曲線標(biāo)準(zhǔn)展開

1、1.6 曲線在一點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)展開1一曲線的局部規(guī)范形式按照Taylor展開式的基本思想，曲線的位置向量函數(shù)在所指定的任意點(diǎn)鄰近都可以用適當(dāng)次數(shù)的多項(xiàng)式向量函數(shù)來逼近對(duì)于 C3 弧長 s 參數(shù)化曲線 C: r r(s) ，任取其上一點(diǎn) P0: r(s0) ，不妨設(shè) s0 0 ，則有Peano余項(xiàng)形式的Taylor展開式 其中余項(xiàng) o(s3) 是 s3 的高階無窮小向量若 C 無逗留點(diǎn)，則上式可用Frenet標(biāo)架表出事實(shí)上，記 r(0); T(0), N(0), B(0) r0; T0 , N0 , B0 , (0) 0 , (0) 0 ，則易知有2一曲線的局部規(guī)范形式對(duì)于 C3 弧長 s 參數(shù)化曲線

2、 C: r r(s) ，任取其上一點(diǎn) P0: r(s0) ，不妨設(shè) s0 0 ，則有Taylor展開式若 C 無逗留點(diǎn)，則上式可用Frenet標(biāo)架表出事實(shí)上，記 r(0); T(0), N(0), B(0) r0; T0 , N0 , B0 , (0) 0 , (0) 0 ，則易知有(5.2) r (0) T0 , r (0) 0N0 ， r (0) (0) N0 00T0 0B0 此式說明：通過對(duì)線性無關(guān)向量組 r (s), r (s), r (s) 進(jìn)行規(guī)范的Schmidt正交化，所得到的標(biāo)準(zhǔn)單位正交基實(shí)際上就是Frenet標(biāo)架基向量組 T(s), N(s), B(s)3一曲線的局部規(guī)范形

3、式對(duì)于 C3 弧長 s 參數(shù)化曲線 C: r r(s) ，任取其上一點(diǎn) P0: r(s0) ，不妨設(shè) s0 0 ，則有Taylor展開式若 C 無逗留點(diǎn)，則(5.2) r (0) T0 , r (0) 0N0 ， r (0) (0) N0 00T0 0B0 取 r0; T0 , N0 , B0 為 E3 的一個(gè)新的單位正交右手標(biāo)架， 所建立的新直角坐標(biāo)系坐標(biāo)記為 (x*, y*, z*) ， 則此時(shí)曲線 C 的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為r* r*(s) (x*(s), y*(s), z*(s) x*(s)T0 + y*(s)N0 + z*(s)B0 其中 r*(s) r(s) r0 4一曲線的局部規(guī)范形式

4、由此，將 (5.2) 式代入 (5.1) 式，C 的分量形式即為(5.2)r (0) T0 , r (0) 0N0 , r (0) (0)N0 00T0 0B0 r* r*(s) r(s) r0 (x*(s), y*(s), z*(s) x*(s)T0 + y*(s)N0 + z*(s)B0 5一曲線的局部規(guī)范形式 其中余項(xiàng) ox*(s3), oy*(s3), oz*(s3) 分別是 s3 的高階無窮小.此式稱為曲線 C 在點(diǎn) P0 處的標(biāo)準(zhǔn)展開或局部規(guī)范形式，或稱為Bouquet公式對(duì)于撓曲線，其局部規(guī)范形式的主要部分確定了一條三次多項(xiàng)式曲線曲線 C 在 P0 點(diǎn)的局部近似曲線：C*:r*(

5、s) (s , (0/2)s2 , (00/6)s3) 6二曲線的局部近似曲線撓曲線 C 在 P0 點(diǎn)的局部近似曲線 C*: r*(s) (s , (0/2)s2 , (00/6)s3) 直接計(jì)算表明，其位置向量的導(dǎo)數(shù)在 P0 點(diǎn)與曲線 C 具有相同的取值進(jìn)一步，曲線 C* 與曲線 C 在 P0 點(diǎn)具有相同的Frenet標(biāo)架以及相同的曲率值和撓率值（習(xí)題）； 這說明它們的幾何行為在 P0 點(diǎn)附近也是很接近的 在 P0 點(diǎn)的局部近似注意：曲線 C* 與曲線 C 的弧長參數(shù)并不一定一致（習(xí)題），只是上述各取值相同之處一定包含著所考慮的點(diǎn) P0 而已7二曲線的局部近似曲線但無論如何，從逼近的角度去看

6、，近似曲線的局部形狀已經(jīng)足以反映出原有撓曲線的局部形狀為觀察近似曲線 C*在 P0 點(diǎn)附近的圖形，可以通過觀察其向Frenet標(biāo)架坐標(biāo)面上的投影曲線的圖形而進(jìn)行，從而得到其基本特征撓曲線 C 在 P0 點(diǎn)的局部近似曲線 C*: r*(s) (s , (0/2)s2 , (00/6)s3) 曲線 C* 與曲線 C 的弧長參數(shù)并不一定一致8曲線的局部近似圖形向密切平面上的投影曲線為拋物線C*:r*(s) (s , (0/2)s2 , (00/6)s3) 為觀察近似曲線 C*在 P0 點(diǎn)附近的圖形，可以通過觀察其向Frenet標(biāo)架坐標(biāo)面上的投影曲線的圖形而進(jìn)行，從而得到其基本特征9曲線的局部近似圖形

7、向從切平面的投影曲線為立方拋物線向法平面的投影曲線為半立方拋物線C*:r*(s) (s , (0/2)s2 , (00/6)s3) 10曲線的局部近似圖形后面二者的平面圖形走向顯然與撓率的符號(hào)有關(guān)；其立體投影圖形也可以仿照?qǐng)D2-8做出（自己練習(xí)）類似于圖2-7所示的局部情形，當(dāng) 0 0 時(shí)，近似曲線和原曲線都是從密切平面“下方”“右旋上升”穿過法平面和密切平面而去C*:r*(s) (s , (0/2)s2 , (00/6)s3) 11圖2-9示意了當(dāng) 0 0 時(shí)，近似曲線和原曲線都是從密切平面“下方”“右旋上升”穿過法平面和密切平面而去12三曲線的切觸為了比較兩條曲線在某個(gè)局部的接近程度，通常

8、為了方便而將所考慮的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)視為兩條曲線的公共點(diǎn)如果還想知道這兩條曲線的位置差異程度，那么，引進(jìn)所謂切觸及其階數(shù)的概念將是方便的設(shè)相交于點(diǎn) P0 的曲線 C: r(s) 和曲線 C*: r*(s) 同時(shí)以 s 為弧長參數(shù)，并且不妨設(shè) OP0 r(s0) r*(s0) ， 則兩條曲線上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系規(guī)定為取相同的參數(shù)值， 幾何意義即為對(duì)應(yīng)點(diǎn)到公共交點(diǎn) P0 的弧段具有相同的有向長度此時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間在 E3 中的距離若為它們到交點(diǎn) P0 的弧段長度的高階無窮小，則稱兩條曲線 C 和 C* 在點(diǎn) P0 切觸.13三曲線的切觸比較兩條曲線在某個(gè)局部的接近程度設(shè) C: r(s) 和 C*: r*(s)

9、 同時(shí)以 s 為弧長參數(shù)，并且 OP0 r(s0) r*(s0) ，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系規(guī)定為取相同的參數(shù)值；對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間在 E3 中的距離若為它們到交點(diǎn) P0 的弧段長度的高階無窮小，即 則稱兩條曲線 C 和 C* 在點(diǎn) P0 切觸.若正整數(shù) n 使 則稱兩條曲線 C 和 C* 在點(diǎn) P0 有 n 階切觸（或n 階密切）14三曲線的切觸(5.3) 式和 (5.4) 式說明 撓曲線及其近似曲線有至少二階切觸從 (5.1) 式和 (5.2) 式還可以看到， 相切的兩條曲線若在切點(diǎn)具有相同的非零曲率值和相同的有向密切平面，則它們?cè)谇悬c(diǎn)有至少二階切觸15三曲線的切觸(5.3) 式和 (5.4) 式說明撓曲線及其近似曲線有至少二階切觸從 (5.1) 式和 (5.2) 式還可以