北京大學(xué)保送生數(shù)學(xué)真題及答案

1、2012年北京大學(xué)保送生考試數(shù)學(xué)試題及參考答案1已知數(shù)列an為正項(xiàng)等比數(shù)列，且a3aaa5，求aa的最小值41256解：設(shè)數(shù)列an的公比為qq0，則aq2aq3aaq5，111a15q2q31q5q1(q21)由a10知q14q1aq545aaaq4aqq5611155q4q1(q21)qq215q21220，5q2111q21q21q21當(dāng)且僅當(dāng)q211即q2時(shí)，aa有最小值20562已知fx為二次函數(shù)，且a,fa,ffa,fffa成正項(xiàng)等比數(shù)列，求證：faa證法一：設(shè)fxmx2nxtm0，數(shù)列a,fa,ffa,fffa的公比為qq0，2則faaq,ffafaqaq,fffafaq2aq3，

2、ma2nataqm(aq)2naqtaq2m(aq2)2naq2taq3得ma21q2na1qaq1q，得ma2q21q2naq1qaq21q若q1，則faa；若q1，則m2a1qna與ma2qq1qnaaq矛盾faa證法二：由a,fa,ffa,fffa成等比數(shù)列得faffafffaaffa，affaafffaffaffafaffafa三點(diǎn)Aa,fa,Bfa,fa,Cfa,fa滿足kABkBC，三邊滿足abc，證明：這個(gè)三角形的內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)的最小值為acsinBA,B,C三點(diǎn)共線，與A,B,C三點(diǎn)在拋物線上矛盾，faa3稱四個(gè)頂點(diǎn)都落在三角形三邊上的正方形叫三角形的內(nèi)接正方形若銳角三角形AB

3、C的acsinBA解：如圖所示，設(shè)正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為x，AEMNADBC，MENcsinBxxacsinBabc，xcsinBaacsinB2Rabc同理可得其它兩用人才種情況下內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為abcabc,2Rbac2RcabBQDPC2Rbac2Rabcba2Rc02Rcab2Rabcca2Rb0，OAB這個(gè)三角形的內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)的最小值為acsinBacsinB4從O點(diǎn)發(fā)出兩條射線l,l，已知直線l交l,l于A,B兩點(diǎn)，且SOAB1212記AB中點(diǎn)為X，求證：X的軌跡為雙曲線解：以l,l的角平分線所在直線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系12設(shè)AOxBOx，OAa,OBb，Xx,y，12c則Sabsin2c，ab2sin2sicosAaco,asnB,bsb,，inc（c為定值），yOBAXll1l2xacobcsxab1)22(2)ssco2ni,yasibsnyabn2six2y22csin2absin2，cos2X的軌跡為雙曲線(1)2(2)2得,15已知ai1,2,滿0足aaa30,aai1210121a2，求證：10ai1,2,10，使a1ii證明：用反證法，假設(shè)ai1,2,10，a1ii令a1bi1,2,10，則b0，且bbb20iii1210aa12a1b1b101