1，解得 n=2-芯，所以2-75,故選 B.r2圖 D 8-1-5A由題意知，圓筒的體積為n X(|)z-l2X

26、4=5n (cm3),中部(正方體的一部分)的體積為3X3X3-n X(|)2X3=27-jt (cm3),所以組合體的體積 問n +27- n = (27-) (cm3).(拆分組合體，里面可看作1個高為4的空 心圓柱，外面可看作1個正方體挖去一個圓柱)故選A.B設(shè)內(nèi)球、外球的半徑分別為r，疋則止方體的棱長為2r,體對角線長為2尺可得R=3r.又由題意可知 =1,由解得1，所以該正方體的棱長為V5+1，體對角線長為3+V3,故A, C錯誤，B正kR-r = 1,22確.外球的表面積朵4 nn ()2=(12+6V3) n，故D錯誤.故選B.12 n己知圓臺的上底面半徑2=2,下底面半徑AM,

27、髙/=2,得母線長7=J(r)2+?=2V2,則該圓臺的 側(cè)面積貨 n 1(痛=艾 X2V2X (2+4)=12V2 Ji.10.4 800+1 600V3由題意，該石凳可以看作是由正方體截去八個一樣的正三棱錐得到的，且該正三棱錐的 底面是邊長為20V2 cm的正三角形，所以該石凳所對應幾何體的表面積為6X (20V2)2+8XX (202)2=(4 800+1 600V3) (cm2).j由題意可得，四棱錐底面對角線的長為2,則圓柱底面的半徑為易知四棱錐的高為751=2,故圓柱 的高為1,所以圓柱的體積為n X (i)2Xl-i.由于ZT為棱B、C、的中點，取AxQ的中點F,連接EF, AF

28、t則EF/AB、且EF=AB,敝AF，因此四邊形ABEF 為所求截面圖形，且四邊形為等腰梯形，(根據(jù)“特征點”確定平行關(guān)系，進而確定截面圖形的形狀易知 ERAB=t AP=BB= 112 + (|)2 = y,則等腰梯形的尚為?)2II21 I 4所以等腰梯形J份F的面積為$=即所求截面圖形的面積為#.416160提能力考法實戰(zhàn)13. D因為圓柱的軸截面為正方形，母線長為V，則圓柱底面圓的直徑為V5.由正四面體在圓柱內(nèi)可以任意 轉(zhuǎn)動得，正四面體一定在圓柱的內(nèi)切球內(nèi).如圖D 8-1-6所示，棱的H:四面體A可還原成棱長蟬： 的正方體ABCD-AC.因為正方體外接球的直徑是正方體的體對角線，所以棱

29、長為a的正四面體的外接球的直徑等于=今a、所以今ad 所以a彡2,所以a的最大值為2.14.1）如圖D 8-1-7,連接A、D，BD、則淤的最小值，即AM沒的邊扁沒上的高.（把/的最小值轉(zhuǎn)化為點P到直線 45的距離）在AZH沒中，易知AB=A4S,敝41、則邊做上的高為.設(shè)邊 從上的高為h,由等面積法得V2x = ixV5XA,解得錯誤.圖 D 8-1-7如圖D 8-1-7,連接ACh BC、，得A4從;，以所在直線為軸，將/!：優(yōu);旋轉(zhuǎn)到平面A職上，設(shè)點6的新位置為C，如圖D 8-1-8,連接AC則 W即AhPC、的最小值.在八扃及/中，易知A腳C=芯，AC=收 則cosZBA、C=，sin

30、Z財6*=.又 cosZ/I/li, sinZ.AABt 從而在/L4ir中，cosZAAC，=cqs （Z.AABZ.BA6） =-又 M=2, AC=收所以AC=J4 + 2-2x2xx （一蕓）=（利用余弦定理求得此的長度.即Ah PC的最小值 C錯誤，D正確.故選D.b設(shè)三個半徑r=2 021的大球的球心分別為a，a, a,與桌面的三個切點分別為a, b, c,易知a, a, a, a, b, r這六點可構(gòu)成一個逬三棱柱，如圖i）8-1-9所示，且三棱柱ABc-ao：a是一個底面邊長為w、高為斤的正三棱柱，則小球球心0在底而J況上的射影必為/!及7的中心H.連接OH, AH, Oa,過

31、點0作OD AH艾 M于點D，易得四邊形/!腳為矩形，所以O(shè)D-AH.設(shè)小球 0 的半徑為 r,則 0HAD=r, OxDaA-DA=R-r.因為/為底面三角形的中心，所以 AIOD-R,又 oa=/r, a)l=o/f+aif,所以(r)2=(2+(-7)z,整理得把斿2 021代入，得即小球的半徑為$，故選B.或 根據(jù)“長對正、高平齊、寬相等”及題圖中數(shù)據(jù)，可知側(cè)視圖只能為題圖或，俯視圖只 能為題圖或.當俯視圖為題圖時，右側(cè)棱在左側(cè)看不到，所以為虛線，此時題圖為側(cè)視圖：當俯視圖 為題圖時，左側(cè)棱在左側(cè)可看到，所以為實線，此時題圖為側(cè)視圖.故填或.-如圖D 8-1-10,連接易知為正三角形，

32、所以B=GDx=2.分別取B、C，BB、CQ的中點G, H,連接職D、G、賦則易得勝餅/22 + I2 = V5,且認壚/1由題意知G, Z/分別是BB、，CG與球面的交點.在側(cè)面BCCB、內(nèi)任取一點P,使Mfy/2,連接賦易知MVMP,則渺抓+ MP2 = J(V3)2 + (V2)2 = V5,連接 易得MG-MH=42y故呵知以.!/為圓心，VI為半徑的圓弧67/為球面與側(cè)面BCGR的交線.由Z沒袱M5 0知件90 ，所以57)的長為!X2 n Xy2 = 41-42圖 D 8-1-10X/f3 Ji，所作出截面圖如圖1) 8-1-11所示，設(shè)球體的半枰為r,圓錐的卨為h,由題意可知以

33、的，綱C參2必,從而可得AJ優(yōu);八/!/均為等邊三角形，當圓0為/!從的內(nèi)切圓時，易得z-1,所以0Kl.易知FH=Dyf3it所以- V5r, 73-3r,則圓柱體和球體的體積之和K/)=9 n戶(It) 4 n?=-n7+9n?(020,單調(diào)遞增，當蕓21時，W0,心，)單 調(diào)遞減，所以當 3時，r(r)有最大值，最大值為圖 D 8-1-1132如圖D 8-1-12,連接A0,并延長交從于I),連接PD, P0. .頂點戶在底面的射影0為/!及7的垂心，:. ADYBC,丄平面 ABC, :.POVBC,又 Al)C P，AD, POa 平面 ADP. :.BCL 平面 ADP, :.BC

34、A.PA, BCVPD.同理可得 AC 丄/ABLPC.由 S.SSpBC,得 A/). OD=Pff,又:.LPODL鵬、.供Z/W90 ，.仰丄 W 乂PAiBC，BCCp)=D, Pl)，BCa 平面 PBC, .州丄平面 PBC, .州丄尸6；州丄做又 PBYAC、且 PAAC=At PA, /1O=平面PAC，:.PBL平面PACt :.PBVPC, :.PA, PB,兩兩垂直.三棱錐戶/IZT的外接球為以PA, PB,為棱的長方體的外接球，又三棱錐戶/!優(yōu)的外接球半徑為4, :.PPPC :pac(PA PBPCPBPA .PC) _(州2+祕+/)=32, :讚的最大值為 32,

35、當且僅當 PA=PB=PCi等號成立.圖 D 8-1-124Y3當無人機位于四面體/LOT外接球球心時，取到最小偵測半徑，大小為外接球半徑.取松7中點E，連 接AE,因為ZU做為等邊三角形，邊長為6 kin,所以AB=ABsin 60 o =33 (km)，取/!做的外心F,則廠在AE 上，(km).因為km, BG=3 kin, BD km,所以所以 BCLCD,所以萬為如7的外心.過五作烈/丄平面BCD，過尸作丄平面ABD，腸F爐0,因此0為四面體J及7?外接球的球心. (尋找A/4做和Ara的外心，分別過外心作所在平面的垂線，兩垂戰(zhàn)的交點即外接球球心)因為二面角A-BD-C的大小為，所以

36、Zn- =去，所以EF=OE- cosj,即y3=OE-專，3 Z ooL所以 0巨2 km,所以 OA=OOOOED2 + 0E2 = Vl3(km).A因為圓錐形容器的成面半徑和卨都是1,水面島度為所以容器中水的體積/U)nZ因為ab=,所以壚l-a(OCXl)，Aa)+/U)=|n 3+|n (l-a)3=jna3+|n (l-3a+3a2-)= jt 2- n n ,(將權(quán)變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，注意恨制條 件)易知函數(shù)尸(OCX1)的圖象開口向上，且對稱軸方程為所以當_時，Aa)+/U)取得最小值，最小值為$ n +1 n =-1.故選A.231272 nr設(shè)圓錐體包裝盒的底面半徑

37、為r,高為h.如圖1) 8-1-13,作出巧克力與包裝盒截面示意圖，其中，0取等號.(基本不等式的應用，注意芩號成立的條件)圖 D 8-1-13第二講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系0夯基礎(chǔ)考點練透B對于選項A，若m/ a, n/ a,則w與/7平行、相交或異面，因此A不正確:對于選項B，若a丄戶，y丄蘆，且a D r=m,則歷丄冷，因此B正確:對于選項C,若扣a，/7C a, m/, n/ P,則a與盧平行或相交，因此C不正確;對于選項D，若m.L o,n/a丄，則與/7平行、相交或異面，因此D不正確.綜上，選B.D 由題意,可得 A技+Bdl=Adc，ACAC,所以 ABBC, ADV

38、CD.如圖 D 8-2-1 所示，過 i?作 BO VAC 交 JC 于 點0、連接OD,易得ODLAC.因為平面J優(yōu)丄平面ACD，平面平面ACD=AC, OBa平面ABC,所以做丄平面ACD,又ODa平面AC/),所以O(shè)B1OD,所以O(shè)B, OD, /k；兩兩垂直，故以0為坐標原點，OD, OC,必所在直線分別為 軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz.因為 /IC=25,BC=C1 所以易得 0臣0講2, /RM6, 00=9,所以鐵-16, 0)，供0, 0,12)，6*(0,9, 0), /?(12, 0,0),故而=(12, 16, 0)，BC= (0, 9, -12)，故 co

39、sAD,= 12x0:(_12) = H.(也可將葯.表示為_ -勵(沉-勵進行計算)AD BC20X1525故選D.3.1)對于A,空間中兩兩相交于不同點的三條直線確定一個平面，故A正確;對于B，如圖D 8-2-2,在正三棱 錐ABCD中，取6)9的中點Et連接AE，從易得AECl),BEVCD,因為AECBB=Ef所以仍丄平面ABE, 乂 ABc平面A朋，所以CD LAB,同理可證得BC1. AD, BDLAC，故B正確;對于C，如果兩個平面垂直于同一條直線，則由線面垂直的性質(zhì)知這兩個平面互相平行， 故C正確;對于D，當點在兩條異面直線其中一條上時，過這一點與兩條異面直線都相交的直線有無數(shù)

40、條，故I) 不正確.綜上所述，選I).A對于選項B,如圖D 8-2-3所示，C，Z7為正方體的兩個頂點，連接CD,因為AB/CD，私0分別是所在棱的中點，所以MQ/所以AB/MQ, 乂 J歷平面 _、拗=平面職所以必#平面酬.同理可證選項C, D中均有/!從7平面，WW.圖 D 8-2-3圖 D 8-2-4對于選項A,作出正方體的底面的對角線，記對角線的交點為扒如圖D 8-2-4所示），連接M則OQ/AB,因為 做與平面船口有交點，所以與平面淤沁有交點，即與平面不平行，故選A.D取線段作的中點A,過點A作平面a，使丄平面a，則平面a垂直于線段PQ，且平分線段PQ，平面a 稱為線段作的中垂面.設(shè)

41、任意點旅平面a，連接m斯，n則刷垂直平分線段n所以，購.反之，到定線段作的兩個端點P, 0距離相等的點都在平面a上.故選D.五 對平面進行延展，延長ar交DA的延長線于G連接 奶交于漢延長 仍交做的延長線于K,連接KC，交IXQ于點A；連接朋，F(xiàn)N,則五邊形穴即為平面做截該長方體所得的截面圖形.（根掘特征點”. 由平行關(guān)系確定截面形狀）0提能力考法實戰(zhàn)D解法一 如圖D 8-2-5,在上取點I），使得AAl）,連接CD，Ml），易知砂脫，_/CN,所以四邊形 ADCN是平行四邊形，所以 DC，則ZZO為異面直線 W與/所成的角或其補角.（易忽略/娜也可能是異 面直線4,/V與氓所成角的補角易得

42、_1艱.f/V2T4 = V6,可判斷出是銳角，就是異面直線/LV與a/所成的角.設(shè)規(guī)的中點為連接 DE,則 DELMC, DE=,所以 sinZOTA ZDCJf,所以 tanZMAtan-=夸，故選 D.A C,圖 D 8-2-5解法二 以A為坐標原點，AB, AC, M所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖D 8-2-6所示的空間直角坐標 系，圖 D 8-2-6則 Ml, 0, 2)，MO, 1,3), Ax(0, 0, 4), f(0, 1,0),則巧=(0,1,-1), CM=(1,-1,2),所以 cos=jj= =設(shè)異面直線爪V與所成的角為0,則cos=cos I = I I

43、=y.(易忽略異面直線所成角的范圍)tan 0=,所以異面直線與6所成角的正切值為#，故選D.B依題意，可得份/7做FG/BD,版FG肌所以E，F(xiàn)，G，H四點共面，所以正確，錯誤;因為F(pBl),所以四邊形份沿V是梯形，份與似必相交，設(shè)交點為紙因為點在研上，故點私在平面ACB 上，同理，點在平面4仍上，所以點J/在平面/!仍與平面/!6汐的交線上，又是這兩個平面的交線，所以點,1/ 定在直線AC.t所以正確，錯誤.故選B.圖 1) 8-2-7A如圖1) 8-2-7,易知在塹堵膿-DCC沖，歸DC、，則ZGEB或其補角為直線做與做所成的角.連接 BC、BD，由正方體的性質(zhì)可知，BC、=敝C、D

44、,所以肌為等邊三角形，又厶為的中點，所以BELCD，即Z CEB，故異面直線AR與份所成的角為+B如圖D 8-2-8所示，分別取棱AA M的中點M，N，連接MN，祕，:M，N, E，尸均為所在棱的中點，:觀Bl EF/:.MN/EF,又私W平面 BDEF、ER 平面 BDEF,:.麵I平面 BDEF.連接 NF, AN, AM,則 NF/ 紙 NAxBh又A、B、 AB、AAB, :.NF/AB,腳AB，:.四邊形 奶視為平行四邊形，則AN/FB,而AVJ平面 BDEF, 平面BDEF, :.AN/平面BDEF.又0 5 .平面/!拗77平面BDEF.又尸是上底面 MCIA內(nèi)一點， 且 /!戶

45、/7 平面 BDEF，.點 P 在線段餅上.在 RtAJ/l.J/ 中，AAAi + A2 = y,同理，在 RtAi/V中，得則/IWV為等腰三角形.當戶在擴的中點時，小，為J(f)2-(孕)2 =今，當戸與似或，V電合吋，/!尸最大，為f /.線段J廠長度的取值范圍是#，.故選B.Bl) 7動點戶在正方體表面上運動，PA =x, /.點戶的軌跡是以J為球心，州為半徑的球的球面與正方體的表面的交線.圖 D 8-2-9當0/2.(1)因為點尸在圓0所在平面上的射影恰是圓口上的點C,于是丄平面ABC.W為BC平而ABC,所以BC1PC.又BCAC,且PCCAOC,所以及7丄平面PAC,又PA平面

46、PAC,所以8C1PA，于是異面直線ZT和州所成角的大小為90 .(2)連接況因為份7平面ABC, EFa平面POC,平面ABCC平面POOOC，術(shù)認EF OC.在中，點P是PA的中點，點0是似的中點，所以厶為片於的重心，從而&3在Ara?中，因為EF/OC,所以 = -3 rC cU所以g的值為3.(3)在A/W中，由(2)知方為/_的重心，所以= 又點/為/T的中點，所以筠=4,于是|rCAPEF PEXPF 2 11=-X -=艦 POXPC 3 2 3所 VP BEF _ VB.pEF _ S&PEF _ 1VPBOC VBPOC SPOC 3在直角胤中，AB-2, AC=2BCt 可

47、得 所以 SSabc= x BCX從而所以所以三棱錐fBEF的體積為45第四講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)夯基礎(chǔ)考點練透C連接B、C，M.由正方體的性質(zhì)得及屆丄亂，B、CH 又所以從;丄平面織CD，乂 AEa平 面級CD，所以ABCh故選C.C由zd_ a、m/f n、得/?丄a，又/xz，所以a丄，A正確；由a / , m丄a，得m 又/?丄，所以n, B正確：若a /，/c a, nc，則zz?，/?可能平行或異面，C錯誤：由面面垂直的性質(zhì)定理知D正確.故選C.C 因為即丄底面 ABCD, DC, BC, Bt 底面 ABCD，所以 PDVDC，PDVBC, PDLBD，由四邊形J及7?為正

48、方形，得BCLCD,因為 PDC DC=D，PD, P6t 平面 PCD，所以優(yōu)丄平面PCD,所以BCA.PC,所以四面體是一個鱉臑.因為DEc平面PCD,所以BCLDE. 因為PD-CD,點五是尸6的中點，所以DEYPC,又PCnBC-C, PC, BC平面PBC,所以您丄平面PBC,所以DELBE,可知四面體紐的四個面都是直角三角形，即四面體D9是-個鱉臑.M理可得，四面體和四面體柯朋也是鱉臑.故選C.A解法一連接A認，則易得點在A1X上，且似丄因為必丄平面AAM,所以仙1械乂 ABD M=/1f AB,AlXa平面Am，所以丄平面Am,所以/LP與BIX異面且垂直.在觀中，由中位線定理可

49、得醐AB，因為 私W平面ABCD, Alic平面ABCD,所以淤V7平面ABCD.易知直線與平面腿W不垂直，所以.秘V與平面BBM) 不垂直.所以選項A正確.故選A.解法二 以點P為坐標原點，DA,優(yōu)；做所在直線分別為x軸，/軸口軸建立空間直角坐標系.設(shè)A浜2,則 Ax (2, 0, 2)，M0, 0, 0)，以(0, 0, 2), M2, 2, 0),所以 Ml, 0,1)，A(l, 1，1),所以AD=(2, 0, -2),5= (2, 2, -2),MW=(0, 1, 0)，所以;瓦=-4+0+4=0,所以 Ad)VM. 乂由題圖易知直線 AP與做是異面直線，所以4P與做異面且垂直.因為

50、平面的一個法向量為rr(0, 0，1)，麗.n-0,所 以拗77平面ABCD.設(shè)直線泌:與平面做所成的角為0，因為平面B_ 的一個法向量為a=(-l, 1, 0),所以sin =|cos MN, a 1=- = - = 所以直線.秘V與平面做仏9不垂直.故選A.AB A項，因為ADV AB, ADVBF,所以似丄平面ABEF, 乂 /!ZAz平面ABCD，所以平面/I及7?丄平面ABEF,選項A正確.B項，在菱形腿中，因為為份的中點,所以#為淤的中點，因為A為M的中點，所以 醐EC.在三棱柱AFDBEC中，易知平面狐77平面M)F，ECc平面BEC,所以漢7平面ADF. 乂 ECc平面AEC,

51、 平面AECC平面ADF=1.所以EC 1. 乂 醐漢;所以醐1，選項B正確.C項,AELBF, ADA.BF, ADQ AE=A,所以 狀丄平面ADH，故AFEM為直線尿與平面/於所成的角.(抓住直線與平而所成角的定義因為Z/1120 ，所以Z/60 ，故戶Z地決30 ，即直線研與平面/!從所成的角為30 ，選項C不 正確.1)項，屬中，/1廬24爐2/1你in(iZ/L?0=2X4Xsin 60 =4/3.由正弦定理可得/從的外接圓半徑x = |x -=4.由A項分析可知1，側(cè)丄平面ABEF，所以四面體隱D的外接球半徑i sinZ/lSE i sinl20R= Jr2 + (|?1D)2

52、= V42 + l2 = Vl7.(利用球的半徑R、截面囲的半徑r及球心到截面的距離d三者之間的關(guān)系 求解)故四面體似朋的外接球的表面積54 n =4 Ji X 17-68 n，故選項D不正確.綜上，選AB.若/丄歷，/丄a，則歷/ a.(答案不唯一)若Y丄a，_L/n,則m a,顯然冷正確；若lA.ni, m a、則 1/ a或/與a相交，故=不正確:若7丄a、m a，則/垂直a內(nèi)所有直線，在a內(nèi)必存在與平行的 直線，所以可推出/丄故=正確.V7 :SA=SH=SCi 及?為正三角形，.三棱錐S-ABC為正三棱錐，:.SBLAC.(正三棱惟的對棱相互垂直)在及7中，研為中位線，則EF/SB.

53、 .USD, :.SBA-SD,又 SDCA(D, :.SB平面 SAC,又 SAc 平面 SAC, :.SBSA.在等腰直角三角形義沒中，S/)=SA=A/i=2V2, :.EFSB=2.由EF/SB,知汾丄平面義6；由做=平面義；知EFLDE.在直角三角形腳中，DE=yDF2-EF2 =32-(榔 =V7.因為戶分別是AC,BC的中點，所以 _AB、.又例平面A玖C、，ABc平面A玖C、，所以份/7平面ARC.因為茂C丄平面ABC, ABc平面ABC,所以8、C1AR又 AB1AC，BxC平面 ARC, ACc 平面 ABC，8、CnAC=C，所以/L?丄平面做6：因為ABc平面八亂所以平

54、面JC丄平面ABB、.(1)因為三棱柱ABC-MA是直三棱柱，所以側(cè)面丄底面AM.在底面姚C中,過S、作垂足為E，則漢丄平面ACCM由已知得 AAOy/22 + 42-2/5,由等面積法可得=諼=竽。姍M綱=IX)X 275675,所以 =1X675X8.由已知可得眺2孔又服=4,所以斷，則ByDYBl).因為 CI=AA+ (2V5) 2=24, +=42+42=32,所以 BCff=Bxd,則 BDVCD.又CDC BD=D，所以漢汐丄平面BCD.提能力考法實戰(zhàn)(1)如圖D 8-4-1，連接和,在上底面內(nèi)過點尸作TO的垂線，即直線1.圖 D 8-4-1圖 D 8-4-2(2)解法一 如圖D

55、 8-4-2,連接AC, BD,祕，設(shè)交仰于點H,因為在長方體 ABCD-AGIX 中，J/1/tl,所以 CHVBD, CH.因為做丄底面ABC!），Cl底面ABCD,所以煙丄以又朋n 1）_，BD,做c平面BBM,所以67丄平面BBM 即67是三棱錐C-PBxD的高，所以 VP.BlCD = Vc-pb.d =|x|xTX2XT = ?即三棱錐P-RCD的體積為解法二如圖D 8-4-3,連接眼，AC,說），設(shè)/交做于點H,連接賊則 _PB、D電PB、所以四邊形Pim是平行四邊形，所以M/PD. 又mz平面m沒仞平面PCI）,所以漢從7平面PCD，連接PH，則 BrPCD=-因為在長方體AB

56、CD-AGIX中，做丄底面ABCD,所以易得點尸到底面70的距離等于DD、，又 Vp-BD = BrPCD= Vi-itat, Snc/r X AD, Wi-/L4i-2,所以p-BiCD=DD X X2=,即三棱錐卜議的體積為6在中，由余弦定理，得cosZZZ4y = 所以ZZ24/F6O ,又Af=2,所以AJZ袱是邊長為2的等邊三角形，所以 MA=MDMF=2,所以 丄/fZ?,又 沒丄CD, ADC CD=Dt （兩直線相交不能省略所以M丄平而ABCD.由知，沒丄平面ABCD, J/為咫的中點，過點J/作fNLAD交必于點N,則MN/FA,所以船丄平面ABCD. 連接CN,則MNCN.

57、在.船r中,MN=CN=43, =+C=6,所以；I/OV6.在ZUO中，邊脫上的高的長為 一 ()2 =又 zu/a超!，所以 &wF5FX2X2Xsin 60 =V5.所以四面體拗6)9的表面積+w+5o+.)f=2V3 + V15.(1)點厶為的中點.理由如下：因為四邊形ABCD是矩形，所以/L?丄/L9.又E、F分別是AD,優(yōu)的中點，所以EF/AB,所以ADLEF.又Al為等腰直角三角形，SA=SD,所以SE上AD.因為SEHE/E,所以及9丄平面SEF.又ADc平面ABCD,所以平面I丄平面ABCD.圖 D 8-4-4(2)如圖D 8-4-4,過點5作S0LFE,交/的延長線于點0.

58、由知平面 1 丄平面ABCD,平面SEFC平面ABCD=EF,所以5ZZL平面ABCD.因為AMP為等腰直角三角形，S舡SD=2收所以A賊SE=2,又EF=AB-所以2X5為等腰三角形.因為Z5730 o ,故Z5120 , Z5Zi60 ，故 03=1, 573.連接AF, DF、設(shè)尸到平面59的距離為d,由Vs-FAD 可得i XX SOX SFAD,易知 55=|X2V2X2V2=4, /f|x2X4=4,所以 d=S0=yf3.即點A到平面的距離為第五講 空間向量及其應用0夯基礎(chǔ)考點練透A 如圖D 8-5-1所示，(根據(jù)題意正確作出示意圖是解答本題的關(guān)鍵)J戶為比薩斜塔的中軸線，0為赤

59、道所在平面上一點,AC/ 01)，B為0A延長線上一點，則由題意可知，AAOl)44 tZBA/4 ,所以o -4 -40 ,即中軸線與赤道所在平面所成的角約為40 .圖 I) 8-5-1A對于題圖，連接BI),因為； Ft G均為所在棱的中點，所以BD/GE. Dl)、EF，乂腳平面EFG, GE平面 EFG,朋平面EFG, EFc平面EFGy從而可得徹平面EFG.M/平面EFG,又BDODDfD,所以平面胭平面 EFGy又c平面_，所以朋#平面EFG.對于題圖，連接m設(shè)正方體的棱長為1,因為E，F(xiàn)、6均為所在棱的中點，所以而；GE=(DD；-DB) (全萬石)=|(萬瓦DA-DB DX)=

60、|(lxV2Xcos 45 -Wx Xcos60 o )=0,即 BIA 上 EG.連後 DC、 則両. (DC)=(DDl DC-DB DCi)=|(1 XXcos 45 -x V2Xcos 60 )=0,即朋丄灰又EGQ EFE,所以做丄平面EFG.對于題圖，設(shè)正方體的棱長為1,連接DB, DG，因為E, F, (7均為所在棱的中點，所以 .瓦=(珂-勵(DG -DE) =(DDl-DB) (DC+DD-DA)=DD2 -DB -DC+DB = |-V2X 1 Xy+ | x V2X 1X=0,即朋丄況.連接 J/；貝BOl-EF=(DDl-DB) (AF -AECDD-DB) . (DD