混合懲罰函數(shù)法5

1、5.5、混合懲罰函數(shù)法 內(nèi)點(diǎn)法和外點(diǎn)法各有所長(zhǎng)，取長(zhǎng)補(bǔ)短將這兩種方法結(jié)合起來(lái)使用，便形成了混合懲罰函數(shù)法，即對(duì)P個(gè)等到式約束條件,構(gòu)造外罰函數(shù)，對(duì)M個(gè)不等式的約束條件，構(gòu)造內(nèi)罰函數(shù)。約束優(yōu)化問(wèn)題：這樣構(gòu)造的混合罰函數(shù)為：式中障礙項(xiàng),懲罰因子 按內(nèi)點(diǎn)法選取即懲罰項(xiàng)，懲罰因子當(dāng)滿足外點(diǎn)法對(duì)懲罰因子的要求混合法的求解特點(diǎn)與內(nèi)點(diǎn)法相同，迭代過(guò)程在可行域內(nèi)進(jìn)行。 初始點(diǎn)懲罰因子初始值均可參考內(nèi)點(diǎn)混合罰函數(shù)綜合了內(nèi)外罰函數(shù)法的特點(diǎn)及長(zhǎng)（1）先在可行域內(nèi)選擇一個(gè)嚴(yán)格滿足所有不等選擇適當(dāng)?shù)膽土P因子初始值，通?？扇?1（2）求得 法選取。計(jì)算步驟及程序框圖與內(nèi)點(diǎn)法相近。處，因而應(yīng)用非常廣泛。式約束的初始點(diǎn)（3）

2、如 和 滿足收斂精度，則停止迭代，否則轉(zhuǎn)入下一步。（4）取轉(zhuǎn)向第二步。問(wèn)題： 外點(diǎn)法：初始點(diǎn)X在可行域內(nèi)時(shí)，不管r0取何值，懲罰項(xiàng)總為零，因此懲罰函數(shù)的極小點(diǎn)，如果在可行域內(nèi)，則該點(diǎn)必為原問(wèn)題的最優(yōu)解。即:因?yàn)椋?所以：這就說(shuō)明了為原問(wèn)題的最優(yōu)解。約束優(yōu)化設(shè)計(jì)方法小結(jié)： 1.復(fù)合形法 復(fù)合形法:是求解約束優(yōu)化問(wèn)題的一種重要的直接方法。由于這種方法在迭代計(jì)算中不必計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，也不用一維搜索方法，因此對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性態(tài)無(wú)特殊要求，程序比較簡(jiǎn)單，適用性較廣。但是當(dāng)設(shè)計(jì)變量和約束條件較多時(shí)計(jì)算效率較低，另外還需要給出多變量的敬意及初始內(nèi)點(diǎn)。2.內(nèi)懲罰函數(shù)法 內(nèi)懲罰函數(shù)法是求解

3、不等式約束優(yōu)化的一種十分有效的方法，它要求初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)，迭代過(guò)程中所產(chǎn)生的多點(diǎn)均為可行設(shè)計(jì)方案，因此使設(shè)計(jì)人員有挑選的余地，但這種方法與外點(diǎn)法相比一般收斂較慢，遞減系數(shù)C應(yīng)滿足0c1 c=0.10.73.外點(diǎn)懲罰函數(shù)法 外點(diǎn)法既可求解不等式又可求解等式約束優(yōu)化問(wèn)題。這種方法對(duì)初始點(diǎn)選擇無(wú)特殊要求，由于這種方法的收斂過(guò)程是從可行域外向可行域邊界逼近的，因此僅有最優(yōu)解為可行設(shè)計(jì)方案，設(shè)計(jì)人員無(wú)挑選余地。但這種方法與內(nèi)點(diǎn)法相比，一般收斂較快，另外，初始罰因子也要選擇適當(dāng)。罰因子為遞增，遞增系數(shù)4.混合懲罰函數(shù)法 既可求解不等式約束又可求解等式約束，它是將內(nèi)點(diǎn)法和外點(diǎn)法的懲罰函數(shù)形式結(jié)合在一起

4、，綜合了兩種方法的長(zhǎng)處，初始點(diǎn)應(yīng)在可行域內(nèi)，懲罰因子按內(nèi)點(diǎn)法選取，具有內(nèi)點(diǎn)法特點(diǎn)。 總之，每一種約束優(yōu)化方法都有其各自的特點(diǎn)，有時(shí)一種優(yōu)化方法對(duì)其一優(yōu)化問(wèn)題有效而對(duì)另一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題就不一定有效，這就要求設(shè)計(jì)人員在掌握各種優(yōu)化方法的特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析，靈活適用優(yōu)化方法，直至得出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。第六節(jié) 優(yōu)化設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的的幾個(gè)問(wèn)題.優(yōu)化方法的選擇二.離散型變量的處理三.多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的處理四 . 優(yōu)化結(jié)果分析 前面幾節(jié)所講的優(yōu)化方法；沒(méi)有哪一種方法是萬(wàn)能的，幾種優(yōu)化方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，究竟哪一種方法好，經(jīng)結(jié)合具體實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型及約束條件。實(shí)際運(yùn)用中，往往不是選擇具體的某一種最優(yōu)方

5、法，而是把幾種方法結(jié)合起來(lái)。揚(yáng)長(zhǎng)避短，以獲得較好的設(shè)計(jì)結(jié)果。一般在選擇最優(yōu)化方法時(shí)，主要考慮兩方面的問(wèn)題：明確所建立的數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)： 如:優(yōu)化問(wèn)題的維數(shù)，目標(biāo)函數(shù)的連續(xù)性及其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)是否存在，是否容易求解，有無(wú)約束，約束條件是不等式約束；還是等式約束，或者兩者兼有。 如具有等式約束，顯然不能直接用復(fù)合形法和內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法。優(yōu)化方法特點(diǎn)及其計(jì)算程序特點(diǎn)： 如：該方法的收斂速度，計(jì)算精度，可靠性、穩(wěn)定性。通用及普遍性。有無(wú)現(xiàn)成程序可用。二.離散型變量的處理 在實(shí)際工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，有些變量只能是離散變量。如齒輪的模型，齒數(shù)，型材的規(guī)格。設(shè)計(jì)手冊(cè)中的一些標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化離散變量如何處理。離

6、散設(shè)計(jì)變量及優(yōu)化所得離散變量的處理。1) 曲線擬合技術(shù)： 選定一種曲線去折合那些離散點(diǎn)，從而獲得可以描述該點(diǎn)列離散規(guī)律的近似函數(shù)表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型。 (擬合曲線近似描述離散點(diǎn)的變化規(guī)律)（1） 平均法： 找出這些離散點(diǎn)的公共值。這些離散點(diǎn)相對(duì)于公共值，上下偏差代數(shù)和為零。以這些公共值構(gòu)造的代表表征這些離散數(shù)值的規(guī)律。具體步驟如下：a)有m組數(shù)值,預(yù)選一個(gè)用以擬合的方程式。將此組數(shù)值分別代入 得到m個(gè)方程。b)如預(yù)選方程中有J個(gè)待定常數(shù)，則將m個(gè)方 程分為J組。c)對(duì)每組方程兩端各自相加，合并為一式， 得到J個(gè)方程。d) J個(gè)方程聯(lián)立求解。得J個(gè)待定常數(shù)，從而求得具體擬合方程。最小二乘法。（上

7、學(xué)期講過(guò)，在此不在重復(fù)）三.多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的處理 在實(shí)際中，對(duì)于一個(gè)零件、部件、機(jī)構(gòu)及分析設(shè)計(jì)，常常期望幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值。這就提出了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。 例如：車床齒輪變速箱的設(shè)計(jì)。 提出下列要求： 1）所有齒輪的體積盡可能小。2）齒輪的最大圓周速度盡可能低。3）變速箱的寬度盡可能小。4）各傳動(dòng)軸間的中心距的布局盡可能小。 在工程實(shí)際中的確存在大量的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。此類問(wèn)題往往比較復(fù)雜。目前求解這一類問(wèn)題的方法還不夠完美，有許多理論性問(wèn)題尚待進(jìn)一步探討。 這里簡(jiǎn)單介紹幾種多目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題所處理方法：多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式為：求解： 統(tǒng)一目標(biāo)法：1）基本思想

8、：人為地構(gòu)成一種新函數(shù),將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題.轉(zhuǎn)為求 2）統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)成加數(shù)組合法(線性組合,加數(shù)因子法) 基本思想:對(duì)多目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題的各單目標(biāo)函數(shù)按其重要程度,對(duì)應(yīng)地給出加權(quán)系數(shù) 且 再取 與的線性組合為統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù) 即 然后,求解單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題.此解,即為多目標(biāo)問(wèn)題的最優(yōu)解關(guān)鍵是:確定加權(quán)因子,如何選擇這些加數(shù)因子是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題,至今在理論上尚未得到完善的解決.加權(quán)因子由設(shè)計(jì)者選定。目標(biāo)規(guī)劃法: 基本思想:先求出各分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值根據(jù)多 目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的總體要求 對(duì)這些最優(yōu)值作適當(dāng)調(diào)整.定出各分目標(biāo)函數(shù)最合理的值. 然后按如下的平方和法來(lái)構(gòu)造統(tǒng)

9、一目標(biāo)函數(shù) 這就意味著各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)分別達(dá)到各自最合理值 統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù) 為最小 式中除 以 是使i無(wú)量綱化.理該法關(guān)鍵是如何制定恰當(dāng)?shù)淖詈侠碇倒πШ瘮?shù)法: 每個(gè)分目標(biāo)函數(shù) 用功效系數(shù) 表示該項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的好壞 (1表示最好 0表示最壞) 那總功效求數(shù) :表示設(shè)計(jì)方案的好壞因此1表示取得最理想的設(shè)計(jì)方案.0表明這種設(shè)計(jì)方案不可行,此時(shí)必有某分目標(biāo)函數(shù).0需要調(diào)整約束條件或分目標(biāo)函數(shù)“統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)”的界值.用總功效系數(shù).作為此法計(jì)算較繁.但較為有效,比較直觀且調(diào)整不易.功效函數(shù)法適用于: 目標(biāo)函數(shù)既不是愈大愈好,也不是愈小愈好的情況. 此法將一多目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題中的全部q個(gè)目標(biāo)分為: 目標(biāo)函數(shù)愈小

10、愈好的所謂基用類(材料,工時(shí),成本,重量等)目標(biāo)函數(shù)值愈大愈好的所謂效益類(產(chǎn)量,產(chǎn)值,利潤(rùn),效益等) 則:統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)可取 (s項(xiàng)最小函數(shù) q - s項(xiàng)最大函數(shù))乘除法2)主要目標(biāo)法3)協(xié)調(diào)曲線法4)設(shè)計(jì)分析法見(jiàn)教材四 優(yōu)化結(jié)果分析 優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算完成后,必須對(duì)計(jì)算好結(jié)果,進(jìn)行仔細(xì)分析.比較,檢查其合理性,發(fā)現(xiàn)和改正一切可能的錯(cuò)誤,以便得到一個(gè)符合工程實(shí)際的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方案,檢查優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果可行性和全理性. 1)與原始設(shè)計(jì)方案的目標(biāo)函數(shù)作比較,通過(guò)作圖,曲線或列表,等原始方案的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行比較,查看優(yōu)化結(jié)果是否正常.2)檢查最優(yōu)設(shè)計(jì)變量滿足約束條件 查找原因,數(shù)學(xué)模型是否有誤,選擇其它優(yōu)化方法重新計(jì)算.3)優(yōu)化結(jié)果是否合理: 優(yōu)化所得的結(jié)果一般只能認(rèn)為是局部最優(yōu)解,并一定是全局最優(yōu)解,處理方法:一是選幾個(gè)初始點(diǎn)進(jìn)行試計(jì)算或選用不同的優(yōu)化方法進(jìn)行試計(jì)算,從所得各個(gè)最優(yōu)解中篩選出最佳的結(jié)果作為最優(yōu)解,這時(shí)雖然還不能確定為全局最優(yōu)解,但能肯定是幾個(gè)局部最優(yōu)解最佳的結(jié)果.4)設(shè)計(jì)變量的處理