邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解

1、邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解邏輯代數(shù)的產(chǎn)生：1849年英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治.布爾(George Boole)提出稱(chēng)為布爾代數(shù)。也稱(chēng)為開(kāi)關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)中用字母表示變量邏輯變量每個(gè)邏輯變量的取值只有兩種可能0和1也是邏輯代數(shù)中僅有的兩個(gè)常數(shù)0和1只表示兩種不同的邏輯狀態(tài)不表示數(shù)量大小注意邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解1.1 基本概念、公式和定理一、基本和常用的邏輯運(yùn)算三種基本運(yùn)算是：與、或、非（反）1.與運(yùn)算ABY0101BLA0011輸 入0001輸出 與邏輯真值表與邏輯只有當(dāng)決定一件事情的條件全部具備之后，這件事情才會(huì)發(fā)生。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解2或運(yùn)算0101BLA0011輸

2、入0111輸出 或邏輯真值表或邏輯當(dāng)決定一件事情的幾個(gè)條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上條件具備，這件事情就發(fā)生。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解3非運(yùn)算LA0110非邏輯真值表非邏輯某事情發(fā)生與否，僅取決于一個(gè)條件，而且是對(duì)該條件的否定。即條件具備時(shí)事情不發(fā)生；條件不具備時(shí)事情才發(fā)生。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解二、其他常用邏輯運(yùn)算1與非 由與運(yùn)算 和非運(yùn)算組合而成。0101BLA0011輸 入1110輸出 “與非”真值表邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解2或非 由或運(yùn)算和非運(yùn)算組合而成。0101BLA0011輸 入1000輸出 “或非”真值表邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解3、與或非邏輯Y= AB + CD&ABCDY邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和

3、例題講解4異或異或是一種二變量邏輯運(yùn)算，當(dāng)兩個(gè)變量取值相同時(shí)，邏輯函數(shù)值為0；當(dāng)兩個(gè)變量取值不同時(shí)，邏輯函數(shù)值為1。異或的邏輯表達(dá)式為0101BLA0011輸 入0110輸出 “異或”真值表邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解5同或異或運(yùn)算的反叫做同或同或的邏輯表達(dá)式為0101BLA0011輸 入1001輸出 “同或”真值表邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解三、公式和定理吸收律反演律分配律結(jié)合律交換律重疊律互補(bǔ)律公 式 101律對(duì)合律名 稱(chēng) 公 式 2邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解公式的證明方法：（1）用簡(jiǎn)單的公式證明略為復(fù)雜的公式 證明吸收律 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解（2）用真值表證明即檢驗(yàn)等式兩邊函數(shù)的真值表是否一致 用真值

4、表證明反演律A B0 00 11 01 1 1 1 1 0 1 1 1 0邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解四、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 對(duì)于任何一個(gè)邏輯等式，以某個(gè)邏輯變量或邏輯函數(shù)同時(shí)取代等式兩端任何一個(gè)邏輯變量后，等式依然成立。 例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：1 .代入規(guī)則邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解 將一個(gè)邏輯函數(shù)L進(jìn)行下列變換： ， 0 1，1 0所得新函數(shù)表達(dá)式叫做L的對(duì)偶式，用 表示。如果兩個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式相等，那么它們的對(duì)偶式也一定相等。2 .對(duì)偶規(guī)則邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解3 .反演規(guī)則將一個(gè)邏輯函數(shù)L進(jìn)行下列變換： ， ； 0 1，1 0 ； 原變量 反變量， 反變量 原

5、變量。所得新函數(shù)表達(dá)式叫做L的反函數(shù)，用 表示。利用反演規(guī)則，可以非常方便地求得一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 求函數(shù) 的反函數(shù)：解：例 求函數(shù) 的反函數(shù)：解：（2）變換中，幾個(gè)變量（一個(gè)以上）的公共非號(hào)保持不變。注意在應(yīng)用反演規(guī)則求反函數(shù)時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：（1）保持運(yùn)算的優(yōu)先順序不變，必要時(shí)加括號(hào)表明邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解五、關(guān)于異或運(yùn)算的公式1、交換律：2、結(jié)合律：3、分配律：證明：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解4、常量和變量的異或運(yùn)算5、因果互換律如果則有證明：同理邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解1.2 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法公式法 圖形法一、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和最簡(jiǎn)式 最小項(xiàng)1.標(biāo)準(zhǔn)與或式邏輯

6、代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解最小項(xiàng)的定義一般地說(shuō)，對(duì)于n個(gè)變量，如果p是一個(gè)含有n個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且每一個(gè)變量都以原變量或者反變量的形式，作為一個(gè)因子在p中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，那么就稱(chēng)p是這n個(gè)變量的一個(gè)最小項(xiàng)。n個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，包含全部變量的乘積項(xiàng)稱(chēng)為最小項(xiàng)n變量邏輯函數(shù)的全部最小項(xiàng)共有2n個(gè)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解任何一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以轉(zhuǎn)換為一組最小項(xiàng)之和，稱(chēng)為最小項(xiàng)表達(dá)式例1：將 邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)表達(dá)式：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解2 邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)式邏輯函數(shù)式的常見(jiàn)形式其中，與或表達(dá)式是邏輯函數(shù)的最基本表達(dá)形式。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)“與或表達(dá)式” 的標(biāo)

7、準(zhǔn)（1)與項(xiàng)最少 即表達(dá)式中“+”號(hào)最少（2）每個(gè)與項(xiàng)中的變量數(shù)最少 即表達(dá)式中“ ”號(hào)最少邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解二、邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)并項(xiàng)法：運(yùn)用公式 將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)變量。例：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解吸收法：運(yùn)用吸收律 A+AB=A，消去多余的與項(xiàng)例：消去法：運(yùn)用吸收律 消去多余因子。例：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解配項(xiàng)法：先通過(guò)乘以 或加上 ， 增加必要的乘積項(xiàng)，再用以上方法化簡(jiǎn)。例：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，要靈活運(yùn)用上述方法，才能將邏輯函數(shù)化為最簡(jiǎn)例 化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)： 解：（利用 ）利用A+AB=A）（利用 ）邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)： （利用 ） （配

8、項(xiàng)法） （利用 ） 解：（利用反演律 ） （利用A+AB=A）（利用A+AB=A）邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 證明 證明：冗余定理在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果兩個(gè)乘積項(xiàng)中，一項(xiàng)包含了原變量A，另一項(xiàng)包含了反變量A，而這兩項(xiàng)其余的因子都是第三個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則第三個(gè)乘積項(xiàng)是多余的。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)： （增加多余項(xiàng) ）解法1：由此可知，有些邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)結(jié)果不是唯一的。（消去一個(gè)多余項(xiàng) ）（再消去一個(gè)多余項(xiàng) ）解法2： （增加多余項(xiàng) ） （消去一個(gè)多余項(xiàng) ）（再消去一個(gè)多余項(xiàng) ）邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解不易判定化簡(jiǎn)結(jié)果是否最簡(jiǎn)。總結(jié)公式化簡(jiǎn)法的優(yōu)點(diǎn)：不受變量數(shù)目的限制缺點(diǎn)：沒(méi)有固定的

9、步驟可循；需要熟練運(yùn)用各種公式和定理；需要一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)；邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解三、邏輯函數(shù)的圖形法化簡(jiǎn)1相鄰最小項(xiàng)如果兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量互為反變量，其余變量均相同，則稱(chēng)這兩個(gè)最小項(xiàng)為邏輯相鄰，簡(jiǎn)稱(chēng)相鄰項(xiàng)如最小項(xiàng)ABC 和 就是相鄰最小項(xiàng)。如果兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)出現(xiàn)在同一個(gè)邏輯函數(shù)中，可以合并為一項(xiàng)，同時(shí)消去互為反變量的那個(gè)量如：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解2 .卡諾圖一個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，然后將這些最小項(xiàng)按照相鄰性排列起來(lái)。即用小方格幾何位置上的相鄰性來(lái)表示最小項(xiàng)邏輯上的相鄰性3卡諾圖的結(jié)構(gòu)（1）二變量卡諾圖邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解（2）三變量卡諾圖 變量取值順序按循環(huán)碼排列注意循環(huán)碼可以由

10、二進(jìn)制碼導(dǎo)出如果B是二進(jìn)制碼，G是循環(huán)碼則邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解（3）四變量卡諾圖邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解 （2）對(duì)邊相鄰性，即與中心軸對(duì)稱(chēng)的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。 仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)卡諾圖具有很強(qiáng)的相鄰性：（1）直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項(xiàng)在邏輯上一定是相鄰的邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解四、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)例 某邏輯函數(shù)的真值表如表所示，用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。1從真值表到卡諾圖邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解2從邏輯表達(dá)式到卡諾圖例 用卡諾圖表示邏輯函數(shù):（1）如果表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，則可直接填入卡諾邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解可將其先化成最小項(xiàng)表達(dá)

11、式，再填入卡諾圖。也可直接填入。（2）如表達(dá)式不是最小項(xiàng)表達(dá)式，但是“與或表達(dá)式”邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解五、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法 1卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的原理 :（1）2個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可以合并，消去1個(gè)取值不同的變量。（2）4個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可以合并，消去2個(gè)取值不同的變量。 C A B D1111111 C A B D11111111邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解（3）8個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可以合并，消去3個(gè)取值不同的變量?？傊?，2n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可以合并，消去n個(gè)取值不同的變量。 C A B D111111111111邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解2用卡諾圖合并最小項(xiàng)的原則（畫(huà)圈的原則）（1）盡量畫(huà)大圈，但每個(gè)圈

12、內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3）個(gè)相鄰項(xiàng)。要特別注意對(duì)邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個(gè)數(shù)盡量少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過(guò)，即不能漏下取值為1的最小項(xiàng)。（4）在新畫(huà)的包圍圈中至少要含有1個(gè)末被圈過(guò)的1方格，否則該包圍圈是多余的。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解3用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟：（1）畫(huà)出邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）合并相鄰的最小項(xiàng)，即根據(jù)前述原則畫(huà)圈。（3）寫(xiě)出化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。每一個(gè)圈寫(xiě)一個(gè)最簡(jiǎn)與項(xiàng)規(guī)則是取值為l的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：L（A,B,C

13、,D）=m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解：（1）由表達(dá)式畫(huà)出卡諾圖。（2）畫(huà)包圍圈， 合并最小項(xiàng)， 得簡(jiǎn)化的 與或表達(dá)式: C A B D1111111111100000邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解解：（1）由表達(dá)式畫(huà)出卡諾圖。注意：圖中的綠色圈是多余的，應(yīng)去掉 。例 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：（2）畫(huà)包圍圈合并最小項(xiàng)，得簡(jiǎn)化的與或表達(dá)式: C A B D1111111100000000邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 已知某邏輯函數(shù)的真值表，用卡諾圖化簡(jiǎn)該函數(shù)。（2）畫(huà)包圍圈合并最小項(xiàng)。有兩種畫(huà)圈的方法：解：（1）由真值表畫(huà)出卡諾圖。 由此可見(jiàn)，一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，卡諾圖

14、也是唯一的，但化簡(jiǎn)結(jié)果有時(shí)不是唯一的。 （a）：寫(xiě)出表達(dá)式： （b）：寫(xiě)出表達(dá)式：0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C01111110 L 真值表10110111 A B C L10110111 A B C L邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解4卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的另一種方法圈0法例 已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如圖示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫(xiě)出其最簡(jiǎn)與或式。（2）用圈0法，得： 解：（1）用圈1法得：對(duì)L取非得： C A B D1101111011111111 C A B D1101111011111111邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解六、具有約束項(xiàng)的邏輯函數(shù)

15、的化簡(jiǎn)約束項(xiàng)在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會(huì)出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱(chēng)為無(wú)關(guān)項(xiàng)、任意項(xiàng)或約束項(xiàng)。例：在十字路口有紅綠黃三色交通信號(hào)燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車(chē)行與三色信號(hào)燈之間邏輯關(guān)系。解：設(shè)紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。 車(chē)用L表示，車(chē)行L=1，車(chē)停L=0。列出該函數(shù)的真值。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1紅燈A 綠燈B 黃燈C010 車(chē)L 真值表帶有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式為： L=m（ ）+d（ ）如本例函數(shù)可

16、寫(xiě)成 L=m（2）+d（0,3,5,6,7）邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)010ABC0000111110 A B C不考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)時(shí)，表達(dá)式為：考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)時(shí)，表達(dá)式為: 注意:在考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)時(shí)，哪些無(wú)關(guān)項(xiàng)當(dāng)作1，哪些當(dāng)作0，要以盡量擴(kuò)大卡諾圈、減少圈的個(gè)數(shù)，使邏輯函數(shù)更簡(jiǎn)為原則。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 L（A,B,C,D）=m（1,4,5,6,7,9）+ d（10,11,12,13,14,15） 用卡諾圖法化簡(jiǎn)該邏輯函數(shù)。解：（1）畫(huà)出4變量卡諾圖。 00 01 11 1000011110(2) 填圖 1 1 1 1 1 （3）畫(huà)圈合并(4）寫(xiě)出邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式:邏輯

17、代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解1.3 邏輯函數(shù)的表示方法及其相互之間的轉(zhuǎn)換描述邏輯函數(shù)的方法有四種：邏輯表達(dá)式（函數(shù)式）真值表卡諾圖邏輯電路圖邏輯表達(dá)式（函數(shù)式） 用與、或、非等邏輯運(yùn)算表示邏輯關(guān)系的代數(shù)式叫邏輯函數(shù)表達(dá)式或簡(jiǎn)稱(chēng)函數(shù)式例：Y=AB+ CD邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解真值表 將輸入變量所有的取值對(duì)應(yīng)的輸出值找出來(lái)，列成表格，即可得真值表列真值表時(shí)，需注意以下幾點(diǎn)：1、所有的輸入的組合不可遺漏，也不可重復(fù)；2、輸入組合最好按二進(jìn)制數(shù)遞增的順序排列。例 列出函數(shù) Y=AB+BC+AC 的真值表0 0 00 0 10 1 00 1 1 0 01 0 1 1 01 1 100010111A B C Y 邏輯代