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長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年山東力明科技職業(yè)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請(qǐng)謹(jǐn)慎購買!第1卷一.綜合題(共50題)1.函數(shù)y=(12)x的值域?yàn)開_____.答案:因?yàn)楹瘮?shù)y=(12)x是指數(shù)函數(shù),所以它的值域是(0,+∞).故為:(0,+∞).2.點(diǎn)(1,2)到原點(diǎn)的距離為()
A.1
B.5
C.
D.2答案:C3.設(shè)x,y,z∈R,且滿足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,則x+y+z=______.答案:根據(jù)柯西不等式,得(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2)=14(x2+y2+z2)當(dāng)且僅當(dāng)x1=y2=z3時(shí),上式的等號(hào)成立∵x2+y2+z2=1,∴(x+2y+3z)2≤14,結(jié)合x+2y+3z=14,可得x+2y+3z恰好取到最大值14∴x1=y2=z3=1414,可得x=1414,y=147,z=31414因此,x+y+z=1414+147+31414=3147故為:31474.兩個(gè)樣本甲和乙,其中=10,=10,=0.055,=0.015,那么樣本甲比樣本乙波動(dòng)()
A.大
B.相等
C.小
D.無法確定答案:A5.在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(a,0,0),Q(4,1,2),且|PQ|=,則a=()
A.1
B.-1
C.-1或9
D.1或9答案:C6.若向量且與的夾角余弦為則λ等于()
A.4
B.-4
C.
D.答案:C7.如果執(zhí)行如圖的程序框圖,那么輸出的S=______.答案:根據(jù)題意可知該循環(huán)體運(yùn)行5次第一次:k=2,s=2,第二次:k=3,s=2+4,第三次:k=4,s=2+4+6,第四次:k=5,s=2+4+6+8,因?yàn)閗=5,結(jié)束循環(huán),輸出結(jié)果S=2+4+6+8=20.故為:20.8.已知兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的定義域和值域都是集合1,2,3,其定義如下表:
表1:
x123f(x)231表2:
x123g(x)321則方程g[f(x)]=x的解集為______.答案:由題意得,當(dāng)x=1時(shí),g[f(1)]=g[2]=2不滿足方程;當(dāng)x=2時(shí),g[f(2)]=g[3]=1不滿足方程;x=3,g[f(3)]=g[1]=3滿足方程,是方程的解.故為:{3}9.設(shè)e1,e2為單位向量.且e1、e2的夾角為π3,若a=e1+3e2,b=2e1,則向量a在b方向上的射影為______.答案:∵e1、e2為單位向量,且e1和e2的夾角θ等于π3,∴e1?e2=1×1×cosπ3=12.∵a=e1+3e2,b=2e1,∴a?b=(e1+3e2)?(2e1)=2e12+6e1?e2=2+3=5.∴a在b上的射影為a?b|b|=52,故為52.10.直線y=33x繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后,所得直線與圓(x-2)2+y2=3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是______.答案:∵直線y=33x的斜率為33,∴此直線的傾斜角為30°,∴此直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后傾斜角為60°,∴此直線旋轉(zhuǎn)后的方程為y=3x,由圓(x-2)2+y2=3,得到圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑r=3,∵圓心到直線y=3x的距離d=232=3=r,∴該直線與圓相切,則直線與圓(x-2)2+y2=3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.故為:111.過點(diǎn)(-3,-1),且與直線x-2y=0平行的直線方程為______.答案:直線l經(jīng)過點(diǎn)(-3,-1),且與直線x-2y=0平行,直線的斜率為12所以直線l的方程為:y+1=12(x+3)即x-2y+1=0.故為:x-2y+1=0.12.若A,B,C是直線存在實(shí)數(shù)x使得,實(shí)數(shù)x為()
A.-1
B.0
C.
D.答案:A13.四面體ABCD中,設(shè)M是CD的中點(diǎn),則化簡(jiǎn)的結(jié)果是()
A.
B.
C.
D.答案:A14.已知圓C:x2+y2-4x-5=0.
(1)過點(diǎn)(5,1)作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C的弦AB的中點(diǎn)P(3,1),求AB所在直線方程.答案:由C:x2+y2-4x-5=0得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=9-----------(2分)(1)顯然x=5為圓的切線.------------------------(4分)另一方面,設(shè)過(5,1)的圓的切線方程為y-1=k(x-5),即kx-y+1-5k=0;所以d=|2k-5k+1|k2+1=3,解得k=-43于是切線方程為4x+3y-23=0和x=5.------------------------(7分)(2)設(shè)所求直線與圓交于A,B兩點(diǎn),其坐標(biāo)分別為(x1,y1)B(x2,y2)則有(x1-2)2+y21=9(x2-2)2+y22=9兩式作差得(x1+x2-4)(x2-x1)+(y2+y1)(y2-y1)=0--------------(10分)因?yàn)閳AC的弦AB的中點(diǎn)P(3,1),所以(x2+x1)=6,(y2+y1)=2
所以y2-y1x2-x1=-1,故所求直線方程為
x+y-4=0-----------------(14分)15.三行三列的方陣.a11a12
a13a21a22
a23a31a32
a33.中有9個(gè)數(shù)aji(i=1,2,3;j=1,2,3),從中任取三個(gè)數(shù),則它們不同行且不同列的概率是()A.37B.47C.114D.1314答案:從給出的9個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù),共有C39;從三行三列的方陣中任取三個(gè)數(shù),使它們不同行且不同列:從第一行中任取一個(gè)數(shù)有C13種方法,則第二行只能從另外兩列中的兩個(gè)數(shù)任取一個(gè)有C12種方法,第三行只能從剩下的一列中取即可有1中方法,∴共有C13×C12×C11=6.∴從三行三列的方陣中任取三個(gè)數(shù),則它們不同行且同列的概率P=6C39=114.故選C.16.若直線ax+by+1=0與圓x2+y2=1相離,則點(diǎn)P(a,b)的位置是()
A.在圓上
B.在圓外
C.在圓內(nèi)
D.以上都有可能答案:C17.若圖中的直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則()
A.k1<k2<k3
B.k3<k1<k2
C.k3<k2<k1
D.k1<k3<k2
答案:D18.O為△ABC平面上一定點(diǎn),該平面上一動(dòng)點(diǎn)p滿足M={P|OP=OA+λ(AB|AB|sinC+AC|AC|sinB)
,λ>0},則△ABC的()一定屬于集合M.A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心答案:如圖:D是BC的中點(diǎn),在△ABC中,由正弦定理得,|AB|sinC=|AC|sinB即sinc|AB|=sinB||AC|,設(shè)t=sinc|AB|=sinB||AC|,代入OP=OA+λ(AB|AB|sinC+AC|AC|sinB)得,OP=OA+λt(AB+AC)①,∵D是BC的中點(diǎn),∴AB+AC=2AD,代入①得,OP=OA+2λtAD,∴AP=2λtAD且λ、t都是常數(shù),則AP∥AD,∴點(diǎn)P得軌跡是直線AD,△ABC的重心一定屬于集合M,故選A.19.在甲、乙兩個(gè)盒子里分別裝有標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)小球,現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子里各取出1個(gè)小球,每個(gè)小球被取出的可能性相等.
(1)求取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的概率;
(2)求取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)之和能被3整除的概率;
(3)求取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)之和大于5整除的概率.答案:甲、乙兩個(gè)盒子里各取出1個(gè)小球計(jì)為(X,Y)則基本事件共有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)總數(shù)為16種.(1)其中取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的基本事件有:(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)共6種故取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的概率P=38;(2)其中取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)之和能被3整除的基本事件有:(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)共5種故取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)之和能被3整除的概率為516;(3)其中取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)之和大于5的基本事件有:(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)共6種故取出的兩個(gè)小球上標(biāo)號(hào)之和大于5的概率P=3820.直線l只經(jīng)過第一、三、四象限,則直線l的斜率k()
A.大于零
B.小于零
C.大于零或小于零
D.以上結(jié)論都有可能答案:A21.點(diǎn)P(1,3,5)關(guān)于平面xoz對(duì)稱的點(diǎn)是Q,則向量=()
A.(2,0,10)
B.(0,-6,0)
C.(0,6,0)
D.(-2,0,-10)答案:B22.已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式2a=3b,下列五個(gè)關(guān)系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;
⑤a=b.其中可能成立的關(guān)系式有()
A.①②③
B.①②⑤
C.①③⑤
D.③④⑤答案:B23.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn),點(diǎn)P是平面ABCD上的一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P到直線A1D1的距離兩倍的平方比到點(diǎn)M的距離的平方大4,則點(diǎn)P的軌跡為()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線答案:在平面ABCD上,以AD為x軸,以AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則M(,12,0),設(shè)P(x,y)則|MP|2=y2+(x-12)2點(diǎn)P到直線A1D1的距離為x2+1由題意得4(x2+1)=
y2+(x-12)2+4即3(x+12)2-y2=74選C24.在△ABC中,“A=45°”是“sinA=22”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:當(dāng)A=45°時(shí),sinA=22成立.若當(dāng)A=135°時(shí),滿足sinA=22.所以,“A=45°”是“sinA=22”的充分不必要條件.故選A.25.200輛汽車經(jīng)過某一雷達(dá)地區(qū),時(shí)速頻率分布直方圖如圖所示,則時(shí)速不低于60km/h的汽車數(shù)量為
______輛.答案:時(shí)速不低于60km/h的汽車的頻率為(0.028+0.01)×10=0.38∴時(shí)速不低于60km/h的汽車數(shù)量為200×0.38=76故為:7626.兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為答案:∵直線l1和l2的方向向量分別為27.若事件與相互獨(dú)立,且,則的值等于A.B.C.D.答案:B解析:事件“”表示的意義是事件與同時(shí)發(fā)生,因?yàn)槎呦嗷オ?dú)立,根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得:.28.在平面幾何里,我們知道,正三角形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑之比是2:1。拓展到空間,研究正四面體(四個(gè)面均為全等的正三角形的四面體)的外接球和內(nèi)切球的半徑關(guān)系,可以得出的正確結(jié)論是:正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是(
)。答案:3:129.若兩條平行線L1:x-y+1=0,與L2:3x+ay-c=0
(c>0)之間的距離為,則等于()
A.-2
B.-6
C..2
D.0答案:A30.拋擲甲、乙兩骰子,記事件A:“甲骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”;事件B:“乙骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”,則P(B|A)的值等于()
A.
B.
C.
D.答案:B31.選做題
已知拋物線,過原點(diǎn)O直線與交于兩點(diǎn)。
(1)求的最小值;
(2)求的值答案:解:設(shè)直線的參數(shù)方程為與拋物線方程
聯(lián)立得32.已知向量OC=(2,2),CA=(2cosa,2sina),則向量.OA的模的最大值是()A.3B.32C.2D.18答案:∵OA=OC+CA=(2+2cosa,2+2sina)|OA|=(2+2cosa)2+(2+2sina)2=10+8sin(a+π4)∴|OA|≤18=32故選B.33.設(shè)b是a的相反向量,則下列說法錯(cuò)誤的是()
A.a(chǎn)與b的長(zhǎng)度必相等
B.a(chǎn)與b的模一定相等
C.a(chǎn)與b一定不相等
D.a(chǎn)是b的相反向量答案:C34.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()
A.(-∞,-1]∪[4,+∞)
B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.[1,2]
D.(-∞,1]∪[2,+∞)答案:A35.與
向量
=(2,-1,2)共線且滿足方程=-18的向量為()
A.不存在
B.-2
C.(-4,2,-4)
D.(4,-2,4)答案:D36.設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S={1,3,5},T={3,6},則CU(S∪T)等于()A.φB.{2,4,7,8}C.{1,3,5,6}D.{2,4,6,8}答案:∵S∪T={1,3,5,6},∴CU(S∪T)={2,4,7,8}.故選B.37.設(shè)a1,a2,…,a2n+1均為整數(shù),性質(zhì)P為:對(duì)a1,a2,…,a2n+1中任意2n個(gè)數(shù),存在一種分法可將其分為兩組,每組n個(gè)數(shù),使得兩組所有元素的和相等求證:a1,a2,…,a2n+1全部相等當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P.答案:證明:①當(dāng)a1,a2,…,a2n+1全部相等時(shí),從中任意2n個(gè)數(shù),將其分為兩組,每組n個(gè)數(shù),兩組所有元素的和相等,故性質(zhì)P成立.②下面證明:當(dāng)a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P時(shí),a1,a2,…,a2n+1全部相等.反證法:假設(shè)a1,a2,…,a2n+1不全部相等,則其中至少有一個(gè)整數(shù)和其它的整數(shù)不同,不妨設(shè)此數(shù)為a1,若a1在取出的2n個(gè)數(shù)中,將其分為兩組,每組n個(gè)數(shù),則a1在的那個(gè)組所有元素的和與另一個(gè)組所有元素的和不相等,這與性質(zhì)P矛盾,故假設(shè)不成立,所以,當(dāng)a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P時(shí),a1,a2,…,a2n+1全部相等.綜上,a1,a2,…,a2n+1全部相等當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P.38.在△ABC中,DE∥BC,DE將△ABC分成面積相等的兩部分,那么DE:BC=()
A.1:2
B.1:3
C.
D.1:1答案:C39.若a>0,b>0,則不等式-b<aA.<x<0或0<x<
答案:D解析:試題分析:40.若4名學(xué)生和3名教師站在一排照相,則其中恰好有2名教師相鄰的站法有______種.(用數(shù)字作答)答案:4名學(xué)生和3名教師站在一排照相,則其中恰好有2名教師相鄰,所以第一步應(yīng)先取兩個(gè)老師且綁定有C23×A22=6種方法,第二步將四名學(xué)生全排列,共有4!=24種方法,第三步將綁定的兩位老師與剩下的一位老師看作兩個(gè)元素,插入四個(gè)學(xué)生隔開的五個(gè)空中,共有A25=20種方法故總的站法有6×24×20=2880種故為288041.已知圖形F上的點(diǎn)A按向量平移前后的坐標(biāo)分別是和,若B()是圖形F上的又一點(diǎn),則在F按向量平移后得到的圖形F,上B,的坐標(biāo)是(
)A.B.C.D.答案:選D解析:設(shè)向量,則平移公式為依題意有∴平移公式為將B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得B,點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以選D.42.設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布如表所示:
求:(l)P(ξ<1),P(ξ≤1),P(ξ<2),P(ξ≤2);
(2)P(x)=P(ξ≤x),x∈R.答案:(1)根據(jù)所給的分布列可知14+13+m+112=1,∴m=13,∴P(ξ<1)=0P(ξ≤1)=P(ξ=1)=14P(ξ<2)=P(ξ≤1)=P(ξ=1)=14P(ξ≤2)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=14+13=712(2)根據(jù)所給的分布列和第一問做出的結(jié)果,得到P(X)=14,(x≤1)P(X)=712,(1<X≤2)P(X)=1112,(2<x≤3)p(X)=1,(X≥3)43.某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人,中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍.為了解職工身體狀況,現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查,在抽取的樣本中有青年職工32人,則該樣本中的老年職工人數(shù)為()
A.9
B.18
C.27
D.36答案:B44.化簡(jiǎn):AB+CD+BC=______.答案:如圖:AB+CD+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD.故為:AD.45.一部記錄影片在4個(gè)單位輪映,每一單位放映一場(chǎng),則不同的輪映方法數(shù)有()A.16B.44C.A44D.43答案:本題可以看做把4個(gè)單位看成四個(gè)位置,在四個(gè)位置進(jìn)行全排列,故有A44種結(jié)果,故選C.46.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)A(1,2)到點(diǎn)B(x0,0)的距離等于到直線x=-1的距離,則實(shí)數(shù)x0的值是______.答案:∵點(diǎn)A(1,2)在拋物線y2=2px(p>0)上,∴4=2p,p=2,故拋物線方程為y2=4x,準(zhǔn)線方程為x=1.由點(diǎn)A(1,2)到點(diǎn)B(x0,0)的距離等于到直線x=-1的距離,故點(diǎn)B(x0,0)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),故x0=1.故為1.47.下列命題中為真命題的是(
)
A.平行直線的傾斜角相等
B.平行直線的斜率相等
C.互相垂直的兩直線的傾斜角互補(bǔ)
D.互相垂直的兩直線的斜率互為相反數(shù)答案:A48.若點(diǎn)P(a,b)在圓C:x2+y2=1的外部,則直線ax+by+1=0與圓C的位置關(guān)系是()
A.相切
B.相離
C.相交
D.相交或相切答案:C49.若曲線C的極坐標(biāo)方程為
ρcos2θ=2sinθ,則曲線C的普通方程為______.答案:曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=2sinθ,即ρ2?cos2θ=2ρsinθ,化為直角坐標(biāo)方程為x2=2y,故為x2=2y50.用隨機(jī)數(shù)表法從100名學(xué)生(男生35人)中選20人作樣本,男生甲被抽到的可能性為()A.15B.2035C.35100D.713答案:由題意知,本題是一個(gè)等可能事件的概率,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是用隨機(jī)數(shù)表法從100名學(xué)生選一個(gè),共有100種結(jié)果,滿足條件的事件是抽取20個(gè),∴根據(jù)等可能事件的概率公式得到P=20100=15,故選A.第2卷一.綜合題(共50題)1.已知|a=2,|b|=1,a與b的夾角為60°,求向量.a+2b與2a+b的夾角.答案:由題意得,a?b=2×1×12=1,∴(a+2b)?(2a+b)=2a2+5a?b+2b2=15,|a+2b|=a2+4a?b+4b2=23,|2a+b|=4a2+4a?b+b2=21,設(shè)a+2b與2a+b夾角為θ,則cosθ=(a+2b)?(2a+b)|a+2b||2a+b|=1523×21=5714,則θ=arccos57142.設(shè)二項(xiàng)式(33x+1x)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為P,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為S,若P+S=272,則n=()A.4B.5C.6D.8答案:根據(jù)題意,對(duì)于二項(xiàng)式(33x+1x)n的展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為S,則S=2n,令x=1,可得其展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和,即P=4n,結(jié)合題意,有4n+2n=272,解可得,n=4,故選A.3.集合A={3,2a},B={a,b},若A∩B={2},則A∪B=______.答案:根據(jù)題意,若A∩B={2},則2∈A,2∈B,而已知A={3,2a},則必有2a=2,故a=1,又由2∈B,且a=1則b=2,故A∪B={1,2,3},故為{1,2,3}.4.若圖中直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則()A.k2<k1<k3B.k3<k2<k1C.k2<k3<k1D.k1<k3<k2答案:∵直線l2的傾斜角為鈍角,∴k2<0.直線l1,l3的傾斜角為銳角,且直線l1的傾斜角小于l3的傾斜角,∴0<k1<k3.故選A.5.四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有兩名相鄰,但三名女生不能連排,則不同的排法數(shù)有()A.3600B.3200C.3080D.2880答案:由題意知本題需要利用分步計(jì)數(shù)原理來解,∵三名女生有且僅有兩名相鄰,∴把這兩名女生看做一個(gè)元素,與另外一名女生作為兩個(gè)元素,有C32A22種結(jié)果,把男生排列有A44,把女生在男生所形成的5個(gè)空位中排列有A52種結(jié)果,共有C32A22A44A52=2880種結(jié)果,故選D.6.某種燈泡的耐用時(shí)間超過1000小時(shí)的概率為0.2,有3個(gè)相互獨(dú)立的燈泡在使用1000小時(shí)以后,最多只有1個(gè)損壞的概率是()
A.0.008
B.0.488
C.0.096
D.0.104答案:D7.如圖,若直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則k1,k2,k3三個(gè)數(shù)從小到大的順序依次是______.答案:由函數(shù)的圖象可知直線l1,l2,l3的斜率滿足k1<0<k3<k2所以k1,k2,k3三個(gè)數(shù)從小到大的順序依次是k1,k3,k2故為:k1,k3,k2.8.|a|=4,a與b的夾角為30°,則a在b方向上的投影為______.答案:a在b方向上的投影為|a|cos30°=4×32=23故為:239.(選做題)圓內(nèi)非直徑的兩條弦AB、CD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,已知PA=PB=4,PC=14PD,則CD=______.答案:連接AC、BD.∵∠A=∠D,∠C=∠B,∴△ACP∽△DBP,∴PAPD=PCPB,∴4PD=14PD4,∴PD2=64∴PD=8∴CD=PD+PC=8+2=10,故為:1010.拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______答案:拋物線y2=8x,所以p=4,所以焦點(diǎn)(2,0),故為(2,0)..11.某班一天上午安排語、數(shù)、外、體四門課,其中體育課不能排在第一、第四節(jié),則不同排法的種數(shù)為()A.24B.22C.20D.12答案:先排體育課,有2種排法,再排語、數(shù)、外三門課,有A33種排法,按乘法原理,不同排法的種數(shù)為2×A33=12.故選D.12.三個(gè)數(shù)a=0.32,b=log20.3,c=20.3之間的大小關(guān)系是()A.a(chǎn)<c<bB.a(chǎn)<b<cC.b<a<cD.b<c<a答案:由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知:b=log20.3<0,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知:0<a<1,c>1∴b<a<c故選C13.命題“當(dāng)AB=AC時(shí),△ABC是等腰三角形”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中,真命題有______個(gè).答案:原命題為真命題.逆命題“當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),AB=AC”為假命題.否命題“當(dāng)AB≠AC時(shí),△ABC不是等腰三角形”為假命題.逆否命題“當(dāng)△ABC不是等腰三角形時(shí),AB≠AC”為真命題.故為:2.14.不等式>1–log2x的解是(
)
A.x≥2
B.x>1
C.1xx>2答案:B15.知x、y、z均為實(shí)數(shù),
(1)若x+y+z=1,求證:++≤3;
(2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.答案:(1)證明略(2)x2+y2+z2的最小值為解析:(1)證明
因?yàn)椋?+)2≤(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27.所以++≤3.
7分(2)解
因?yàn)?12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=36,即14(x2+y2+z2)≥36,所以x2+y2+z2的最小值為.
14分16.已知P(B|A)=,P(A)=,則P(AB)等于()
A.
B.
C.
D.答案:C17.已知矩陣A將點(diǎn)(1,0)變換為(2,3),且屬于特征值3的一個(gè)特征向量是11,(1)求矩陣A.(2)β=40,求A5β.答案:(1)設(shè)A=abcd,由abcd10=23得,a=2c=3,由abcd11=311=33得,a+b=3c+d=3,所以b=1d=0所以A=2130.
7分(2)A=2130的特征多項(xiàng)式為f(λ)=.λ-2-1-3λ.=
(λ
-3)(λ+1)令f(λ)=0,可得λ1=3,λ2=-1,λ1=3時(shí),α1=11,λ2=-1時(shí),α2=1-3令β=mα1+α2,則β=40=3α1+α2,A5β=3×35α1-α2=36-136+3…14分.18.橢圓x=3cosθy=4sinθ的離心率是______.答案:∵x=3cosθy=4sinθ,∴(x3)2+(y4)2=cos2θ+sin2θ=1,即x29+y216=1,其中a2=16,b2=9,故c2=a2-b2=16-9=7(a>0,b>0,c>0),∴其離心率e=ca=74.故為:74.19.函數(shù)f(x)=2,0<x<104,10≤x<155,15≤x<20,則函數(shù)的值域是()A.[2,5]B.{2,4,5}C.(0,20)D.N答案:∵f(x)=20<x<10410≤x<15515≤x<20∴函數(shù)的值域是{2,4,5}故選B20.已知△ABC,A(-1,0),B(3,0),C(2,1),對(duì)它先作關(guān)于x軸的反射變換,再將所得圖形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.
(1)分別求兩次變換所對(duì)應(yīng)的矩陣M1,M2;
(2)求△ABC在兩次連續(xù)的變換作用下所得到△A′B′C′的面積.答案:(1)關(guān)于x軸的反射變換M1=100-1,繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的變換M2=0-110.(4分)(2)∵M(jìn)2?M1=0-110100-1=0110,(6分)△ABC在兩次連續(xù)的變換作用下所得到△A′B′C′,∴A(-1,0),B(3,0),C(2,1)變換成:A′(0,-1),B′(0,3),C′(1,2),(9分)∴△A'B'C'的面積=12×4×1=2.(10分)21.大熊貓活到十歲的概率是0.8,活到十五歲的概率是0.6,若現(xiàn)有一只大熊貓已經(jīng)十歲了,則他活到十五歲的概率是()
A.0.8
B.0.75
C.0.6
D.0.48答案:B22.曲線x=t+1ty=12(t+1t)(t為參數(shù))的直角坐標(biāo)方程是______.答案:∵曲線C的參數(shù)方程x=t+1ty=12(t+1t)(t為參數(shù))x=t+1t≥2,可得x的限制范圍是x≥2,再根據(jù)x2=t+1t+2,∴t+1t=x2-2,可得直角坐標(biāo)方程是:x2=2(y+1),(x≥2),故為:x2=2(y+1),(x≥2).23.已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,3)、B(-1,-1)、C(-3,5),求這個(gè)三角形外接圓的方程.答案:設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則(1-a)2+(3-b)2=r2(-1-a)2+(-1-b)2=r2(-3-a)2+(5-b)2=r2,整理得a+2b-2=02a-b+6=0,解之得a=-2,b=2,可得r2=10,因此,這個(gè)三角形外接圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=10.24.若a=(1,2,-2),b=(1,0,2),則(a-b)?(a+2b)=______.答案:∵a=(1,2,-2),b=(1,0,2),∴a-b=(0,2,-4),a+2b=(3,2,2).∴(a-b)?(a+2b)=0×3+2×2-4×2=-4.故為-4.25.一個(gè)完整的程序框圖至少應(yīng)該包含______.答案:完整程序框圖必須有起止框,用來表示程序的開始和結(jié)束,還要包括處理框,用來處理程序的執(zhí)行.故為:起止框、處理框.26.證明不等式的最適合的方法是()
A.綜合法
B.分析法
C.間接證法
D.合情推理法答案:B27.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PM的最小值.答案:過C作CM⊥AB,連接PM,因?yàn)镻C⊥AB,所以AB⊥平面PCM,所以PM⊥AB,此時(shí)PM最短,∵∠BAC=60°,AB=8,∴AC=AB?cos60°=4.∴CM=AC?sin60°=4?32=23.∴PM=PC2+CM2=16+12=27.28.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,過右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A、B兩點(diǎn),若AF=3FB,則k=______.答案:設(shè)l為橢圓的右準(zhǔn)線,過A、B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1為垂足,過B作BE⊥AA1于E,則|AA1|=|AF|e,|BB1|=|BF|e,由AF=3FB知,|AA1|=3|BF|e,∴cos<BAE=|AE||AB|=2|BF|e4|BF|=12e=33,∴sin∠BAE=63,∴tan∠BAE=2.∴k=2.故:2.29.若圖中的直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則()
A.k1<k2<k3
B.k3<k1<k2
C.k3<k2<k1
D.k1<k3<k2
答案:D30.下面是一個(gè)算法的偽代碼.如果輸出的y的值是10,則輸入的x的值是______.答案:由題意的程序,若x≤5,y=10x,否則y=2.5x+5,由于輸出的y的值是10,當(dāng)x≤5時(shí),y=10x=10,得x=1;當(dāng)x>5時(shí),y=2.5x+5=10,得x=2,不合,舍去.則輸入的x的值是1.故為:1.31.從直徑AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C,過點(diǎn)C作該圓的切線,切點(diǎn)為D,若∠ACD的平分線交AD于點(diǎn)E,則∠CED的度數(shù)是()
A.30°
B.45°
C.60°
D.隨點(diǎn)C的變化而變化答案:B32.已知按向量平移得到,則
.答案:3解析:由平移公式可得解得.33.六個(gè)不同大小的數(shù)按如圖形式隨機(jī)排列,設(shè)第一行這個(gè)數(shù)為M1,M2,M3分別表示第二、三行中最大數(shù),則滿足M1<M2<M3所有排列的個(gè)數(shù)______.答案:首先M3一定是6個(gè)數(shù)中最大的,設(shè)這六個(gè)數(shù)分別為a,b,c,d,e,f,不妨設(shè)a>b>c>d>e>f.因?yàn)槿绻鸻在第三行,則a一定是M3,若a不在第三行,則a一定是M1或M2,此時(shí)無法滿足M1<M2<M3,故a一定在第三行.故
M2一定是b,c,d中一個(gè),否則,若M2是e,則第二行另一個(gè)數(shù)只能是f,那么第一行的數(shù)就比e大,無法滿足M1<M2<M3.當(dāng)M2是b時(shí),此時(shí),a在第三行,b在第二行,其它數(shù)任意排,所有的排法有C31
C21
A44=144(種),當(dāng)M2是c時(shí),此時(shí)a和b必須在第三行,c在第二行,其它數(shù)任意排,所有的排法有A32
C21
A33=72(種),當(dāng)M2是d時(shí),此時(shí),a,b,c在第三行,d在第二行,其它數(shù)任意排,所有的排法有A33
C21
A22=24(種),故滿足M1<M2<M3所有排列的個(gè)數(shù)為:24+72+144=240種,故為:240.34.若A∩B=A∪B,則A______B.答案:設(shè)有集合W=A∪B=B∩C,根據(jù)并集的性質(zhì),W=A∪B?A?W,B?W,根據(jù)交集的性質(zhì),W=A∩B?W?A,W?B由集合子集的性質(zhì),A=B=W,故為:=.35.設(shè)a=(x,y,3),b=(3,3,5),且a⊥b,則x+y=()A.1B.-1C.-5D.5答案:∵a=(x,y,3),b=(3,3,5),且a⊥b,∴a?b=3x+3y+15=0,∴x+y=-5,故選
C.36.平面向量a與b的夾角為,若a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|=()
A.
B.2
C.4
D.12答案:B37.過點(diǎn)M(0,1)作直線,使它被兩直線l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的線段恰好被M所平分,求此直線方程.答案:設(shè)所求直線與已知直線l1,l2分別交于A、B兩點(diǎn).∵點(diǎn)B在直線l2:2x+y-8=0上,故可設(shè)B(t,8-2t).又M(0,1)是AB的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得A(-t,2t-6).∵A點(diǎn)在直線l1:x-3y+10=0上,∴(-t)-3(2t-6)+10=0,解得t=4.∴B(4,0),A(-4,2),故所求直線方程為:x+4y-4=0.38.設(shè)a、b為單位向量,它們的夾角為90°,那么|a+3b|等于()A.7B.10C.13D.4答案:∵a,b它們的夾角為90°∴a?b=0∴(a+3b)2=a2+6a?b+9b2=10,|a+3b|=10.故選B.39.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O,有OM=xOA+13OB+13OC,則x的值為()A.1B.0C.3D.13答案:解∵OM=xOA+13OB+13OC,且M,A,B,C四點(diǎn)共面,∴必有x+13+13=1,解之可得x=13,故選D40.如圖程序框圖箭頭a指向①處時(shí),輸出
s=______.箭頭a指向②處時(shí),輸出
s=______.答案:程序在運(yùn)行過程中各變量的情況如下表所示:(1)當(dāng)箭頭a指向①時(shí),是否繼續(xù)循環(huán)
S
i循環(huán)前/0
1第一圈
是
1
2第二圈
是
2
3第三圈
是
3
4第四圈
是
4
5第五圈
是
5
6第六圈
否故最終輸出的S值為5,即m=5;(2)當(dāng)箭頭a指向②時(shí),是否繼續(xù)循環(huán)
S
i循環(huán)前/0
1第一圈
是
1
2第二圈
是
1+2
3第三圈
是
1+2+3
4第四圈
是
1+2+3+4
5第五圈
是
1+2+3+4+5
6第六圈
否故最終輸出的S值為1+2+3+4+5=15;則n=15.故為:5,15.41.正十邊形的一個(gè)內(nèi)角是多少度?答案:由多邊形內(nèi)角和公式180°(n-2),∴每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是180°(n-2)n當(dāng)n=10時(shí).得到一個(gè)內(nèi)角為180°(10-2)10=144°42.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1).
(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng);
(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(AB-tOC)?OC=0,求t的值.答案:(1)(方法一)由題設(shè)知AB=(3,5),AC=(-1,1),則AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以|AB+AC|=210,|AB-AC|=42.故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為42、210.(方法二)設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D,兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為E,則:E為B、C的中點(diǎn),E(0,1)又E(0,1)為A、D的中點(diǎn),所以D(1,4)故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為BC=42、AD=210;(2)由題設(shè)知:OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).由(AB-tOC)?OC=0,得:(3+2t,5+t)?(-2,-1)=0,從而5t=-11,所以t=-115.或者:AB?OC=tOC2,AB=(3,5),t=AB?OC|OC|2=-11543.已知命題p:“有的實(shí)數(shù)沒有平方根.”,則非p是______.答案:∵命題p:“有的實(shí)數(shù)沒有平方根.”,是一個(gè)特稱命題,非P是它的否定,應(yīng)為全稱命題“所有實(shí)數(shù)都有平方根”故為:所有實(shí)數(shù)都有平方根.44.復(fù)數(shù)(12+32i)3i的值為______.答案:(12+32i)3i=(cosπ3+isinπ3)3cosπ2+isinπ2=cosπ+isinπcosπ2+
isinπ2=cosπ2+isinπ2=i,故為:i.45.以下程序輸入2,3,4運(yùn)行后,輸出的結(jié)果是()
INPUT
a,b,c
a=b
b=c
c=a
a,b,c.
A.234
B.324
C.343
D.342答案:C46.過A(-2,3),B(2,1)兩點(diǎn)的直線的斜率是()
A.
B.
C.-2
D.2答案:B47.曲線的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ化為直角坐標(biāo)方程為______.答案:將原極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ,化為:ρ2=4ρsinθ,化成直角坐標(biāo)方程為:x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4.故為:x2+(y-2)2=4.48.已知|a|=8,e是單位向量,當(dāng)它們之間的夾角為π3時(shí),a在e方向上的投影為()A.43B.4C.42D.8+23答案:由兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義可知:a在e方向上的投影即:a?e=|a||e|cosπ3=8×1×12=4故選B49.如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量OA、OB、OC,其中與OA與OB的夾角為120°,OA與OC的夾角為30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),則λ+μ的值為______.答案:過C作OA與OB的平行線與它們的延長(zhǎng)線相交,可得平行四邊形,由∠BOC=90°,∠AOC=30°,由|OA|=|OB|=1,|OC|=23得平行四邊形的邊長(zhǎng)為2和4,λ+μ=2+4=6.故為6.50.如圖,P-ABCD是正四棱錐,ABCD-A1B1C1D1是正方體,其中AB=2,PA=6.
(1)求證:PA⊥B1D1;
(2)求平面PAD與平面BDD1B1所成銳二面角的余弦值.答案:以D1為原點(diǎn),D1A1所在直線為x軸,D1C1所在直線為y軸,D1D所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,0),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),P(1,1,4).(1)證明:∵AP=(-1,1,2),D1B1=(2,2,0),∴AP?D1B1=-2+2+0=0,∴PA⊥B1D1.(2)平面BDD1B1的法向量為AC=(-2,2,0).DA=(2,0,0),OP=(1,1,2).設(shè)平面PAD的法向量為n=(x,y,z),則n⊥DA,n⊥DP.∴2x=0x+y+2z=0∴x=0y=-2z.取n=(0,-2,1),設(shè)所求銳二面角為θ,則cosθ=|n?AC||n|?|AC|=|0-4+0|22×5=105.第3卷一.綜合題(共50題)1.已知△ABC,D為AB邊上一點(diǎn),若AD=2DB,CD=13CA+λCB,則λ=
.答案:∵AD=2DB,CD=13CA+λCB,CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(
CB-CA)=13CA+23CB,∴λ=23,故為:23.2.(本小題滿分12分)
如圖,已知橢圓C1的中心在圓點(diǎn)O,長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)M、N在x軸上,橢圓C1的短軸為MN,且C1,C2的離心率都為e,直線l⊥MN,l與C1交于兩點(diǎn),與C1交于兩點(diǎn),這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A、B、C、D.
(I)設(shè)e=,求|BC|與|AD|的比值;
(II)當(dāng)e變化時(shí),是否存在直線l,使得BO//AN,并說明理由.答案:(II)t=0時(shí)的l不符合題意,t≠0時(shí),BO//AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等,即,解得。因?yàn)?,又,所以,解得。所以?dāng)時(shí),不存在直線l,使得BO//AN;當(dāng)時(shí),存在直線l使得BO//AN。解析:略3.為提高廣東中小學(xué)生的健康素質(zhì)和體能水平,廣東省教育廳要求廣東各級(jí)各類中小學(xué)每年都要在體育教學(xué)中實(shí)施“體能素質(zhì)測(cè)試”,測(cè)試總成績(jī)滿分為100分.根據(jù)廣東省標(biāo)準(zhǔn),體能素質(zhì)測(cè)試成績(jī)?cè)赱85,100]之間為優(yōu)秀;在[75,85]之間為良好;在[65,75]之間為合格;在(0,60)之間,體能素質(zhì)為不合格.
現(xiàn)從佛山市某校高一年級(jí)的900名學(xué)生中隨機(jī)抽取30名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢?/p>
65,84,76,70,56,81,87,83,91,75,81,88,80,82,93,85,90,77,86,81,83,82,82,64,79,86,68,71,89,96.
(1)在答題卷上完成頻率分布表和頻率分布直方圖,并估計(jì)該校高一年級(jí)體能素質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù);
(2)在上述抽取的30名學(xué)生中任取2名,設(shè)ξ為體能素質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示);
(3)請(qǐng)你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述廣東省標(biāo)準(zhǔn),對(duì)該校高一學(xué)生的體能素質(zhì)給出一個(gè)簡(jiǎn)短評(píng)價(jià).答案:(1)由已知的數(shù)據(jù)可得頻率分布表和頻率分布直方圖如下:
分組
頻數(shù)
頻率[55,60)
1
130[60,65)
1
130[65,70)
2
230[70,75)
2
230[75,80)
4
430[80,85)
10
1030[85,90)
6
630[90,95)
3
330[95,100)
1
130根據(jù)抽樣,估計(jì)該校高一學(xué)生中體能素質(zhì)為優(yōu)秀的有1030×900=300人
…(5分)(2)ξ的可能取值為0,1,2.…(6分)P(ξ=0)=C220C230=3887,P(ξ=1)=C120C110C230=4087,P(ξ=2)=C210C230=987
…(8分)∴ξ分布列為:ξ012P38874087987…(9分)所以,數(shù)學(xué)期望Eξ=0×3887+1×4087+2×987=5887=23.…(10分)(3)根據(jù)抽樣,估計(jì)該校高一學(xué)生中體能素質(zhì)為優(yōu)秀有1030×900=300人,占總?cè)藬?shù)的13,體能素質(zhì)為良好的有1430×900=420人,占總?cè)藬?shù)的715,體能素質(zhì)為優(yōu)秀或良好的共有2430×900=720人,占總?cè)藬?shù)的45,但體能素質(zhì)為不合格或僅為合格的共有630×900=180人,占總?cè)藬?shù)的15,說明該校高一學(xué)生體能素質(zhì)良好,但仍有待進(jìn)一步提高,還需積極參加體育鍛煉.4.已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+5=0,那么x2+y2的最小值為______.答案:x2+y2
表示直線2x+y+5=0上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,其最小值就是原點(diǎn)到直線2x+y+5=0的距離|0+0+5|4+1=5,故為:5.5.直角坐標(biāo)xOy平面上,平行直線x=n(n=0,1,2,…,5)與平行直線y=n(n=0,1,2,…,5)組成的圖形中,矩形共有()
A.25個(gè)
B.36個(gè)
C.100個(gè)
D.225個(gè)答案:D6.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an2+an(n∈N+),
(1)求a1,a2,a3并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明上述猜想.答案:(1)a1=1.a(chǎn)2=2a12+a1=22+1=23.a(chǎn)3=2a22+a2=2×232+23=12(2)猜想an=2n+1.證明:當(dāng)n=1時(shí)顯然成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)成立,即ak=2k+1則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=2ak2+ak=2×2k+12+2k+1=42k+4=2(k+1)+1所以an=2n+1.7.在空間直角坐標(biāo)系中,已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,3,5),B(3,1,4),則這兩點(diǎn)間的距離|AB|=______.答案:∵A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,3,5),B(3,1,4),∴|AB|=(3-2)2+(1-3)2+(4-5)2,=1+4+1=6,故為:6.8.由棱長(zhǎng)為a的正方體的每個(gè)面向外側(cè)作側(cè)棱為a的正四棱錐,以這些棱錐的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸多面體的全面積是______.答案:由棱長(zhǎng)為a的正方體的每個(gè)面向外側(cè)作側(cè)棱為a的正四棱錐,共可作6個(gè),得到6個(gè)頂點(diǎn),圍成一個(gè)正八面體.所作的正四棱錐的高為h′=2a2,正八面體相對(duì)的兩頂點(diǎn)的距離應(yīng)為2h′+a=1+2a正八面體的棱長(zhǎng)x滿足2x=(1+2)a,x=(1+22)a,每個(gè)側(cè)面的面積為34x2=34×(1+22)2a2=33+268a2,全面積是8×33+268=33+26故為:(33+26)a29.經(jīng)過點(diǎn)M(1,1)且在兩軸上截距相等的直線是______.答案:①當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距不為0時(shí),設(shè)該直線的方程為x+y=a,把(1,1)代入所設(shè)的方程得:a=2,則所求直線的方程為x+y=2;②當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距為0時(shí),設(shè)該直線的方程為y=kx,把(1,1)代入所求的方程得:k=1,則所求直線的方程為y=x.綜上,所求直線的方程為:x+y=2或y=x.故為:x+y=2或y=x10.根據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定:車輛駕駛員血液酒精濃度在20~80mg/100mL(不含80)之間,屬于酒后駕車;血液酒精濃度在80mg/100mL(含80)以上時(shí),屬醉酒駕車.據(jù)有關(guān)報(bào)道,2009年8月15日至8
月28日,某地區(qū)查處酒后駕車和醉酒駕車共500人,如圖是對(duì)這500人血液中酒精含量進(jìn)行檢測(cè)所得結(jié)果的頻率分布直方圖,則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為()A.25B.50C.75D.100答案:∵血液酒精濃度在80mg/100ml(含80)以上時(shí),屬醉酒駕車,通過頻率分步直方圖知道屬于醉駕的頻率是(0.005+0.01)×10=0.15,∵樣本容量是500,∴醉駕的人數(shù)有500×0.15=75故選C.11.有3名同學(xué)要爭(zhēng)奪2個(gè)比賽項(xiàng)目的冠軍,冠軍獲得者共有______種可能.答案:第一個(gè)項(xiàng)目的冠軍有3種情況,第二個(gè)項(xiàng)目的冠軍也有3種情況,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,冠軍獲得者共有3×3=9種可能,故為9.12.“神六”上天并順利返回,讓越來越多的青少年對(duì)航天技術(shù)發(fā)生了興趣.某學(xué)??萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn),設(shè)計(jì)方案
如圖:航天器運(yùn)行(按順時(shí)針方向)的軌跡方程為x2100+y225=1,變軌(航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為
對(duì)稱軸、M(0,647)為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分,降落點(diǎn)為D(8,0),觀測(cè)點(diǎn)A(4,0)、B(6,0)同時(shí)跟蹤航天器.試問:當(dāng)航天器在x軸上方時(shí),觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)得離航天器的距離分別為______時(shí)航天器發(fā)出變軌指令.答案:設(shè)曲線方程為y=ax2+647,由題意可知,0=a?64+647.∴a=-17,∴曲線方程為y=-17x2+647.設(shè)變軌點(diǎn)為C(x,y),根據(jù)題意可知,拋物線方程與橢圓方程聯(lián)立,可得4y2-7y-36=0,y=4或y=-94(不合題意,舍去).∴y=4.∴x=6或x=-6(不合題意,舍去).∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,4),|AC|=25,|BC|=4.故為:25、4.13.不等式-x≤1的解集是(
)。答案:{x|0≤x≤2}14.在對(duì)兩個(gè)變量x,y進(jìn)行線性回歸分析時(shí),有下列步驟:
①對(duì)所求出的回歸直線方程作出解釋;
②收集數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,…,n;
③求線性回歸方程;
④求相關(guān)系數(shù);
⑤根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖.
如果根據(jù)可形性要求能夠作出變量x,y具有線性相關(guān)結(jié)論,則在下列操作順序中正確的是()
A.①②⑤③④
B.③②④⑤①
C.②④③①⑤
D.②⑤④③①答案:D15.設(shè)A、B、C表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù),a,b,c表示其對(duì)邊,求證:aA+bB+cCa+b+c≥π3.答案:證明:法一、不妨設(shè)A>B>C,則有a>b>c由排序原理:順序和≥亂序和∴aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC上述三式相加得3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c)∴aA+bB+cCa+b+c≥π3.法二、不妨設(shè)A>B>C,則有a>b>c,由排序不等式aA+bB+cC3≥A+B+C3?a+b+c3,即aA+bB+cC≥π3(a+b+c),∴aA+bB+cCa+b+c≥π3.16.一個(gè)算法的流程圖如圖所示,則輸出的S值為______.答案:根據(jù)程序框圖,題意為求:s=2+4+6+8,計(jì)算得:s=20,故為:20.17.若向量=(1,λ,2),=(-2,1,1),,夾角的余弦值為,則λ等于()
A.1
B.-1
C.±1
D.2答案:A18.條件語句的一般形式如圖所示,其中B表示的是()
A.條件
B.條件語句
C.滿足條件時(shí)執(zhí)行的內(nèi)容
D.不滿足條件時(shí)執(zhí)行的內(nèi)容
答案:C19.若a,b∈R,求證:≤+.答案:證明略解析:證明
當(dāng)|a+b|=0時(shí),不等式顯然成立.當(dāng)|a+b|≠0時(shí),由0<|a+b|≤|a|+|b|≥,所以=≤=≤+.20.i是虛數(shù)單位,a,b∈R,若ia+bi=1+i,則a+b=______.答案:∵ia+bi=1+i,a,b∈R,∴i(a-bi)(a+bi)(a-bi)=1+i,∴b+aia2+b2=1+i,化為b+ai=(a2+b2)+(a2+b2)i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可得b=a2+b2a=a2+b2,a2+b2≠0解得a=b=12.∴a+b=1.故為1.21.如圖1,一個(gè)“半圓錐”的主視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形,左視圖是直角三角形,俯視圖是半圓及其圓心,這個(gè)幾何體的體積為()A.33πB.36πC.23πD.3π答案:由已知中“半圓錐”的主視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形,左視圖是直角三角形,俯視圖是半圓及其圓心,我們可以判斷出底面的半徑為1,母線長(zhǎng)為2,則半圓錐的高為3故V=13×12×π×3=36π故選B22.曲線y=log2x在M=0110作用下變換的結(jié)果是曲線方程______.答案:設(shè)P(x,y)是曲線y=log2x上的任一點(diǎn),P1(x′,y′)是P(x,y)在矩陣M=0110對(duì)應(yīng)變換作用下新曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn),則x′y′=0110xy=yx(3分)即x′=yy′=x,所以x=y′y=x′,(6分)將x=y′y=x′代入曲線y=log2x,得x′=log2y′,(8分)即y′=2x′曲線y=log2x在M=0110作用下變換的結(jié)果是曲線方程y=2x故為:y=2x23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線x24-y212=1上一點(diǎn)M,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3,則M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是______答案:MFd=e=2,d為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線x=1的距離,則d=2,∴MF=4.故為424.已知一種材料的最佳加入量在100g到200g之間,若用0.618法安排試驗(yàn),則第一次試點(diǎn)的加入量可以是(
)g。答案:161.8或138.225.已知向量OA=(2,3),OB=(4,-1),P是線段AB的中點(diǎn),則P點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.(2,-4)B.(3,1)C.(-2,4)D.(6,2)答案:由線段的中點(diǎn)公式可得OP=12(OA+OB)=(3,1),故P點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,1),故選B.26.如圖,△ABC中,D,E,F(xiàn)分別是邊BC,AB,CA的中點(diǎn),在以A、B、C、D、E、F為端點(diǎn)的有向線段中所表示的向量中,
(1)與向量FE共線的有
______.
(2)與向量DF的模相等的有
______.
(3)與向量ED相等的有
______.答案:(1)∵EF是△ABC的中位線,∴EF∥BC且EF=12BC,則與向量FE共線的向量是BC、BD、DC、CB、DB、CD;(2))∵DF是△ABC的中位線,∴DF∥AC且DF=12AC,則與向量DF的模相等的有CE,EA,EC,AF;(3)∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥AB且DE=12AB,則與向量ED相等的有AF,F(xiàn)B.27.想要檢驗(yàn)是否喜歡參加體育活動(dòng)是不是與性別有關(guān),應(yīng)該檢驗(yàn)()
A.H0:男性喜歡參加體育活動(dòng)
B.H0:女性不喜歡參加體育活動(dòng)
C.H0:喜歡參加體育活動(dòng)與性別有關(guān)
D.H0:喜歡參加體育活動(dòng)與性別無關(guān)答案:D28.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+).(Ⅰ)求a2,a3,a4,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不必證明);(Ⅱ)證明:當(dāng)λ≠0時(shí),數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;(Ⅲ)當(dāng)λ=1時(shí),試比較an與n2+1的大小,證明你的結(jié)論.答案:(Ⅰ)∵a1=2,∴a2=λa1+λ2+2(2-λ)=λ2+4,同理可得,a3=2λ3+8,a4=3λ4+16,猜想an=(n-1)λn+2n.(Ⅱ)假設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則a1,a2,a3也成等比數(shù)列,∴a22=a1?a3?(λ2+4)2=2(2λ3+8)?λ4-4λ3+8λ2=0,∵λ≠0,∴λ2-4λ+8=0,即(λ-2)2+4=0,但(λ-2)2+4>0,矛盾,∴數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.(Ⅲ)∵λ=1,∴an=(n+1)+2n,∴an-(n2+1)=2n-(n2-n+2),∵當(dāng)n=1,2,3時(shí),2n=n2-n+2,∴an=n2+1.當(dāng)n≥4時(shí),猜想2n>n2-n+2,證明如下:當(dāng)n=4時(shí),顯然2k>k2-4+2假設(shè)當(dāng)n=k≥4時(shí),猜想成立,即2k>k2-k+2,則當(dāng)n=k+1時(shí),2k+1=2?2k>2(k2-k+2),∵2(k2-k+2)-[(k+1)20-(k+1)+2]=(k-1)(k-2)>0∴2k+1>2(k2-k+2)>(k+1)2-(k+1)+2,∴當(dāng)n≥4時(shí),猜想2n>n2-n+2成立,∴當(dāng)n≥4時(shí),an>n2+1.29.設(shè)函數(shù)f(x)=(2a-1)x+b是R上的減函數(shù),則a的范圍為______.答案:∵f(x)=(2a-1)x+b是R上的減函數(shù),∴2a-1<0,解得a<12.故為:a<12.30.已知大于1的正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=33.
(1)求證:x2x+2y+3z+y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥32.
(2)求1log3x+log3y+1log3y+log3z+1log3z+log3x的最小值.答案:(1)由柯西不等式得,(x2x+2y+3z+y2y+2z+3z+z2z+2x+3y)[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]≥(x+y+z)2=27得:x2x+2y+3z+y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥32;(2)∵1log3x+log3y+1log3y+log3z+1log3z+log3x=1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx),由柯西不等式得:(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)),由柯西不等式得:(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))≥9所以,(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))≥9(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))=92log3(xyz),又∵33=x+y+z≥33xyz.∴xyz≤33.∴l(xiāng)og3xyz≤32.得92log3xyz≥92×23=3所以,1log3x+log3y+1log3y+log3z+1log3z+log3x≥3當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=3時(shí),等號(hào)成立.故所求的最小值是3.31.已知直線ax+by+c=0(abc≠0)與圓x2+y2=1相離,則以三條邊長(zhǎng)分別為|a|,|b|,|c|所構(gòu)成的三角形的形狀是______.答案:直線ax+by+c=0(abc≠0)與圓x2+y2=1相離,即|c|a2+b2>
1即|c|2>a2+b2三角形是鈍角三角形.故為:鈍角三角形.32.已知x,y的取值如下表所示:
x0134y2.24.34.86.7從散點(diǎn)圖分析,y與x線性相關(guān),且y^=0.95x+a,以此預(yù)測(cè)當(dāng)x=2時(shí),y=______.答案:∵從所給的數(shù)據(jù)可以得到.x=0+1+3+44=2,.y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是(2,4.5)∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6∴線性回歸方程是y=0.95x+2.6,∴預(yù)測(cè)當(dāng)x=2時(shí),y=0.95×2+2.6=4.5故為:4.533.下列說法正確的是()
A.互斥事件一定是對(duì)立事件,對(duì)立事件不一定是互斥事件
B.互斥事件不一定是對(duì)立事件,對(duì)立事件一定是互斥事件
C.事件A,B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A,B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大
D.事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A,B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小答案:B34.圓心在原點(diǎn)且圓周被直線3x+4y+15=0分成1:2兩部分的圓的方程為
______.答案:如圖,因?yàn)閳A周被直線3x+4y+15=0分成1:2兩部分,所以∠AOB=120°.而圓心到直線3x+4y+15=0的距離d=1532+42=3,在△AOB中,可求得OA=6.所以所求圓的方程為x2+y2=36.故為:x2+y2=3635.已知直線的參數(shù)方程為x=1+ty=3+2t.(t為參數(shù)),圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ+4sinθ.
(I)求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程;
(II)求直線被圓截得的弦長(zhǎng).答案:(I)直線的普通方程為:2x-y+1=0;圓的直角坐標(biāo)方程為:(x-1)2+(y-2)2=5(4分)(II)圓心到直線的距離d=55,直線被圓截得的弦長(zhǎng)L=2r2-d2=4305(10分)36.已知|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為300,則|a+b|等于()A.13B.15C.17D.19答案:∵|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為300,∴a?b=|a||b|cos30°=2×3×32=3則|a+b|=a2+2a?b+b2=13故選A37.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l:x=m+tcosαy=tsinα(t為參數(shù))經(jīng)過橢圓C:x=2cosφy=3sinφ(φ為參數(shù))的左焦點(diǎn)F.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),求|FA|?|FB|的最大值和最小值.答案:(Ⅰ)將橢圓C的參數(shù)方程化為普通方程,得x24+y23=1.a(chǎn)=2,b=3,c=1,則點(diǎn)F坐標(biāo)為(-1,0).l是經(jīng)過點(diǎn)(m,0)的直線,故m=-1.…(4分)(Ⅱ)將l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程,并整理,得(3cos2α+4sin2α)t2-6tcosα-9=0.設(shè)點(diǎn)A,B在直線參數(shù)方程中對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為
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