千古絕技割圓術(shù)

1、千古絕技 “割圓術(shù)”蘇 翃 重慶工學(xué)院 2008.6.4劉 徽 的 大 智 慧1西方古代數(shù)學(xué)之神 阿基米德給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬動(dòng)地球。2東方古代數(shù)學(xué)之神 劉徽觀陰陽之割裂，總算術(shù)之根源。3中華文明難道是可“忽略” 的嗎M.Kline 古今數(shù)學(xué)思想被 譽(yù)為“古今最好的一部數(shù)學(xué)史”該書高度贊譽(yù)古希臘文明 同時(shí)貶低中華文明 “希臘人在文明史上首屈一指，在數(shù)學(xué)史上至高無上?！薄鞍⒒椎率枪糯顐ゴ蟮臄?shù)學(xué)家。他的幾何學(xué)是古希臘數(shù)學(xué)的頂峰。”19081992“為著不使資料漫無邊際，我忽略了幾種文化，例如中國的文化，因?yàn)樗麄兊墓ぷ鲗?duì)于數(shù)學(xué)思想的主流沒有重大影響?！? 撲朔迷離的千古疑案 博大精深的千古奇文

2、 神奇玄妙的千古絕技 劉徽：古代數(shù)學(xué)之神內(nèi)容提要這份報(bào)告旨在說明 劉徽在1800年前提出的“割圓術(shù)”達(dá)到了古今難以逾越的學(xué)術(shù)高度5數(shù)學(xué)史上一道千古難題圓是最基本 最常見的幾何圖形大小不同的圓中 存在具有普適意義的“不變量”圓周率 = 圓周長/直徑 = 圓面積/半徑 2數(shù)學(xué)不變量是重要的數(shù)學(xué)生長點(diǎn)在古代 計(jì)算高精度的圓周率意義重大： 衡量一個(gè)數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)才能 反映一個(gè)國家 一個(gè)民族的數(shù)學(xué)發(fā)展水平 標(biāo)志一個(gè)地區(qū) 一個(gè)時(shí)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)達(dá)程度6群星璀璨的數(shù)學(xué)奇觀在近代數(shù)學(xué)史上 大多數(shù)數(shù)學(xué)家都親自動(dòng)手計(jì)算過圓周率 都親身體驗(yàn)過 求值的艱辛 (法)韋達(dá)(15401603)割圓到393 216邊形 準(zhǔn)確到小

3、數(shù)點(diǎn)后10位(德)魯?shù)婪?1540-1610)割圓到 264 邊形 準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后35位 魯?shù)婪驍?shù) 銘刻墓碑上 直到19世紀(jì)(英)尚克斯耗時(shí)15年 將 算到707位 并刻在墓碑上 后計(jì)算機(jī)驗(yàn)算528位起出錯(cuò)7圓周率精確計(jì)算的先驅(qū)者上古普遍流行“周三徑一”的說法認(rèn)為圓的周長是其直徑的3倍 這樣有 史稱古率 從現(xiàn)有的史料來看 首創(chuàng)圓周率精密計(jì)算的是古希臘的阿基米德(約公元前287前212年)阿基米德用正96邊形逼近圓周 求得 公元前3世紀(jì) 古希臘遭到羅馬人的摧殘 敘拉古王國滅亡 古希臘文明衰落 西方圓周率計(jì)算就此沉寂一千多年8焚書坑儒留下歷史空白在阿基米德被羅馬士兵野蠻殺害的公元前212年 秦始皇

4、正耀武揚(yáng)威地巡視著那空前規(guī)模的大帝國 大一統(tǒng)的秦王朝屹立在世界的東方 秦始皇在全國統(tǒng)一了度量衡 劉徽據(jù)秦漢量器測算發(fā)現(xiàn) 當(dāng)時(shí)所使用的圓周率約為 3.14 中國上古時(shí)代科技相當(dāng)發(fā)達(dá) 然而關(guān)于圓周率的記載卻是一片空白 這是否與秦始皇的焚書坑儒有關(guān)呢?9撲朔迷離的千古疑案公元 5 世紀(jì) 南北朝祖沖之準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后 7 位稱雄千年的一項(xiàng)數(shù)學(xué)成就祖沖之算法稱“綴術(shù)”綴術(shù)千年失傳中國古代最輝煌的數(shù)學(xué)成就竟是一樁千古疑案10華羅庚先生的評(píng)說（1963年）華羅庚 高等數(shù)學(xué)引論 第4章5 “祖沖之計(jì)算圓周率的方法”指出“祖沖之從圓的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形出發(fā)。顯然圓夾在這兩個(gè)六邊形之間，再做內(nèi)接的和外切的正

5、12邊形、正24邊形、 ，邊數(shù)愈多，內(nèi)接的和外切的正多邊形就愈接近圓的面積?！比A先生認(rèn)為 祖沖之實(shí)際上是沿襲了阿基米德的做法11錢寶琮先生的推測（1963年）錢寶琮中國數(shù)學(xué)史指出 “綴術(shù)失傳，祖沖之推算圓周率的方法難以詳考?！卞X先生指出 如果直接用內(nèi)接與外切正多邊形逼近圓周 為要獲得祖沖之的圓周率 要割到 24576 邊形錢先生認(rèn)為 祖沖之的“綴術(shù)”是繼承了魏晉劉徽的“割圓術(shù)” 他推測“祖沖之寫了數(shù)十篇專題論文，附綴于劉徽注的后面，叫它綴述?！卑村X先生的理解 “綴術(shù)” 是割圓術(shù)的補(bǔ)充說明12博大精深的千古奇文魏晉劉徽九章算術(shù)注（公元263年）創(chuàng)建中華數(shù)學(xué)的理論體系九章圓田術(shù)：圓面積=半周長半徑

6、劉徽?qǐng)A田術(shù)注 約1800字 后世稱 “割圓術(shù)” 上篇（263字） 深邃的極限思想中篇（1264字）高明的逼近方法下篇（159字） 玄妙的加速技術(shù)13劉徽是怎樣割圓的割之彌細(xì) 失之彌少 割之又割 以至于不可割則與圓合體 而無所失矣14深邃的極限思想古希臘人在精神上對(duì)“無窮”懷有恐懼 阿基米德的著作總是謹(jǐn)慎地回避“取極限”“割圓術(shù)” 涵蓋大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材中 有關(guān)數(shù)列極限的基本知識(shí) 諸如 極限的定義 收斂性的判別 無窮小量概念等“中國的牛頓”?近代數(shù)學(xué)之王 牛頓1643172715阿基米德的雙側(cè)逼近用內(nèi)接外切正 96 邊形逼近圓周 求得 內(nèi)接多邊形 弱近似外切多邊形 強(qiáng)近似16高明的逼近方法用內(nèi)接正

7、 3072 邊形逼近圓周 求得弱近似 內(nèi)接多邊形強(qiáng)近似 破缺的外切多邊形計(jì)算量節(jié)省一半史稱 徽率17割圓計(jì)算的劉徽算法動(dòng)態(tài)的二分演化過程 (倍增過程)取 遞推計(jì)算證明基于勾股定理1800年前 用算籌實(shí)施的一項(xiàng)偉大的計(jì)算工程標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算機(jī)程序勾股弦小弦小股小勾18一份珍貴的文化遺產(chǎn)割圓術(shù)這篇千古奇文提供了一個(gè)絕好的機(jī)會(huì)讓今人親眼瞧一瞧 劉徽這位古代數(shù)學(xué)泰斗 在1800年前 是怎樣實(shí)施一項(xiàng)偉大的計(jì)算工程 進(jìn)而提煉出割圓術(shù)這個(gè)千古絕技的用算籌實(shí)施的一項(xiàng)偉大的計(jì)算工程標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算機(jī)程序簡單的重復(fù)生成復(fù)雜19劉徽的奇思妙想 雙側(cè)逼近 立足于偏差加速逼近關(guān)鍵在于松弛因子 的選擇劉徽適當(dāng)選取 考察加速公式其中數(shù)

8、據(jù) 很粗糙 阿基米德早已掌握20神奇玄妙的千古絕技劉徽令 并取半徑100寸 求得故有 劉徽據(jù)此斷定用極其粗糙的數(shù)據(jù)加工出高精度的結(jié)果石破天驚的偉大成就21破解“綴術(shù)”之謎劉徽加速技術(shù) 祖沖之算法自稱“綴術(shù)” 漢字 “綴” 有兩層涵義 綴合 即 組合 綴補(bǔ) 即 修補(bǔ) 校正結(jié)論：祖沖之的 “綴術(shù)” 源于劉徽的 “割圓術(shù)”組合技術(shù) 校正技術(shù)22差之毫厘，失之千里修改松弛因子加速公式 千古輝煌 留給了兩百年后的祖沖之 n 963.14103 19513.14159 2534 1923.14145 24723.14159 2646 3843.14155 760823神機(jī)妙算“割圓術(shù)”15世紀(jì) 阿拉伯人阿

9、爾卡西割到 805 306 368 （8億多） 邊形 精確到小數(shù)點(diǎn)后17位運(yùn)用劉徽的加速技術(shù)調(diào)用數(shù)學(xué)軟件Mathematica進(jìn)行符號(hào)演算利用直到 384 邊形的數(shù)據(jù)加工出的 值準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后18位24追蹤混沌非線性迭代 倍周期分叉過程確定 需要求解某個(gè) 階非線性方程組當(dāng) 增大時(shí)計(jì)算量急劇增長25一蹴而就創(chuàng)奇跡運(yùn)用劉徽的加速技術(shù)加速算法： 人工手算勝過超級(jí)計(jì)算k13. 000000 00003.571993 21423.449489 74283.569872 70233.544090 35063.569994 41743.564407 26613.569945 55053.568759 419

10、63.569945 66763.569691 609826劉徽：古代數(shù)學(xué)之神深邃的極限思想 走到了微積分的大門口高明的逼近方法 一項(xiàng)偉大的計(jì)算工程玄妙的加速技術(shù) 達(dá)到了古今不可逾越的學(xué)術(shù)高度27新時(shí)代呼喚 “新科學(xué)”Stephen Wolfram 1959年 生 15歲 發(fā)表粒子物理學(xué)術(shù)論文 22歲 被授予美國“天才人物獎(jiǎng)” 研制 Mathematica 致富 隱姓埋名 潛心探索 “復(fù)雜性” 十余年2002年5月 推出鴻篇巨著一種新科學(xué)該書用豐富的計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)證明 “ 簡單的重復(fù)生成復(fù)雜 ” 聲稱 “宇宙原理只是區(qū)區(qū)幾行程序代碼”28“新科學(xué)” 期盼 “新思維” 基本原理 簡單的重復(fù)生成復(fù)雜 Wolfram 元胞自動(dòng)機(jī) 人工生命 人工宇宙二分演化機(jī)制信息科學(xué) 需要 中華數(shù)學(xué)中華數(shù)學(xué) 必將 大放異彩高效算法 高效網(wǎng)絡(luò)