向量乘積高等數(shù)學(xué)卓越

1、第二節(jié)向量的乘積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積三、向量的混合積第八章一、兩向量的數(shù)量積引例. 設(shè)一物體在常力 F 作用下, 沿與力夾角為則力F 所做的功為的直線(xiàn)移動(dòng),位移為 s ,cosW 1. 定義設(shè)向量MM 2的夾角為 , 稱(chēng)s,b記作cosaba的數(shù)量積(點(diǎn)積) .ba s2. 性質(zhì)a a (1)(2)a ,b則有為兩個(gè)非零向量,a 0, b 0a b 0 0則3. 運(yùn)算律(1)交換律為實(shí)數(shù)）a ( b)(2)結(jié)合律 a ( b) (a b)( a ) ( b )a b c a c b c (3)分配律例1.證明三角形余弦定理b2 證: 如圖. 設(shè)ab coAbcAB cC,C,C

2、a則Bbbco 2ba2c22 babab c bcb2 2ab cos4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示a ax i ayj az k ,b bx i byj bz k , 則設(shè)( bx i byj bz k )( ax i ayj az k ) k i 0 k k 1,i j j ki i j ja b axbx ayby azbz兩向量的夾角公式b cos當(dāng)a為非零向量時(shí), 由于, 得a ba ba bxxyyzzcos aba2a2 b2 b2a2b2xyzxyz a a a a aa 222zc特別xy a2 a2a2即xyz a b a b 0axbx ayby azbz 0即例2. 已知三點(diǎn)

3、AMB .解: MA ,1,1(1,1),( 2, 2,1), B2(,1 , 2), 求A0 ,MB ,1,01Bcos AMB MA MBM則MAMB1 0 022AMB 故二、兩向量的向量積引例. 設(shè)O 為杠桿L 的支點(diǎn), 有一個(gè)與杠桿夾角為的力 F 作用在杠桿的 P點(diǎn)上 , 則力 F 作用在杠桿上的力矩是一個(gè)向量 M :OQsinMFOPFOP M OP符合右手規(guī)則FosinOQ POPMFOPLQ1. 定義的夾角為 ，定義,設(shè)方向 : c a ,c b 且符合右手規(guī)則向量 csin記作模 :acbb,稱(chēng) c為向量的與c a b向量積a(叉積)引例中的力矩M OP Fc思考:右圖三角形

4、面積aSb性質(zhì)a a 0a b 0(2) a , b 為非零向量, 則a b當(dāng)a 0, b 0 時(shí),證明:sin 0aa b 0bsin 0，即 0 或a b運(yùn)算律反交換律分配律結(jié)合律a b b a( a b ) c a c b c a ( b ) ( a b )( a ) b4. 向量積的坐標(biāo)表示式a ax i ayj az k ,b bx i byj bz k ,設(shè)則( bx i byj bz k )( ai aj a k ) xyza bi ka bi j axbx ( i i )xzxya b ( j a bj kj )a bj iyyyzyxazbz ( k k )a bk ia b

5、k jzxzy (aybz azby ) i(azbxaxbz ) jk(axby aybx ) kji補(bǔ)充：二階行列式的計(jì)算對(duì)角則a12a11主對(duì)角線(xiàn)1221 .a22a21副對(duì)角線(xiàn)aiji其中元素的第一個(gè)下標(biāo)為行指標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo) j 為列指標(biāo)。即第 j 列。aij 位于行列式的第i行a111213D a21列標(biāo)2223a31行標(biāo)3233三階行列式的計(jì)算a1111121213D a21(1)沙路法21222223a3131323233D a11a31 .(2)對(duì)角則a11 a21a31121322233233 a13 a122133 a11a23a32 .2231注1.紅線(xiàn)上三元素的乘積冠以

6、正號(hào)，藍(lán)線(xiàn)上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)注2.對(duì)角則只適用于二階與三階行列式21計(jì)算三階行列式 D - 2- 41- 2例2-解按對(duì)角則，有D (4) (2) 41 2 (2)2 1 (3)(4) 2 (3) 2 (2) (2) 11 4 32 24 14.目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)于三階行列式，容易驗(yàn)證：a11a21a12a22a13a23 a13 a1233 a11a23a32 .aaa223121313233a22a23a21a23a21a22 aaa111213aaaaaa323331333132目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束向量積的行列式計(jì)算法(aybz azby ) i(azbxaxbz ) j(axb

7、yaybx ) kaaaaaxazbzyzxyikjbyi axbxbzbxbxbyj aybykazbzaxazbxbz,a ax i ayj az kb bx i byj bz k ay azax a b 0 /bbbxyzaxaz,bxbz例4. 已知三點(diǎn)(1,3),(3,5),C2(, 4 , 7 ), 求三B角形 ABC 的面積解:S ABC,12sinABACAC 1AB AC2j22k 1 1 2 4, 6,22 1 (6)2 224214224i21與 3 j k ，b i 2例 5的解求都垂直向量.ikij b 4a 10z1bzxy| c |105,1向量為 0,10, 5

8、2所求ec551 0,1 .2,555 5三、向量的混合積1.定義已知三向量 a, b , c ,稱(chēng)數(shù)量記作 a b c( a b ) c,c混合積.c幾何意義以a , b , c 為棱作平行六面體,b則其a底面積 A a b ,高 hc故平行六面體體積為( a b ) cVA a b c 2. 混合積的坐標(biāo)表示a ax ,ay ,az ,b bx ,by ,bz ,c cx ,cy ,cz 設(shè)iajakaaaaaa ayzxya b xz, ,zxybxbzbybzbxbybzbxbyaxbxaybyaxbxazbzayazbccc ( a b ) c a b czyxbyzaxayazbx

9、bybzcxcycz3. 性質(zhì)三個(gè)非零向量輪換對(duì)稱(chēng)性:,c 0c 共面的充要條件是ab ccacabba(可用三階行列式推出)bc已知一四面體的頂點(diǎn) Ak xk , yk , zk k 1, 2, 3,4例6.求該四面體體積 .,31,解:已知四面體的體積等于以向量2114為棱的平行六面體體積的故A4V 1 A6 2113413A1A12216y3 yzz1例7. 證明四點(diǎn)A(1,1,D(10 ,15,17 ) 共面.,( 4,5),( 23,),BC解:因 ABAC4214AD D3195216A 0故 A , B , C , D 四點(diǎn)共面.a ax , ay , az , b bx ,by

10、 ,bz , c cx ,cy ,cz 設(shè)1. 向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:a b ax bx , ay by , az bz a ax ,ay ,az a b axbjiak azbzzbzyaybyaxbx叉積:內(nèi)容小結(jié)ax bx cxbxy yyz zzc a 混合積:2. 向量關(guān)系: by bz 0axazayaxb a 0 0zbzya,c 共面zzz 0b ,并求計(jì)算 a1. 設(shè)a i 2 j j及k夾角 的正弦與余弦., 1, 1, 3,1:111cos sin ,3212a , b 的夾角 3, | b | a,2. 已知向量,4a (b )b b解：22co 2aa2 3 cos 3 32(24 17ba173.在頂點(diǎn)為A(,1,12) ,和C(,13, )1BB(,10)的三角形中, 求 AC 邊上的高 BD .解： AC 0, 4, 3AB 0, 2, 2