56　平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

1、高中數(shù)學(xué)教案 第五章 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（1）（第9課時(shí)） HYPERLINK /teacher/special/onespecial1.asp?id=47 王新敞新疆奎屯市一中 第 PAGE 7頁（共 NUMPAGES 7頁）課 題：平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（1）教學(xué)目的：1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；4掌握向量垂直的條件教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析

2、： 本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)主要知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使=2平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2使=1+23平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得把叫做向

3、量的（直角）坐標(biāo)，記作4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若，則，若，則5 ()的充要條件是x1y2-x2y1=06線段的定比分點(diǎn)及 P1, P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1, P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，使 =，叫做點(diǎn)P分所成的比，有三種情況：0(內(nèi)分) (外分) 0 (-1) ( 外分)0 (-10)7定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)P(x1,y1) ，(x2,y2)，為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），我們稱為點(diǎn)P分所成的比8點(diǎn)P的位置與的范圍的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，與同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為的內(nèi)分點(diǎn)當(dāng)()時(shí)，與反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為的外分點(diǎn)9線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，設(shè)，可得=10力做的功：W =

4、 |cos，是與的夾角二、講解新課：1兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角說明：（1）當(dāng)時(shí)，與同向；（2）當(dāng)時(shí)，與反向；（3）當(dāng)時(shí)，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的范圍0180C2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|cos叫與的數(shù)量積，記作，即有 = |cos，（）并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos的符號(hào)所決定（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積，而是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分

5、符號(hào)“ ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“”代替（3）在實(shí)數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若，且=0，不能推出=因?yàn)槠渲衏os有可能為0（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bc a=c但是 = = 如右圖： = |cos = |OA|，= |cos = |OA| = 但 (5)在實(shí)數(shù)中，有(aa)c = a(ac)，但是() () 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線3“投影”的概念：作圖 定義：|cos叫做向量在方向上的投影投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng) =

6、 0時(shí)投影為 |；當(dāng) = 180時(shí)投影為 |4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上投影|os的乘積5兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量1 = =|cos2 = 03 當(dāng)與同向時(shí)， = |；當(dāng)與反向時(shí)， = | 特別的 = |2或4 os =5| |三、講解范例：例1 判斷正誤，并簡要說明理由；0；若，則對(duì)任一非零有；，則與中至少有一個(gè)為；對(duì)任意向量，都有（）（）；與是兩個(gè)單位向量，則解：上述8個(gè)命題中只有正確；對(duì)于：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有；對(duì)于：應(yīng)有；對(duì)于：由數(shù)量積定義有cos，這里是與的夾角，只有或時(shí)，才有；對(duì)于：若非零向量、垂直，有；對(duì)于

7、：由可知可以都非零；對(duì)于：若與共線，記則（）（）（），（）（）（）（）若與不共線，則()（）評(píng)述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律例2 已知，當(dāng)，與的夾角是60時(shí)，分別求解：當(dāng)時(shí)，若與同向，則它們的夾角，cos036118；若與反向，則它們的夾角180，cos18036（-1）18；當(dāng)時(shí)，它們的夾角90，；當(dāng)與的夾角是60時(shí)，有cos60369評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0，180，因此，當(dāng)時(shí)，有0或180兩種可能四、課堂練習(xí)：五、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)、運(yùn)算律，并能運(yùn)用它們解決相關(guān)的問題六、課后作業(yè)：七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記及備用資料：1概念辨析：正確理解向量夾角定義對(duì)于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量所構(gòu)成的較小的非負(fù)角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成解題錯(cuò)誤是一些易見的錯(cuò)誤，如：1已知ABC中，求對(duì)此題，有同學(xué)求解如下：解：如圖，cos58cos6020分析：上述解答，乍看正確，但事實(shí)上確實(shí)有錯(cuò)誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義，即上例中與兩向量的起點(diǎn)并不同，因此，并不是它們的夾角，而正確的夾角應(yīng)當(dāng)是C的補(bǔ)角1202向量的