711712常數(shù)項級數(shù)的概念和性質課件

1、第7章 無窮級數(shù)7.1 常數(shù)項級數(shù)一. 無窮級數(shù)的概念二. 級數(shù)收斂的必要條件三. 無窮級數(shù)的基本性質 第1頁，共30頁。7.1.1無窮級數(shù)的概念1.無窮級數(shù)的定義設有數(shù)列 un: u1 , u2 , , un , 為一個無窮級數(shù), 簡稱為級數(shù).稱 un 為級數(shù)的一般項或通項.則稱表達式第2頁，共30頁。第3頁，共30頁。下列各式均為常數(shù)項級數(shù)例1第4頁，共30頁。2. 級數(shù)的斂散性定義無窮級數(shù)的前 n 項之和：稱為級數(shù)的部分和.若存在, 則稱級數(shù)收斂.S 稱為級數(shù)的和：第5頁，共30頁。若不存在 ( 包括為 ) ,發(fā)散.則稱級數(shù)當級數(shù)收斂于S時，稱為級數(shù)的余項，且有第6頁，共30頁。討論等比

2、級數(shù)的斂散性.等比級數(shù)的部分和為：當公比 | r | 1 時,當公比 r =1時,Sn=a, n為奇數(shù)0, n為偶數(shù)當公比 | r | 1 時, 等比級數(shù)收斂；當公比 r = 1時,當公比 | r | 1 時, 等比級數(shù)發(fā)散.綜上所述,第8頁，共30頁。討論級數(shù)的斂散性.解例3第9頁，共30頁。而故即該級數(shù)收斂, 其和為例7.1.3討論級數(shù)的斂散性.解第10頁，共30頁。所以，級數(shù)發(fā)散。第11頁，共30頁。7.1.2 常數(shù)項級數(shù)的性質 有相同的斂散性, 若 c 0 為常數(shù), 則與1. 性質 1且有第12頁，共30頁。證的部分和為的部分和為故同時收斂或同時發(fā)散,即與且有第13頁，共30頁。2.

3、性質 2第14頁，共30頁。證的部分和為：故即 級數(shù)收斂, 且第15頁，共30頁。 因為等比級數(shù)所以級數(shù)例7第16頁，共30頁。問 題 一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)的和是收斂的還是發(fā)散的？是發(fā)散的第17頁，共30頁。問 題 兩個發(fā)散的級數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？不一定第18頁，共30頁。 但對收斂級數(shù)來說, 它的和將改變.在一個級數(shù)的前面加上或者去掉有限項后, 所得到的新的級數(shù)與原級數(shù)的斂散性相同.3. 性質 3第19頁，共30頁。證設級數(shù)的部分和為 Sn , 去掉級數(shù)的前面 m 項后得到的級數(shù)的部分和為第20頁，共30頁。由于 Sm 當 m 固定時為一常數(shù),所以故 級數(shù)與級數(shù)第21頁，共30頁

4、。級數(shù)仍然收斂, 且其和不變.對收斂的級數(shù)加括號后所得到的新 在級數(shù)運算中, 不能隨意加上或去掉括 號, 因為這樣做可能改變級數(shù)的斂散性.4. 性質 4第22頁，共30頁。問 題 收斂的級數(shù)去掉括號后所成的級數(shù)仍收斂嗎？不一定第23頁，共30頁。問 題 發(fā)散的級數(shù)加括號后所成的級數(shù)是否仍發(fā)散？不一定第24頁，共30頁。問 題 如果加括號后的級數(shù)仍發(fā)散, 原級數(shù)是否也發(fā)散？原級數(shù)也發(fā)散加括號可引起收斂,去括號可引起發(fā)散.第25頁，共30頁。 級數(shù)收斂的必要條件若級數(shù)收斂, 則必有定理證設第26頁，共30頁。由于故該級數(shù)發(fā)散.解例4第27頁，共30頁。證明調和級數(shù)是發(fā)散的:調和級數(shù)的部分和有：證 例7.1.4第28頁，共