新編高等數(shù)學(xué)第五版第二24課件

1、第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率第二章 導(dǎo)數(shù)與微分隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率小結(jié) 思考題 作業(yè)1定義1. 隱函數(shù)的定義所確定的函數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率稱為隱函數(shù)(implicit function).的形式稱為顯函數(shù).隱函數(shù)的可確定顯函數(shù)例開普勒方程開普勒(J.Kepler)1571-1630德國(guó)數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家.的隱函數(shù)客觀存在,但無(wú)法將表達(dá)成的顯式表達(dá)式.顯化.22. 隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率隱函數(shù)求導(dǎo)法則 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,并注意到其中將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo).變量

2、y是x的函數(shù).隱函數(shù)不易顯化或不能顯化？如何求導(dǎo)3例解則得恒等式代入方程,隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率將此恒等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),得因?yàn)閥是x的函數(shù), 是x的復(fù)合函數(shù),所以求導(dǎo)時(shí)要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,0=y0=x0=y0=x4 雖然隱函數(shù)沒(méi)解出來(lái),但它的導(dǎo)數(shù)求出來(lái)了,當(dāng)然結(jié)果中仍含有變量y.允許在 的表達(dá)式中含有變量y.一般來(lái)說(shuō),隱函數(shù)求導(dǎo),隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),只要記住x是自變量,將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),就得到一個(gè)含有導(dǎo)數(shù)從中解出即可.于是y的函數(shù)便是x的復(fù)合函數(shù),的方程.y是x的函數(shù),5隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相

3、關(guān)變化率例解法一利用隱函數(shù)求導(dǎo)法.將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得解出得法二從原方程中解出得6隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率先求x對(duì)y的導(dǎo)數(shù),得再利用反函數(shù)求導(dǎo)法則,得7例解切線方程法線方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率通過(guò)原點(diǎn).8例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率將上面方程兩邊再對(duì)9或解解得隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率23)4(xy-)112(2-yy10隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率利用隱函數(shù)求導(dǎo)法來(lái)證明曲線族的正交問(wèn)題.如果兩條曲線在它們的交點(diǎn)處的切線互相垂直,正交軌線.稱這兩條曲線是正交的.如果一個(gè)曲線族

4、中的每條曲線與另一個(gè)曲線族中的所有與它相交的曲線均正交,稱這是正交的兩個(gè)曲線族或互為正交曲線族在很多物理現(xiàn)象中出現(xiàn),例如,靜電場(chǎng)中的電力線與等電位線正交,熱力學(xué)中的等溫線與熱流線正交,等等.11練習(xí)證即證.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率兩條曲線在該點(diǎn)的現(xiàn)只須證明切線斜率互為負(fù)倒數(shù).,)2,2(是兩曲線的交點(diǎn)易驗(yàn)證點(diǎn)12隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率練習(xí)2019年考研數(shù)學(xué)一, 3分解確定,133. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用, 介紹(1) 許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù).對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,它可以利用對(duì)數(shù)性質(zhì)使某些函數(shù)的求導(dǎo)變得更為簡(jiǎn)單.隱函數(shù)及由參數(shù)

5、方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 適用于方 法先在方程兩邊取對(duì)數(shù), -對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù).14例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率等式兩邊取對(duì)數(shù)得 隱函數(shù)15兩邊對(duì)x求導(dǎo)得隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率等式兩邊取對(duì)數(shù)得)(ln)(xuxv16例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率等式兩邊取對(duì)數(shù)得17注復(fù)合函數(shù)改寫成如上例則只要將冪指函數(shù)也可以利用對(duì)數(shù)性質(zhì)化為:再求導(dǎo),隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率18例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率19有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法很方便.例如,兩邊取對(duì)數(shù)兩

6、邊對(duì)x求導(dǎo)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率xb+20練習(xí)解答隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率等式兩邊取對(duì)數(shù)21解答隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率22二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如?(parametric equation)參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù). 消參數(shù)困難或無(wú)法消參數(shù)如何求導(dǎo).消去參數(shù),間的函數(shù)關(guān)系與確定xy23所以,隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得24例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率25 所求

7、切線方程為隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率26例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率可由切線的斜率來(lái)反映.即時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向在0)1(t27隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率28隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率29設(shè)由方程確定函數(shù)求方程組兩邊對(duì)t 求導(dǎo),得故隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率例解tydd)1(2+t=tydd30若曲線由極坐標(biāo)方程給出,利用可化為極角 參數(shù)方程,因此曲線隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率切線的斜率為,cos)(qqrx=qqsin)(ry=qqsin)(r-31例解將曲線的極坐

8、標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成則曲線的切線斜率為所以法線斜率為又切點(diǎn)為隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率故法線方程為即參數(shù)方程 這種將極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程,借助參數(shù)方程處理問(wèn)題的方法,在高等數(shù)學(xué)中將多次遇到.32隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率33如:注求二階導(dǎo)數(shù)不必死套公式,只要理解其含義,這樣對(duì)求更高階的導(dǎo)數(shù)也容易處理.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率34例解隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率35練習(xí)解得隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率=+-=-)1(ddteexytyttey+-11dd0-=tty36為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間

9、也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率解法三步驟找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)t 求導(dǎo)相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率相關(guān)變化率之間的關(guān)系式 代入指定時(shí)刻的變量值及已知變化率,(1)(2)(3)37例解(1)(2)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率仰角增加率(3),1tan,500=a時(shí)當(dāng)h500aa22tan1sec+=38當(dāng)氣球升至500m時(shí),有一觀測(cè)者以的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來(lái),當(dāng)距離500 m時(shí),仰角的增加率是多少?提示 對(duì)t 求導(dǎo)求隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率思考500 x39水面例解橋面20mxy(1)隱函數(shù)及由參

10、數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率在此人的正下方有一條小船以的速度在與橋垂直的方向航行,求經(jīng)5s后,人與小船相分離的速度.對(duì)t求導(dǎo)(2)(3),my船航行距離為.34dd=ty40練習(xí)設(shè)自開始充氣以來(lái)的時(shí)間t,解體積為在t時(shí)刻氣體的半徑為隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率10=r41隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率四、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則;對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo).參數(shù)方程求導(dǎo)注意:變量y是x的函數(shù).將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo).工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則.相關(guān)變化率通過(guò)函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)變化率之間的解法: 三個(gè)步驟.關(guān)系,從其中一個(gè)變化率(已知)求出一