必做的立體幾何綜合題

1、必做的立體幾何綜合題作者:日期:3 7143.714 AC與PB所成角的余弦值為(n)由于 N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標(biāo)為(x,0, z),則-1NE ( x,-,12NE AP 0,NE AC 0.即N點的坐標(biāo)為z),由NE面PAC可得，(xj,1 z) (0,0,2) 0,z 1 0,x即 2化簡得 -1113x 0.(x,2,1 z) ( 3,1,0) 0.2z(23,0,1),從而N點到AB和AP的距離分別為1,。66輪復(fù)習(xí)必做的立體幾何綜合題1、如圖，在四錐P ABCD中，底面ABCD為矩形,側(cè)棱 PA 底面 ABCD , AB J3，BC 1， PA 2,E為PD的中點。(I

2、)求直線 AC與PB所成角的余弦值；(n)在側(cè)面 PAB內(nèi)找一點N ,使NE 面 PAC ,并求出點N到AB和AP的距離。解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A,B,C,D,P, E 的坐標(biāo)為 A(0,0,0)、b(V3,0,o)、c(73,i,o)、d(0,i,o)、iP(0,0,2)、E(0,-,1), 2從而 AC ( 3,1,0), PB ( . 3,0, 2).設(shè)aC與pB的夾角為AC PB cos I AC | |PB |2、如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面 AEC1F所截面而得到的，其中AB 4, BC 2,CC1 3,BE 1。(I)求BF的長；(n )

3、求點C到平面AEC1F的距離。 / 7解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0) , B(2,4,0)A(2,0,0), C(0,4,0), E(2,4,1),Ci(0,4,3)設(shè) F(0,0, z) AECiF為平行四邊形,由AEGF為平行四邊形，uur uuur由AF ECi得,(2,0,z) ( 2,0,2),z 2. F(0,0,2). uurEF ( 2, 4,2).uur _于是| BF | 2 J6,即BF的長為2、/6.(II )設(shè)N為平面AECiF的法向量，顯然n1不垂直于平面ADF,故可設(shè)n1 (x,y,1) it uujr上 n AE 0,/日 0 x 4

4、 y 1 0由it uur 得叫 AF 0,2 x 0 y 2 0 x 1,1又CCi(0,0,3)，設(shè)CC1與n1的夾角為CC1 n；3cos ICC1 I |n1 I 311.16,則4.3333 C到平面AEC1F的距離為4.33d |CC1 | cos 3 334一33113、如圖，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面邊長是2,D是側(cè)棱CC1的中點，直線AD與側(cè)面BB1C1C所成的角為45 .(I)求此正三棱柱的側(cè)棱長；(n) 求二面角A BD C的大小;(出)求點C到平面ABD的距離.解：(I設(shè)正三棱柱 ABC A1B1cl的側(cè)棱長為ABC是正三角形，AEx .取BC中點E ,連A

5、E .又底面ABC 側(cè)面BBiCiC ,且交線為BC .AE 側(cè)面 BB1C1C .連ED ,則直線AD與側(cè)面BB1C1C所成的角為ADE 450.在 RtAED 中，tan45o此正三棱柱的側(cè)棱長為EDx12”.注：也可用向量法求側(cè)棱長.（n）解法1：過E作EF BD于F ,AE 側(cè)面 BB1C1C, AF BD .AFE為二面角A BD C的平面角.在 Rt BEF 中，EFBEsin EBF ,又BE 1,sin EBFCDBD我 叵22 (.23又 AE ,3,在Rt AEF中,tan AFE故二面角A BDC的大小為些3.EF arctan3.解法2：（向量法，見后）（出）解法1：由

6、（n）可知，BD過E作EGAF于G ,則EGAE EF 在 RtAEF 中，EG AEAF平面AEF ,平面ABD .、3蟲3平面AEF 平面ABD ,且交線為AF ,Q E為BC中點,點C到平面3 2 (J 3,3010ABD的距離為2EG2、. 3010解法2：（思路）取AB中點H，連CH和DH，由CA CB, DA DB平面CHD ,且交線為DH .過點C作CIDH于I ,則CI的長為點易得平面ABDC到平面ABD的距離.解法3:解法4:題（n）（n）（思路）等體積變換：由VC ABD VA BCD可求.（向量法，見后）、（m）的向量解法：解法2：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 o xyz.則

7、 A(0,0,、.3), B(0, 1,0),C(0,1,0), D(（x, y,z）為平面ABD的法向量.n1AB又平面AD ur n (BCD0,y得 L0 2x、6, .3,1).ur的一個法向量n2缶y 、. 3z(0,0,1).A1后,0).B1C7分D y6分0 xXni n2( .6,、.3,1) (0,0,1)10cos ni, n2r =ni Iln211 J(而2 ( 3)2 1210結(jié)合圖形可知，二面角 A BD（出）解法4：由（n）解法 2,C的大/、為arccos.10ur 一 uurR ( .6, ,3,1),CA (0,CA n1點C到平面ABD的距離d (0,

8、1,、.3) ( .6, .3,1)(6)2(3)2 122, 3010BH6 1212a/1805，B1H , BH 2 BB12185，HB 2cos B1HB 一，故平面ABE與平面ABC所成二面角的余弦值為HB13方法二：以C為原點，CD CR CC所在直線分別為 x、v、z軸建立直角坐標(biāo)系（如圖16. 一個幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側(cè)視 圖是腰長為6的兩個全等的等腰直角三角形 .（I）請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；（n）用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體 ABCD- A1B1C1D?如何組拼？試證明你的結(jié)論；（出）在（n）的情形下 ，設(shè)正方體 AB

9、CD-ABCD 的棱CC的中點為E,求平面ABE與平面ABC所成二面 角的余弦值.解：（I）該幾何體的直觀圖如圖 1所示，它是有 側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.其中底面ABC比邊長為6的 正方形，高為CC=6,故所求體積是V 1 62 6 723（n）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體,其拼法如圖2所示.證明：二.面ABCD面ABBA、面AADD為全等的 正方形，于是VC1 ABCD VC1 ABB1A1 VC1 AA1D1D 故所拼圖形成立（出）方法一：設(shè) BiE, BC的延長線交于點 G 連結(jié)GA在底面 ABCMBHL AG 垂足為H, 連結(jié)HB,則BHI AG 故/ B1HB為平面 ABE與 平面ABC所成二面角或其補角的平面角.在 Rt ABG中，AG J180 ,則3), 正方體棱長為 6,則 E (0, 0, 3), B (0, 6, 6), A (6, 6, 0)設(shè)向量