邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解

1、邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解邏輯代數(shù)的產(chǎn)生：1849年英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾(George Boole)提出稱為布爾代數(shù)。也稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)中用字母表示變量邏輯變量每個邏輯變量的取值只有兩種可能0和1也是邏輯代數(shù)中僅有的兩個常數(shù)0和1只表示兩種不同的邏輯狀態(tài)不表示數(shù)量大小注意邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解1.1 基本概念、公式和定理一、基本和常用的邏輯運算三種基本運算是：與、或、非（反）1.與運算ABY0101BLA0011輸 入0001輸出 與邏輯真值表與邏輯只有當(dāng)決定一件事情的條件全部具備之后，這件事情才會發(fā)生。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解2或運算0101BLA0011輸

2、入0111輸出 或邏輯真值表或邏輯當(dāng)決定一件事情的幾個條件中，只要有一個或一個以上條件具備，這件事情就發(fā)生。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解3非運算LA0110非邏輯真值表非邏輯某事情發(fā)生與否，僅取決于一個條件，而且是對該條件的否定。即條件具備時事情不發(fā)生；條件不具備時事情才發(fā)生。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解二、其他常用邏輯運算1與非 由與運算 和非運算組合而成。0101BLA0011輸 入1110輸出 “與非”真值表邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解2或非 由或運算和非運算組合而成。0101BLA0011輸 入1000輸出 “或非”真值表邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解3、與或非邏輯Y= AB + CD&ABCDY邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和

3、例題講解4異或異或是一種二變量邏輯運算，當(dāng)兩個變量取值相同時，邏輯函數(shù)值為0；當(dāng)兩個變量取值不同時，邏輯函數(shù)值為1。異或的邏輯表達式為0101BLA0011輸 入0110輸出 “異或”真值表邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解5同或異或運算的反叫做同或同或的邏輯表達式為0101BLA0011輸 入1001輸出 “同或”真值表邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解三、公式和定理吸收律反演律分配律結(jié)合律交換律重疊律互補律公 式 101律對合律名 稱 公 式 2邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解公式的證明方法：（1）用簡單的公式證明略為復(fù)雜的公式 證明吸收律 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解（2）用真值表證明即檢驗等式兩邊函數(shù)的真值表是否一致 用真值

4、表證明反演律A B0 00 11 01 1 1 1 1 0 1 1 1 0邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解四、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 對于任何一個邏輯等式，以某個邏輯變量或邏輯函數(shù)同時取代等式兩端任何一個邏輯變量后，等式依然成立。 例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：1 .代入規(guī)則邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解 將一個邏輯函數(shù)L進行下列變換： ， 0 1，1 0所得新函數(shù)表達式叫做L的對偶式，用 表示。如果兩個邏輯函數(shù)表達式相等，那么它們的對偶式也一定相等。2 .對偶規(guī)則邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解3 .反演規(guī)則將一個邏輯函數(shù)L進行下列變換： ， ； 0 1，1 0 ； 原變量 反變量， 反變量 原

5、變量。所得新函數(shù)表達式叫做L的反函數(shù)，用 表示。利用反演規(guī)則，可以非常方便地求得一個函數(shù)的反函數(shù)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 求函數(shù) 的反函數(shù)：解：例 求函數(shù) 的反函數(shù)：解：（2）變換中，幾個變量（一個以上）的公共非號保持不變。注意在應(yīng)用反演規(guī)則求反函數(shù)時要注意以下兩點：（1）保持運算的優(yōu)先順序不變，必要時加括號表明邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解五、關(guān)于異或運算的公式1、交換律：2、結(jié)合律：3、分配律：證明：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解4、常量和變量的異或運算5、因果互換律如果則有證明：同理邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解1.2 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法公式法 圖形法一、邏輯函數(shù)的標準與或式和最簡式 最小項1.標準與或式邏輯

6、代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解最小項的定義一般地說，對于n個變量，如果p是一個含有n個因子的乘積項，而且每一個變量都以原變量或者反變量的形式，作為一個因子在p中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，那么就稱p是這n個變量的一個最小項。n個變量的邏輯函數(shù)中，包含全部變量的乘積項稱為最小項n變量邏輯函數(shù)的全部最小項共有2n個邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解任何一個邏輯函數(shù)表達式都可以轉(zhuǎn)換為一組最小項之和，稱為最小項表達式例1：將 邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達式：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解2 邏輯函數(shù)的最簡式邏輯函數(shù)式的常見形式其中，與或表達式是邏輯函數(shù)的最基本表達形式。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解邏輯函數(shù)的最簡“與或表達式” 的標

7、準（1)與項最少 即表達式中“+”號最少（2）每個與項中的變量數(shù)最少 即表達式中“ ”號最少邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解二、邏輯函數(shù)的公式法化簡并項法：運用公式 將兩項合并為一項，消去一個變量。例：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解吸收法：運用吸收律 A+AB=A，消去多余的與項例：消去法：運用吸收律 消去多余因子。例：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解配項法：先通過乘以 或加上 ， 增加必要的乘積項，再用以上方法化簡。例：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解在化簡邏輯函數(shù)時，要靈活運用上述方法，才能將邏輯函數(shù)化為最簡例 化簡邏輯函數(shù)： 解：（利用 ）利用A+AB=A）（利用 ）邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 化簡邏輯函數(shù)： （利用 ） （配

8、項法） （利用 ） 解：（利用反演律 ） （利用A+AB=A）（利用A+AB=A）邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 證明 證明：冗余定理在一個與或表達式中，如果兩個乘積項中，一項包含了原變量A，另一項包含了反變量A，而這兩項其余的因子都是第三個乘積項的因子，則第三個乘積項是多余的。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 化簡邏輯函數(shù)： （增加多余項 ）解法1：由此可知，有些邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果不是唯一的。（消去一個多余項 ）（再消去一個多余項 ）解法2： （增加多余項 ） （消去一個多余項 ）（再消去一個多余項 ）邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解不易判定化簡結(jié)果是否最簡?？偨Y(jié)公式化簡法的優(yōu)點：不受變量數(shù)目的限制缺點：沒有固定的

9、步驟可循；需要熟練運用各種公式和定理；需要一定的技巧和經(jīng)驗；邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解三、邏輯函數(shù)的圖形法化簡1相鄰最小項如果兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，則稱這兩個最小項為邏輯相鄰，簡稱相鄰項如最小項ABC 和 就是相鄰最小項。如果兩個相鄰最小項出現(xiàn)在同一個邏輯函數(shù)中，可以合并為一項，同時消去互為反變量的那個量如：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解2 .卡諾圖一個小方格代表一個最小項，然后將這些最小項按照相鄰性排列起來。即用小方格幾何位置上的相鄰性來表示最小項邏輯上的相鄰性3卡諾圖的結(jié)構(gòu)（1）二變量卡諾圖邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解（2）三變量卡諾圖 變量取值順序按循環(huán)碼排列注意循環(huán)碼可以由

10、二進制碼導(dǎo)出如果B是二進制碼，G是循環(huán)碼則邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解（3）四變量卡諾圖邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解 （2）對邊相鄰性，即與中心軸對稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。 仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)卡諾圖具有很強的相鄰性：（1）直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項在邏輯上一定是相鄰的邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解四、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)例 某邏輯函數(shù)的真值表如表所示，用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。1從真值表到卡諾圖邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解2從邏輯表達式到卡諾圖例 用卡諾圖表示邏輯函數(shù):（1）如果表達式為最小項表達式，則可直接填入卡諾邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解可將其先化成最小項表達

11、式，再填入卡諾圖。也可直接填入。（2）如表達式不是最小項表達式，但是“與或表達式”邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解五、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法 1卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的原理 :（1）2個相鄰的最小項可以合并，消去1個取值不同的變量。（2）4個相鄰的最小項可以合并，消去2個取值不同的變量。 C A B D1111111 C A B D11111111邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解（3）8個相鄰的最小項可以合并，消去3個取值不同的變量?？傊?，2n個相鄰的最小項可以合并，消去n個取值不同的變量。 C A B D111111111111邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解2用卡諾圖合并最小項的原則（畫圈的原則）（1）盡量畫大圈，但每個圈

12、內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3）個相鄰項。要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個數(shù)盡量少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項。（4）在新畫的包圍圈中至少要含有1個末被圈過的1方格，否則該包圍圈是多余的。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解3用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟：（1）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）合并相鄰的最小項，即根據(jù)前述原則畫圈。（3）寫出化簡后的表達式。每一個圈寫一個最簡與項規(guī)則是取值為l的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項進行邏輯加，即得最簡與或表達式。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 化簡邏輯函數(shù)：L（A,B,C

13、,D）=m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解：（1）由表達式畫出卡諾圖。（2）畫包圍圈， 合并最小項， 得簡化的 與或表達式: C A B D1111111111100000邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解解：（1）由表達式畫出卡諾圖。注意：圖中的綠色圈是多余的，應(yīng)去掉 。例 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：（2）畫包圍圈合并最小項，得簡化的與或表達式: C A B D1111111100000000邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 已知某邏輯函數(shù)的真值表，用卡諾圖化簡該函數(shù)。（2）畫包圍圈合并最小項。有兩種畫圈的方法：解：（1）由真值表畫出卡諾圖。 由此可見，一個邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，卡諾圖

14、也是唯一的，但化簡結(jié)果有時不是唯一的。 （a）：寫出表達式： （b）：寫出表達式：0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C01111110 L 真值表10110111 A B C L10110111 A B C L邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解4卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的另一種方法圈0法例 已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如圖示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡與或式。（2）用圈0法，得： 解：（1）用圈1法得：對L取非得： C A B D1101111011111111 C A B D1101111011111111邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解六、具有約束項的邏輯函數(shù)

15、的化簡約束項在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對應(yīng)的最小項稱為無關(guān)項、任意項或約束項。例：在十字路口有紅綠黃三色交通信號燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信號燈之間邏輯關(guān)系。解：設(shè)紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。 車用L表示，車行L=1，車停L=0。列出該函數(shù)的真值。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1紅燈A 綠燈B 黃燈C010 車L 真值表帶有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的最小項表達式為： L=m（ ）+d（ ）如本例函數(shù)可

16、寫成 L=m（2）+d（0,3,5,6,7）邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡010ABC0000111110 A B C不考慮無關(guān)項時，表達式為：考慮無關(guān)項時，表達式為: 注意:在考慮無關(guān)項時，哪些無關(guān)項當(dāng)作1，哪些當(dāng)作0，要以盡量擴大卡諾圈、減少圈的個數(shù)，使邏輯函數(shù)更簡為原則。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解例 L（A,B,C,D）=m（1,4,5,6,7,9）+ d（10,11,12,13,14,15） 用卡諾圖法化簡該邏輯函數(shù)。解：（1）畫出4變量卡諾圖。 00 01 11 1000011110(2) 填圖 1 1 1 1 1 （3）畫圈合并(4）寫出邏輯函數(shù)的最簡與或表達式:邏輯

17、代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解1.3 邏輯函數(shù)的表示方法及其相互之間的轉(zhuǎn)換描述邏輯函數(shù)的方法有四種：邏輯表達式（函數(shù)式）真值表卡諾圖邏輯電路圖邏輯表達式（函數(shù)式） 用與、或、非等邏輯運算表示邏輯關(guān)系的代數(shù)式叫邏輯函數(shù)表達式或簡稱函數(shù)式例：Y=AB+ CD邏輯代數(shù)基礎(chǔ)和例題講解真值表 將輸入變量所有的取值對應(yīng)的輸出值找出來，列成表格，即可得真值表列真值表時，需注意以下幾點：1、所有的輸入的組合不可遺漏，也不可重復(fù)；2、輸入組合最好按二進制數(shù)遞增的順序排列。例 列出函數(shù) Y=AB+BC+AC 的真值表0 0 00 0 10 1 00 1 1 0 01 0 1 1 01 1 100010111A B C Y 邏輯代