概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)課件ch5大數(shù)定律、中心極限定理icrosoftPowerPoint演示文稿

1、5.1 大數(shù)定律5.2 中心極限定理第五章 大數(shù)定律與中心極限定理 5.1 大數(shù)定律 事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試 驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn) 定于某個(gè)常數(shù)。一、大數(shù)定律引入的客觀背景字母使用頻率生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率大量測(cè)量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性二、頻率的穩(wěn)定性的實(shí)質(zhì)或有頻率依概率收斂于概率 設(shè) 是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)， p是每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任 給的 0，定理1（貝努里大數(shù)定律）或貝努里三、貝努里大數(shù)定律證明貝努里大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差 ，則對(duì)于任給 0,貝努里大數(shù)定律表明：當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，

2、事件A發(fā)生的頻率n /n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小. 貝努里大數(shù)定律提供了通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定 事 件概率的方法.蒲豐投針問(wèn)題中解法的理論依據(jù)就是大數(shù)定律 當(dāng)投針次數(shù)n很大時(shí)，用針與線相交的頻率m/n近似針與線相交的概率p，從而求得的近似值.針長(zhǎng)L線距a思考 ：用蒙特卡洛方法如何計(jì)算定積分？（隨機(jī)投點(diǎn)法） 設(shè)0f(x)1,求定積分如何計(jì)算a,b上的定積分呢？四、 常用的幾個(gè)大數(shù)定律1.大數(shù)定律的一般形式定義 設(shè)有一隨機(jī)變量序列Xn,如果對(duì)任 給的 0，則稱隨機(jī)變量序列Xn服從大數(shù)定律定理2（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè) X1,X2, 是一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共

3、同的上界，即 Var(Xi) c，i=1,2, ，則對(duì)任意的0，切比雪夫2.切比雪夫大數(shù)定律（1）切比雪夫大數(shù)定律表明，兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列Xn，如果方差存在且有共同的上界，則與其數(shù)學(xué)期望 偏差很小的概率接近于1. 不再是隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.即當(dāng)n充分大時(shí)，差不多切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述注：（2）切比雪夫大數(shù)定律只要求Xn互不相關(guān)，并不要求同分布.當(dāng)Xn獨(dú)立同分布，且方差有限時(shí)， Xn必定服從大數(shù)定律.即得以下定理3.定理3（切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況）設(shè)X1,X2, 是獨(dú)立且具有相同的期望和方差的隨機(jī)變量序列，即E(Xi)= ，D(Xi)=

4、， i=1,2,則對(duì)任給 0,注：貝努里大數(shù)定律是定理3的特特情況. 事實(shí)上，設(shè)n是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā) 生次數(shù), P是事件A發(fā)生的概率，引入i=1,2,n是事件A發(fā)生的頻率，3.馬爾可夫大數(shù)定律對(duì)隨機(jī)變量序列Xn,若定理4則隨機(jī)變量序列Xn服從大數(shù)定律，即對(duì)任意的0，有馬爾可夫條件注:(1)馬爾可夫大數(shù)定律的條件較弱.它沒(méi)有獨(dú)立性、不相關(guān)、同分布的假定，容易滿足。(2)切比雪夫大數(shù)定律可由馬爾可夫大數(shù)定律推出.4.辛欽大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對(duì)任給 0 ，定理5（辛欽大數(shù)定律）辛欽辛欽大數(shù)定律不要求隨機(jī)變量的方差存

5、在.注: 辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值 提供了一條實(shí)際可行的途徑. 例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n 塊. 計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).用蒙特卡洛方法計(jì)算定積分（平均值法）求的值例因此，當(dāng)n充分大時(shí)， 計(jì)算原理：設(shè)XU(0, 1)由大數(shù)定律均值法步驟：1) 產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)xi,2) 計(jì)算f(xi)， n=1,2,Nn=1,2,N即3) 用平均值近似積分值應(yīng)如何近似計(jì)算？請(qǐng)思考. 問(wèn)：若用上述方法求 大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn).大數(shù)定律

6、在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用.平均結(jié)果的穩(wěn)定性(一） 依概率收斂的定義定義 設(shè)隨機(jī)變量序列Y1，Y2，Y3，a是一常數(shù)，若對(duì)于任意正數(shù)，有： 五、隨機(jī)變量序列的依概率收斂 則稱隨機(jī)變量序列Yn依概率收斂于a 記為（二） 依概率收斂的性質(zhì)見(jiàn)教材P145-146補(bǔ)充性質(zhì)：設(shè)隨機(jī)變量序列 ，f(x)為直線上的連續(xù)函數(shù)， 則 5.2 中心極限定理（一）中心極限定理引入的客觀背景 在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響. 例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差、空氣阻力所產(chǎn)生的誤差、炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等. 這些隨機(jī)因素的總影響可表示成獨(dú)立隨機(jī)變量

7、之和當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么？觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量(隨機(jī)變量的和）一般都服從或近似服從正態(tài)分布.例:20個(gè)0-1分布的和的分布X1 f(x)X1 +X2g(x)X1 +X2+X3 h(x)幾個(gè)(0,1)上均勻分布的和的分布0123xfgh總之，在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量，它們是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所形成的，而其中每一個(gè)因素在總的影響中所起的作用都是微小的，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。這種隨機(jī)變量可以表示成相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，中心極限定理將研究這種和當(dāng) 時(shí)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

8、為方便起見(jiàn)，研究n個(gè)隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.的分布函數(shù)的極限.可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 考慮中心極限定理這就是下面要介紹的(二)獨(dú)立同分布的中心極限定理（林德貝爾格勒維（lindeberglevy）極限定理）教材p147定理四 若X1,X2,是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且EXi=,Var(Xi)=2（20）,i=1,2, 則對(duì)任給的實(shí)數(shù)y,有例 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的. 求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，16只元件

9、的壽命的總和為解: 設(shè)第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16E(Xi)=100, Var(Xi)=10000依題意，所求為P(Y1920)由于E(Y)=1600,Var(Y)=160000由中心極限定理,近似服從N（0，1）P(Y1920)=1-P(Y1920) =1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119(三)德莫佛拉普拉斯（de Moirre-Laplace）極限定理教材P150定理六 設(shè)n是n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p(0p1)，則對(duì)于任給的實(shí)數(shù)y例 某廠有400臺(tái)同類機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概率都是0.02，各臺(tái)機(jī)器工作相互獨(dú)立 ，試分別用二項(xiàng)分布