高中數(shù)學選修第一冊：第2章 2.3.2　圓的一般方程-【新教材】人教B版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第一冊講義

1、2.3.2圓的一般方程學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1了解圓的一般方程的特點，會由一般方程求圓心和半徑(重點)2會根據(jù)給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡單問題(重點)3靈活選取恰當?shù)姆椒ㄇ髨A的方程(難點)1通過圓的一般方程的學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)2借助圓的一般方程的求解及其應用，培養(yǎng)數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng)在平面直角坐標系中，已知兩點能確定一條直線，已知一點及傾斜角也能確定一條直線，那么什么條件下可以確定一個圓呢？直線能用二元一次方程表示，圓也能用一個方程表示嗎？這就是本節(jié)課我們要探討的問題1圓的一般方程的概念當D2E24F0時，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圓的一般方

2、程2圓的一般方程對應的圓心和半徑圓的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圓的圓心為eq blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)，f(E,2)，半徑長為eq f(1,2)eq r(D2E24F)3對方程x2y2DxEyF0的說明方程條件圖形x2y2DxEyF0D2E24F0不表示任何圖形D2E24F0表示一個點eq blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)，f(E,2)D2E24F0表示以eq blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)，f(E,2)為圓心，以eq f(1,2)eq r(D2E24F)為半徑的圓思考1：圓的標準方程與圓的一般方程有什么不同？

3、提示圓的一般方程是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征明顯思考2：求圓的一般方程實質上是求圓的一般方程中的哪些量？提示只要求出一般方程中的D、E、F圓的方程就確定了思考3：所有二元二次方程均表示圓嗎？提示不是，Ax2BxyCy2DxEyF0，只有在AC0，B0且D2E24AF0時才表示圓1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)任何一個圓的方程都能寫為一個二元二次方程()(2)圓的一般方程和標準方程可以互化()(3)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓心為eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，a)，半徑為eq f(1,2

4、)eq r(3a24a4)的圓()(4)若點M(x0，y0)在圓x2y2DxEyF0外，則xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F0()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)正確圓的方程都能寫成一個二元二次方程(2)正確圓的一般方程和標準方程是可以互化的(3)錯誤當a2(2a)24(2a2a1)0，即2aeq f(D 2E24F,4)，即xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F02(教材P104練習A改編)圓x2y24x6y0的圓心坐標是()A(2,3)B(2,3)C(2，3) D(2，3)D圓的方程化為(x2)2(y3)213，圓心為(2，3)3若

5、方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)為圓心，4為半徑的圓，則F 4以(2，4)為圓心，4為半徑的圓的方程為(x2)2(y4)216即x2y24x8y40，故F44過O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三點的圓的一般方程為 x2y23x4y0該圓的圓心為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，半徑為eq f(5,2)，故其標準方程為eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)eq sup12(2)(y2)2eq f(25,4)化成一般方程為x2y23x4y0圓的一般方程的概念【例1】已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(tR)所表示的

6、圖形是圓(1)求t的取值范圍；(2)求其中面積最大的圓的方程；(3)若點P(3,4t2)恒在所給圓內，求t的取值范圍解(1)已知方程可化為(xt3)2(y14t2)2(t3)2(14t2)216t497t26t1，由r27t26t10得eq f(1,7)t1(2)req r(7t26t1)eq r(7blc(rc)(avs4alco1(tf(3,7)eq sup12(2)f(16,7)，eq f(3,7)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,7)，1)，當teq f(3,7)時，圓的面積最大，rmaxeq f(4,7)eq r(7)所對應的圓的方程為eq blc(rc)(avs4a

7、lco1(xf(24,7)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(yf(13,49)eq sup12(2)eq f(16,7)(3)當且僅當32(4t2)22(t3)32(14t2)4t216t490，點P恒在圓內，8t26t0，0teq f(3,4)形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有如下兩種方法：1由圓的一般方程的定義令D2E24F0，成立則表示圓，否則不表示圓.2將方程配方后，根據(jù)圓的標準方程的特征求解.應用這兩種方法時，要注意所給方程是不是x2y2DxEyF0這種標準形式，若不是，則要化為這種形式再求解.eq o(跟進訓練)1下列方程各

8、表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)解(1)D1，E0，F(xiàn)1，D2E24F1430，方程不表示任何圖形(2)D2a，E0，F(xiàn)a2，D2E24F4a24a20，方程表示點(a,0)(3)兩邊同除以2，得x2y2axay0，Da，Ea，F(xiàn)0，a0，D2E24F2a20，方程表示圓，它的圓心為eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，半徑req f(1,2)eq r(D2E24F)eq f(r(2),2)|a|求圓的一般方程【例2】已知ABC的三個頂點坐標分別是A(0,5)

9、，B(1，2)，C(3，4)，求它的外接圓的方程，并求其外心坐標思路探究用待定系數(shù)法設出圓的一般方程，然后將A、B、C三點坐標代入，求出D、E、F即可解設ABC的外接圓方程為x2y2DxEyF0將A、B、C三點坐標代入上式得eq blcrc (avs4alco1(5EF250，,D2EF50，,3D4EF250，)解得eq blcrc (avs4alco1(D6，,E2，,F15.)ABC外接圓的方程為x2y26x2y150，即(x3)2(y1)225，ABC的外接圓圓心為(3,1)應用待定系數(shù)法求圓的方程(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用

10、圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r；(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn)eq o(跟進訓練)2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，求三角形ABC的外接圓的方程解設三角形ABC外接圓的方程為x2y2DxEyF0，由題意得eq blcrc (avs4alco1(2D2EF80，,5D3EF340，,3DEF100，)解得eq blcrc (avs4alco1(D8，,E2，,F12，)即三角形ABC的外接圓方程為x2y28x2y120求動點的軌跡方程探究問題1已知動點M到點(8,0)的距離等于點M到點(2,0)的距離的

11、2倍，你能求出點M的軌跡方程嗎？提示設M(x，y)，則eq r(x82y2)2eq r(x22y2)，整理可得點M的軌跡方程為x2y2162已知直角ABC的斜邊為AB，且A(1,0)，B(3,0)，請求出直角頂點C的軌跡方程提示設AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1,0)，由直角三角形的性質知，|CD|eq f(1,2)|AB|2，由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，以2為半徑長的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點)設C(x，y)，則直角頂點C的軌跡方程為(x1)2y24(x3且x1)【例3】已知M(2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點

12、P的軌跡方程是()Ax2y24Bx2y24Cx2y24(x2) Dx2y24(x2)思路探究直角邊垂直斜率相乘等于1轉化為方程檢驗C設P(x，y)，由條件知PMPN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMPkNP1即x2y24，又當P，M，N三點共線時，不能構成三角形，所以x2，即所求軌跡方程為x2y24(x2)過點A(8,0)的直線與圓x2y24交于點B，則AB中點P的軌跡方程為 (x4)2y21設點P的坐標為(x，y)，點B為(x1，y1)，由題意，結合中點坐標公式可得x12x8，y12y，故(2x8)2(2y)24，化簡得(x4)2y21，則AB中點P的軌跡方程為(x4)2y21求與圓有關的

13、軌跡的方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法：利用圓的幾何性質列方程；(4)代入法：若動點P(x，y)依賴于某圓上的一個動點Q(x1，y1)而運動，把x1，y1用x，y表示，再將點Q的坐標代入到已知圓的方程中得點P的軌跡方程1本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)二元二次方程表示圓的判定方法(2)應用待定系數(shù)法求圓的方程的方法(3)代入法求軌跡方程的一般步驟2本節(jié)課的易錯點是忽略二元二次方程表示圓的條件1已知方程x2y22x2k30表示圓，則k的取值范圍為()A(，1)B(3，)C(，1)(3，) Deq blc(rc)(avs4alc

14、o1(f(3,2)，)A方程可化為：(x1)2y22k2，只有2k20，即k1時才能表示圓2若直線2xym0過圓x2y22x4y0的圓心，則m的值為()A2 B1C2 D0D圓的標準方程為(x1)2(y2)25，則圓心坐標為(1，2)，直線2xym0過x2y22x4y0的圓心22m0得m03點P(x0，y0)是圓x2y216上的動點，點M是OP(O為原點)的中點，則動點M的軌跡方程為 x2y24設M(x，y)，則eq blcrc (avs4alco1(xf(x0,2)，,yf(y0,2)，)即eq blcrc (avs4alco1(x02x，,y02y.)又(x0，y0)在圓上，4x24y216，即x2y244方程x2y2axbyc0表示圓心為(1,2)，半徑為1的圓，則abc 2根據(jù)題意，方程x2y2axbyc0表示圓心為(1,2)，半徑為1的圓，則eq blcrc (avs4alco1(f(a,2)1，,f(b