河南省鄭州市2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

1、鄭州市 20222022 學(xué)年下期期末考試高中一年級數(shù)學(xué)第卷（選擇題，共 60 分）一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分， 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知平行四邊形 ABCD 中，向量 AD 3,7， AB 2,3，則向量 AC 的坐標為（）1,5 . 2,7 【答案】D【解析】【分析】C. 5,4 D. 1,10利用平面向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合平面向量坐標 的加法運算可求得向量 AC 的坐標.【詳解】由平面向量加法的平行四邊形法則可得AC AB AD 2,3 3,7 1,10.故選：D.【點睛】本題考查平面向量加法的坐標運算，考查

2、計算能 力，屬于基礎(chǔ)題.2. sin 10 的值等于()333A.B. C. 1D. 12222【答案】A【解析】sin 10 =sin 2,選A.3332某學(xué)校從編號依次為 01，02，72 的 72 個學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣（等間距抽樣）的方法抽取一個樣本，已知樣本中相 鄰的兩個組的編號分別為 12，21，則該樣本中來自第四組的學(xué)生的編號為（）【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相鄰兩個組的編號確定組矩，即可得解.【詳解】由題：樣本中相鄰的兩個組的編號分別為 12， 21，所以組矩為 9，則第一組所取學(xué)生的編號為 3，第四組所取學(xué)生的編號為30.故選：A【點睛】此題考查系統(tǒng)抽樣，關(guān)鍵在于根據(jù)系統(tǒng)抽樣方

3、法確定組矩，依次求得每組選取的編號.下列函數(shù)中是偶函數(shù)且最小正周期為A. y cos2 4x sin2 4xB. y sin 4x 的是（）4C. y sin 2x cos2 xD. y cos 2x【答案】A【解析】【分析】本題首先可將四個選項都轉(zhuǎn)化為 y Asinx 的形式，然后對四個選項的奇偶性以及周期性依次進行判斷，即可得出結(jié) 果【詳解】 A 中，函數(shù)y cos2 4x sin2 4x cos8 x ，是偶函數(shù)，周期為 T 2 ；84中，函數(shù)是奇函數(shù)，周期T 2 ；B42C 中，函數(shù)y sin 2x cos2x 2 sin 2x ，是非奇非偶函數(shù)，周4期T ；D 中，函數(shù)是偶函數(shù)，周期

4、T 2 .2綜上所述，故選 A【點睛】本題考查對三角函數(shù)的奇偶性以及周期性的判 斷，考查三角恒等變換，偶函數(shù)滿足 f x f x，對于函數(shù)y Asinx ，其最小正周期為T 2，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題已知某 7 個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 5，方差為 4，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù) 5，此時這 8 個數(shù)的方差s 2為（）A. 5C. 722【答案】C【解析】【分析】由平均數(shù)公式求得原有 7 個數(shù)的和，可得新的 8 個數(shù)的平均數(shù)，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差【詳解】因為 7 個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 5，方差為 4，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù) 5，此時這 8 個數(shù)的平均數(shù)為x ，方差為s 2，由平均數(shù)和

5、方差的計算公式可得 x 故選：C.7 5 58 5 ，s2 7 4 5 528 7 .2【點睛】本題考查均值與方差的概念，掌握均值與方差的 計算公式是解題關(guān)鍵已知cos 4 ，且 ,0 ，則tan （）52 4A. 7【答案】D【解析】【分析】C. 17D. 17由平方關(guān)系求得sin ，再由商數(shù)關(guān)系求得tan ，最后由兩角和的正切公式可計算【詳解】,0 ， cos 24 ，sin 3 ， tan 3 ，554tan tan tan 4 1 故選：D.4 71 tan tan4【點睛】本題考查兩角和的正切公式，考查同角間的三角 函數(shù)關(guān)系屬于基礎(chǔ)題設(shè)a 是一個各位數(shù)字都不是 0 且沒有重復(fù)數(shù)字的兩

6、位數(shù).將組成 a 的 2 個數(shù)字按從小到大排成的兩位數(shù)記為 I（a），按從大到小排成的兩位數(shù)記為 D（a）（例如 a=75，則 I（a）=57， D（a）=75），執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的 a=97，則輸出的b=（）【答案】A【解析】【分析】根據(jù)程序框圖輸入 a97，按程序框圖執(zhí)行即可得選項.【詳解】由題意得: a 97, b 97 79 18;a 18,b 8118 63; a 63,b 63 36 27 ； a 27, b 72 27 45 ，45 為 5 的倍數(shù)，所以輸出 45， 故選:A【點睛】本題主要考查了求程序框圖的執(zhí)行結(jié)果，屬于基 礎(chǔ)題.如圖是一個射擊靶的示意圖，其中每個

7、圓環(huán)的寬度與中 心圓的半徑相等.某人朝靶上任意射擊一次沒有脫靶，則其命中深色部分的概率為（）A. 2B. 1C. 3D. 35278【答案】D【解析】【分析】分別求出大圓面積和深色部分面積即可得解.【詳解】設(shè)中心圓的半徑為r ，所以中心圓的面積為 r 2 ， 8 環(huán)面積為9 r 2 4 r 2 5 r 2 ，射擊靶的面積為16 r 2 ，所以命中深色部分的概率為故選：D6 r 216 r 2 3 .8【點睛】此題考查幾何概型，屬于面積型，關(guān)鍵在于準確求解面積，根據(jù)圓環(huán)特征分別求出面積即可得解.在ABC 中，AB AC 2 ，且BAC 120 ，若BM BC (0 1)，則 AM ( AB AC

8、 ) （）【答案】A【解析】【分析】C.3 2D. 12取BC 的中點D ，連接DA ，根據(jù) AM ( AB AC ) 2 AD AM ，即可得解.【詳解】取BC 的中點D ，連接DA ，在BAC 120 ，ABC 中 ， AB AC 2 ， 且所以DA BC, AD 1 ， AB AC 2ADAM ( AB AC) 2 AD AM 2 AD AM cos MAD 2 AD AD 2 .故選：A【點睛】此題考查求向量的數(shù)量積，涉及平面向量的線性 運算，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義求解，可以簡化計算.若點 A(6,1)在函數(shù) f (x) cos(2x )(| | ) 的圖象上，為了2得到函數(shù) y=sin

9、（2x+ 3）（xR）的圖象，只需把曲線 f（x）上所有的點（）向左平行移動3個單位長度向右平行移動3個單位長度向右平行移動長度【答案】D【解析】【分析】 個單位長度 D.向左平行移動12 個單位12依次帶入三個點計算得到 3案.，再通過平移法則得到答【詳解】當 A 6,1 在函數(shù) f x的圖象上時，即f cos 1， 6 3即 2k, k Z ，即3 32k, k Z ，當k 0 時滿足條件，故 .3所以 f x cos 2x ，3又 y sin(2 x ) cos(2 x ) cos(2 x ) cos2( x ) ，3326123所以只需將 f (x) 的圖象向左平移12個單位長度得到

10、y=sin（2x+ ）（xR）的圖象3故選：D.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)過點求參數(shù)，三角函數(shù)平移， 意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，屬于中檔題目.11.已知a (2sin13 , 2sin 77 ),| a b | 1， a 與a b 的夾角為 ，則3a b （）【答案】B【解析】【分析】利用a 與a b 的夾角為a 2sin13 2 2sin 7723結(jié)合向量的夾角公式求解即可.【詳解】因為a 與a b 的夾角為 ，且3 2cos2 77 sin2 77 2 .a b 3 .a a b故cos ，即1 a2 a b 4 a b 1 ，解得3故選：Ba a b22【點睛】本題主要考查了平面向量的

11、數(shù)量積公式運用、模 長公式以及向量的夾角公式等.屬于基礎(chǔ)題.若關(guān)于x 的方程sin x cos x 2sin x cos x 1 a 0, x , 有44 兩個不同解，則實數(shù)a 的取值范圍為（）A.9(2,45B.2,25C.(2,)2D.2, 9 )4【答案】D【解析】【分析】換元設(shè)t sin x cos x ，將原函數(shù)變?yōu)閍 t t 2 2 (t 1 )2 9 ，24根據(jù)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】sin x cos x 2sin x cos x 1 a 0, x , a sin x cos x 2sin x cos x 1設(shè)44 t sin x cos x ，則2sin x cos x t

12、 2 1t sin x cos x 2 sin( x ), x , ，單調(diào)遞增，則t 0,219a t t 2 2 (t )2 244如圖：44 數(shù)a 的取值范圍為2, 9 )4故答案選 D【點睛】本題考查了換元法，參數(shù)分離，函數(shù)圖像，參數(shù) 分離和換元法可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.第卷（共 90 分）二、填空題（每小題 5 分，共 20 分）已知向量a (1,3), b (2,0) ，則| a 2 b |【答案】2 3 ；【解析】【分析】求得 的坐標，根據(jù)向量模的公式計算即可.a 2 b【詳解】,a (1, 3), b (2,0) ,a 2 b (1, 3) 2(2,0) 3,3 | a 2

13、b |9 3 23 . 故答案為： 2 3【點睛】本題考查利用坐標求向量的模，考查計算能力， 屬于基礎(chǔ)題.14.已知函數(shù) f (x) sin(x )( 0,0 ) 的部分圖象如圖所示，則 的值為.【答案】56【解析】【分析】根據(jù)圖像可得 f (0) sin 1 ,0 ，根據(jù) 0 所在位置，處2于函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即可得解.【詳解】由圖可得：f (0) sin 1 ,0 ， 5或 266由于 0 在函數(shù) f (x) 的單調(diào)減區(qū)間內(nèi)，所以 5 .6故答案為： 56【點睛】此題考查根據(jù)三角函數(shù)的圖象求參數(shù)的取值，常用代入法求解，判定初相的取值時，根據(jù)圖象結(jié)合單調(diào)性取值.已知sin( x) 3 ，則s

14、in2 ( x) sin( 5 x) 的值 6536【答案】 3125【解析】分析】設(shè) x ，將sin2 (63x) sin( 5 x) 轉(zhuǎn)化為 的函數(shù)，再利用6誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系求解.【詳解】設(shè)6 x ，則sin 3 ，5所以sin2 ( x) sin( 5 x) sin 2 () sin( ) cos2 sin36233 1 sin2 sin 1 ()2 () 31 故答案為： 31552525【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.在RtABC 中，C 90, AB 3 .以C 為圓心，2 為半徑作圓， 線段PQ 為該圓一條直徑，則 AP

15、BQ 的最小值為.【答案】-10【解析】【分析】AC向量變形為 AP BQ CP BCCQ ，化簡得CP BA 4 ，轉(zhuǎn)化為討論夾角問題求解.【詳解】 由題線段PQ 為該圓的一條直徑，設(shè)CP, BA 夾角為 ，AC可得： AP BQ CP BCCQ AC CP BC CP AC BC CP BC AC CP CP 2 CP BC AC CP2 CP BA 4 CP BA cos 4 6cos 4 ，當CP, BA 夾角為 時取得最小值-10. 故答案為：-10【點睛】此題考查求平面向量數(shù)量積的最小值，關(guān)鍵在于根據(jù)平面向量的運算法則進行變形，結(jié)合線性運算化簡求得， 此題也可建立直角坐標系，三角換

16、元設(shè)坐標利用函數(shù)關(guān)系求最值.三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知向量a (3,2), b (1,2), c (4,1) .（1）求3a b 2c ；（2）若(a kc )/(2 b a) ，求實數(shù) k.【答案】（1） 0,6 （2） k 1613【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標運算可得答案；由向量平行的坐標運算條件可得答案.【詳解】（1）3a b 2c 33,2 1,2 24,1 9,6 1,2 8,2 0,6 （2） a kc 3 4k,2 k ， 2b a 5,2 ， a kc / 2b a， 2 3 4k 52 k 0 ， 解之

17、得： k 16 13【點睛】本題考查向量的坐標運算以及向量平行的條件，屬于基礎(chǔ)題.疫情期間口罩需求量大增，某醫(yī)療器械公司開始生產(chǎn)KN95 口罩，并且對所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量按指標測試分數(shù)進行劃分，其中分數(shù)不小于 70 的為合格品，否則為不合格品，現(xiàn)隨機抽取 100 件口罩進行檢測，其結(jié)果如下：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計該公司生產(chǎn)口罩的不合格率；根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計該公司口罩的平均測試分數(shù)；若用分層抽樣的方式按是否合格從所生產(chǎn)口罩中抽取 5 件，再從這 5 件口罩中隨機抽取 2 件，求這 2 件口罩全是合格品的概率.【答案】（1） 1 ；（2） 77.8 ；（3） 3 .55【解析】【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定不合

18、格的口罩數(shù)，再利用頻數(shù)除 以總數(shù)估計不合格率；根據(jù)平均數(shù)計算公式直接求解；先根據(jù)分層抽樣確定抽取的 5 件口罩中不合格的 1 件，合格的 4 件，再利用枚舉法列出基本事件總數(shù)以及至少有一件不合格品包含的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式 以及對立事件概率公式求解.【詳解】解：（1）在抽取的 100 件產(chǎn)品中，不合格的口罩有：4+1620（件）所以口罩為不合格品的頻率為 20 1 ，1005根據(jù)頻率可估計該公司所生產(chǎn)口罩的不合格率為 1 .54 件.（2）平均測試分數(shù)為55 4 6516 75 42 85 24 9514 77.8 100（3）由題意所抽取的 5 件口罩中不合格的 1 件，合格

19、的設(shè) 4 件合格口罩記為 a，b，c，d，1 件不合格口罩記為 x. 若抽取的口罩中恰有 1 件不合格，則共有 ax，bx，cx，dx，4 種情況.而從 5 件口罩中抽取 2 件，共有ab，ac，ad，ax，bc，bd，bx，cd，cx，dx，10 種情況.所以 2 件口罩中至少有一件不合格品的概率為 4 2 .故 2 件口罩全是合格品的概率為1 2 3 .10555【點睛】本題考查平均數(shù)、頻率、古典概型概率、分層抽樣，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.已知 ， 為銳角， tan 求 cos2 的值；求 tan(-)的值.2【答案】（1） 1 ；（2）35【解析】【分析】2,cos( ) .33

20、（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為齊次式求值；先根據(jù)二倍角正切公式得tan2 ，再利用兩角差的正切公式得結(jié)果.2【詳解】解：（1）由tan ，得cos 2 cos2 sin2 1 tan2 1 2 1 ；cos2 sin2 1 tan2 1 23（2）由 ， 為銳角，得 +（0，），2（0，），3又cos ，3sin ， tan( ) sin( ) ，1 cos2 623cos( )由tan ，得tan 2 2 tan 2.2221 tan2則tan tan 2 tan tan 21 tan tan 2 5【點睛】應(yīng)用三角公式解決問題的三個變換角度變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的

21、角，其手 法通常是“配湊”.變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其 手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進行變形，使其更貼近某個 公式或某個期待的目標，其手法通常有：“常值代換”、“逆 用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平 方”等.綜上本題考查運算求解能力，是中檔題.20.已知函數(shù) f (x) a b, x , ，其中a (3,cos 2 x), b (sin(2 x ), 4)3122求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；求函數(shù) f（x）的最大值和最小值.【答案】（1） 12, ；（2）最大值-1；最小值23 【解析】【分析】先根據(jù)向量數(shù)量積

22、坐標表示化簡，再根據(jù)兩角和正弦公式展開，結(jié)合二倍角余弦公式以及輔助角公式化簡，最后 根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性求結(jié)果；,先根據(jù)x 確定0 2x5，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】（1）12266f x3sin 2x 4cos2x 3 sin2 xcos cos2 xsin 4 1 cos2x333 2336sin2 x 3 cos2x 2cos2x 2 sin2 x 1 cos2 x 2 sin 2x 2.22222k 2 2x 2k ,( k Z )kxk ,( kZ )x , ,6263122所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 , .（2） 12 x 2，可得0 2x123 566 0 sin

23、2x 1.6當x 3時，函數(shù)f x有最大值-1；當x 時，函數(shù) f x有最小值2 .12【點睛】本題考查向量數(shù)量積、兩角和正弦公式、二倍角余弦公式、輔助角公式以及正弦函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析求解 能力，屬基礎(chǔ)題.如圖，四邊形 OQRP為矩形，其中 P，Q 分別是函數(shù)f ( x) 3 sin x( 0) 圖象上的一個最高點和最低點，O 為坐標原點，R 為圖象與 x 軸的交點.求f（x）的解析式.【答案】 f (x) 3 sin x2【解析】【分析】借助函數(shù) f x的最小正周期得出P ，Q 的坐標，矩形OQRP 中OP OQ ，利用向量數(shù)量積運算可求出最小正周期，由 f x的最小正周期可得 的值，從

24、而求出 f（x）的解析式.【詳解】解：設(shè)函數(shù) f x的最小正周期為 T，則P(T ,4Q(3T , 3) ， 43) ，因為四邊形 OQRP為矩形，得OP OQ ，所以O(shè)P OQ 0 ，即 3 T 2 3 0 ，解得T16 4，所以 2 2 ，T42所以f (x) 3 sinx .2【點睛】本題考查利用三角函數(shù)函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析 式，主要考查三角函數(shù)的周期性，考查理解辨析能力和運算求解能力，是中檔題.紅外線治療儀的治療作用是在紅外線照射下，組織溫度升高，毛細血管擴張，血流加快，物質(zhì)代謝增強，組織細胞 活力及再生能力提高，對我們身體某些疾病的治療有著很大的貢獻，某藥店兼營某種紅外線治療儀，經(jīng)過近5 個月的營銷， 對銷售狀況進行相關(guān)數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)月銷售量與銷售價格有關(guān)，其統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：每臺紅外線治療儀的銷售價格： x / 元紅外線治療儀的月銷售量： y / 臺根據(jù)表中數(shù)據(jù)求 y 關(guān)于x 的線性回歸方程；每臺紅外線治療儀的價格為165 元時，預(yù)測紅外線治療儀的月銷售量；（四舍五入為整數(shù)）若該紅外線治療儀的成本為120 元/臺，藥店為使每月獲得最大的純收