數(shù)學建模投資問題

1、1問題重述某銀行經(jīng)理計劃用一筆資金進行有價證劵的投資，可供購進的證劵以及其信用等級、到期年限、收益如下表所示。按照規(guī)定，市政證劵的收益可以免稅，其他證劵的收益需按照50%的稅率納稅。此外還有以下限制：（1） 政府及代辦機構的證劵總共至少要購進400萬元；（2） 所購證劵的平均信用等級不超過1.4（信用等級數(shù)字越小，信用程度越高）；（3） 所購證劵的平均到期年限不超過5年。證劵名稱證劵種類信用等級到期年限到期稅前收益（%）A市政294.3B代辦機構2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5（1） 若該經(jīng)理有1000萬元資金，應如何投資？（2） 如果能夠以2.75%的利率借到不超

2、過100萬元資金，該經(jīng)理應如何操作？（3） 在1000萬元資金情況下，若證劵A的稅前收益增加為4.5%，投資應否改變？若證劵C的稅前收益減少為4.8%，投資應否改變？2模型的假設(1)假設該投資為連續(xù)性投資，即該經(jīng)理投資不會受到年限過長而導致資金周轉困難的影響；(2)假設證劵稅收政策穩(wěn)定不變而且該經(jīng)理優(yōu)先考慮可以免稅的市政證劵的情況下再考慮其他證劵種類以節(jié)約成本；(3)假設各證劵之間相互獨立而且各自的風險損失率為零。(4)假設在經(jīng)理投資之后，各證劵的信用等級、到期年限都沒有發(fā)生改變；(5)假設投資不需要任何交易費或者交易費遠遠少于投資金額和所獲得的收益,可以忽略不計；(6)假設所借貸資金所要支

3、付的利息不會隨時間增長，直接等于所給的利率乘上借貸資金。3符號說明X1:投資證劵A的金額（百萬元）；X2:投資證劵A的金額（百萬元）；X3:投資證劵A的金額（百萬元）；X4:投資證劵A的金額（百萬元）；X5:投資證劵A的金額（百萬元）；Y：投資之后所獲得的總收益（百萬元）；4問題分析對于該經(jīng)理根據(jù)現(xiàn)有投資趨勢，為解決投資方案問題，運用連續(xù)性投資模型，根據(jù)所給的客觀的條件，來確定各種投資方案，并利用線性規(guī)劃模型進行選擇方案，以獲得最大的收益。問題一，該經(jīng)理優(yōu)先考慮可以免稅的市政證劵的情況下再考慮其他證劵種類以節(jié)約成本，我們可以在所提出的假設都成立的前提下（尤其是假設所借貸資金所要支付的利息不會隨

4、時間增長，直接等于所給的利率乘上借貸資金）以及綜合考慮約束資金和限制條件，將1000萬元的資金按照一定的比例分別投資個各種證劵。而該如何分配呢？怎樣地分配才是最合理的呢？我們通過建立一個線性規(guī)劃模型來解決這個問題。由所給的表格知證劵A(市政)，B（代辦機構），C（政府），D（政府），E（市政）的信用等級分別為2，2，1，1，5，到期年限分別為9，15，4，3，2，1，到期稅前收益（%）分別為4.3，5.4，5.0，4.4，4.5（市政證劵的收益可以免稅，其他的收益按50%的稅率納稅）以及政府及代辦機構的證券總共至少要購進400萬元，所購證券的平均信用等級不超過1.4(信用等級數(shù)字越小，信用程度

5、越高)，所購證券的平均到期年限不超過5年這三個約束條件，不妨設投資證劵A，B，C，D，E的金額分別為x1，x2，x3，x4，x5，建立線性規(guī)劃模型，用lingo或者lindo軟件求解即可得出最優(yōu)投資方案和最大利潤。問題二中的解決方法和問題一中的解決方法是一樣的，只不過在求解時需要進行靈敏度分析利用問題一的模型，把借貸的1百萬元在投資后所獲得的收益與借貸所要付出的利息作比較，即與2.75%的利率借到的1百萬元資金的利息比較，若大于，則應借貸；反之，則不借貸。若借貸，投資方案需將問題一模型的第二個約束條件右端10改為11，用lingo軟件求解即可得出最優(yōu)方案以及最大收益。而對問題三，是否該改變要看

6、最優(yōu)解是否改變，如果各證劵所對應的字數(shù)在最優(yōu)解不變的條件下目標函數(shù)允許的變化范圍內(nèi)，則不應該改變投資方案，反之則改變投資方案。即證劵A所對應的系數(shù)只取決于到期稅前收益，而證劵C所對應的系數(shù)取決于到期稅前收益和其收益所需的稅額。同樣的通過在問題一的靈敏度分析結果中可以知道最優(yōu)解不變的條件下目標函數(shù)系數(shù)所允許的變化范圍，根據(jù)題中證劵A和證劵C所對應的系數(shù)系數(shù)改變即可決定投資方案是否應改變。5模型的建立與求解問題一的求解：在提出的假設條件成立的前提下，根據(jù)題目給出的限制條件以及各種證劵的信息（政府及代辦機構的證劵總共至少要購進4百萬元；所購證劵的平均信用等級不超過1.4；所購證劵的平均到期年限不超過

7、5年），設投資證劵A、證劵B、證劵C、證劵D、證劵E的金額分別為：X1、X2、X3、X4、X5（百萬元），投資之后獲得的總收益為Y百萬元。對于平均信用等級和平均到期年限的求解，我們可以用加權算術平均值的算法求得，即用各個信用等級（平均到期年限）乘以相應的權，然后相加，所得之和再除以所有的權之和。在1000萬元的資金約束條件下，另外考慮到證劵B、C、D的收益都需按照50%的稅率納稅，我們可以建立如下的線性規(guī)劃模型：Max Y=0.043X1 (0.054*0.5)X2 (0.05*0.5)X3 (0.044*0.5)X4 0.045X5S.t.X2 X3 X4=4X1 X2 X3 X4 X5=1

8、0(2X1 2X2 X3 X4 5X5)/(X1 X2 X3 X4 X5)=1.4(X1 15X2 4X3 3X4 2X5)/(X1 X2 X3 X4 X5)=4X1 X2 X3 X4 X5=106X1 6X2-4X3-X4 36X5=04X1 10X2-X3-2X4-3X5=4X1 X2 X3 X4 X5=11(2X1 2X2 X3 X4 5X5)/(X1 X2 X3 X4 X5)=1.4(X1 15X2 4X3 3X4 2X5)/(X1 X2 X3 X4 X5)=4X1 X2 X3 X4 X5=116X1 6X2-4X3-X4 36X5=04X1 10X2-X3-2X4-3X5=4;x1

9、x2 x3 x4 x5=10;6*x1 6*x2-4*x3-4*x4 36*x5=0;4*x1 10*x2-x3-2*x4-3*x5=4;x1 x2 x3 x4 x5=11;6*x1 6*x2-4*x3-4*x4 36*x5=0;4*x1 10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;運行結果：Global optimal solution found.Objective value: 0.3282000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 2.400000 0.000000X2 0.000000 0.3018182E-01X3 8.100000 0.000000X4 0.000000 0.6363636E-03X5 0.5000000 0.000