小波分析的發(fā)展歷程

1、小波分析的發(fā)展歷程一、小波分析1910年，Haar提出了 L2（R）中第一個(gè)小波規(guī)范正交基，即Haar正交基。（1）操作過(guò)程：Haar正交基是以一個(gè)簡(jiǎn)單的二值函數(shù)作為母小波經(jīng)平移和伸縮而形成的。（2）優(yōu)點(diǎn)：Haar小波變換具有最優(yōu)的時(shí)（空）域分辨率。（3）缺點(diǎn)：Haar小波基是非連續(xù)函數(shù)，因而Haar小波變換的頻域分辨率非常差。1936年，Littlewood和Paley對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)建立了二進(jìn)制頻率分量分組理論，（即L-P理論：按 二進(jìn)制頻率成分分組，其傅立葉變換的相位并不影響函數(shù)的大小和形狀），這是多尺度分析思想的最早起 源。1952年1962年，Calderon等人將L-p理論推廣到高維，

2、建立了奇異積分算子理論。1965年，Calderon發(fā)現(xiàn)了著名的再生公式，給出了拋物型空間上H1的原子分解。1974年，Coifman實(shí)現(xiàn)了對(duì)一維空間和高維空間的原子分解。1976年，Peetre在用L-P理論對(duì)Besov空間進(jìn)行統(tǒng)一描述的同時(shí)，給出了 Besov空間的一組基。 1981年，Stromberg引入了 Sobolev空間Hp的正交基，對(duì)Haar正交基進(jìn)行了改造，證明了小波 函數(shù)的存在性。1981年，法國(guó)地球物理學(xué)家Morlet提出了小波的正式概念。1985年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Meyer提出了連續(xù)小波的容許性條件及其重構(gòu)公式。1986年，Meyer在證明不可能存在同時(shí)在時(shí)頻域都具有一定正

3、則性（即光滑性）的正交小波基時(shí)，意 外發(fā)現(xiàn)具有一定衰減性的光滑性函數(shù)以構(gòu)造L2（R）的規(guī)范正交基（即Meyer基），從而證明了正交小波 系的存在。1984年1988年，Meyer、Battle和Lemarie分別給出了具有快速衰減特性的小波基函數(shù)：Meyer小波、 Battle-Lemarie 樣條小波。1987年，Mallat將計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念， 統(tǒng)一了在此前的所有具體正交小波的構(gòu)造，給出了構(gòu)造正交小波基的一般方法，提出了快速小波變換（即 Mallat算法）。它標(biāo)志著第一代小波的開始？（1）操作過(guò)程：先濾波，再進(jìn)行抽二采樣。（2）優(yōu)點(diǎn)

4、：Mallat算法在小波分析中的地位相當(dāng)于FFT在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。它是小波分析從純理論走向?qū)嶋H應(yīng)用。（3）缺點(diǎn)：以傅立葉變換為基礎(chǔ)，直接在時(shí)（空）域中設(shè)計(jì)濾波器比較困難，并且計(jì)算量大。 1988年，Daubechies基于多項(xiàng)式方式構(gòu)造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。Chui和中國(guó)學(xué)者王建忠基于樣條函數(shù)構(gòu)造出單正交小波函數(shù)，并提出了具有最優(yōu)局部化性能的尺度 函數(shù)和小波函數(shù)的一般性構(gòu)造方法。1988年，Daubechies在美國(guó)NSF/CBMS主辦的小波專題研討會(huì)上進(jìn)行 了 10次演講，引起了廣大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、工程師以及企業(yè)家的重視，將小波理論發(fā)展與實(shí)際應(yīng)

5、用推向 了一個(gè)高潮。1992年，Daubechies對(duì)這些演講內(nèi)容進(jìn)行了總結(jié)和擴(kuò)展形成了小波領(lǐng)域的經(jīng)典著作一一小波十講Ten Lectures on Wavelet。1992年3月，國(guó)際權(quán)威雜志IEEE Transactions on Information Theory專門出版了“小波分析及其 應(yīng)用”?？娼榻B了此前的小波分析理論和應(yīng)用及其在不同學(xué)科領(lǐng)域的發(fā)展，從此小波分析開始進(jìn)入 了全面應(yīng)用階段。1992年，Kovacevic和Vetterli提出了雙正交小波的概念。1992年，Cohen、Daubechies和Feauveau構(gòu)造出具有對(duì)稱性、緊支撐、消失矩、正則性等性質(zhì)的雙正交小

6、波。（1）操作過(guò)程：利用兩組互為對(duì)偶的尺度函數(shù)和小波函數(shù)實(shí)現(xiàn)函數(shù)的分解與重構(gòu)。（2）優(yōu)點(diǎn)：具有正交小波無(wú)法同時(shí)滿足的對(duì)稱性、緊支撐、消失矩、正則性等性質(zhì)。1992 年，Coifman 和 Wickerhauser 提出了小波包（Wavelet Packet, WP）分析。（1）操作過(guò)程：不僅對(duì)低通子帶進(jìn)行分解，而且也對(duì)高通分量分解，從而聚焦到感興趣的任意頻段。（2）優(yōu)點(diǎn)：突破了小波分析對(duì)信號(hào)頻帶進(jìn)行等Q劃分的局限性。（3）缺點(diǎn)：最優(yōu)基的搜索問(wèn)題1992年，Zou等提出了多帶小波（M-band Wavelet）理論，將人們對(duì)小波變換的研究從“二帶”推廣到“多 帶”情況?；凇岸А毙〔ㄗ儞Q的多分

7、辨率分析中，尺度函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)低通濾波器，而小波函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)高通濾波 器?！岸А毙〔ㄗ儞Q把信號(hào)分解成不同的通道，而這些通道的帶寬相對(duì)于尺度函數(shù)的對(duì)數(shù)是相同的，因 此高頻通道具有較寬的帶寬，而低頻通道具有較窄的帶寬。1993年，Goodman等基于r階多尺度函數(shù)及多分辨率分析建立了多小波（Multi-Wavelet）理論框架。（1）操作過(guò)程：將單小波中由多個(gè)尺度函數(shù)生成的多分辨率空間擴(kuò)展為由多個(gè)尺度函數(shù)生成，以此獲得更大的自由度。（2）優(yōu)點(diǎn)：1994年，Geronimo等提出了多小波變換（Multi-Wavelet Transform， MWT），將單尺度小波變換推 廣到多尺度小波變換。（1）操

8、作過(guò)程：小波函數(shù)的構(gòu)造是由多個(gè)尺度函數(shù)完成的。（2）優(yōu)點(diǎn)：與二帶小波、小波包、多帶小波等單尺度小波相比，多小波在非常窄的緊支范圍內(nèi)同時(shí) 具有光滑性、正交性、對(duì)稱性、利普希茨Lipschitz連續(xù)性（消失矩）等特性。一一發(fā)展中1991年，Alpert用多項(xiàng)式構(gòu)造了第一個(gè)多小波。Geronimo等利用分形插值函數(shù)構(gòu)造了正交、對(duì)稱、緊支撐、逼近階位2的GHM多小波。1995年，Sweldens等提出了一種新的小波構(gòu)造算法提升方案（Lifting Scheme）。它標(biāo)志著第二代小波的開始。（1）操作過(guò)程：先將原始離散樣本信號(hào)進(jìn)行奇偶剖分，然后對(duì)奇偶樣本點(diǎn)進(jìn)行濾波處理。（2）優(yōu)點(diǎn)：所有的第一代小波都可以

9、用提升方案構(gòu)造出來(lái)。具有運(yùn)算速度快、對(duì)內(nèi)存需求量小、能實(shí)現(xiàn)整-整變換等特點(diǎn)。（3）缺點(diǎn)：對(duì)于邊緣、輪廓和紋理等具有高維奇異性的幾何特征，小波不是表示圖像的最優(yōu)基。小波變換的局限性：1）二維小波變換只有2.5個(gè)方向選擇性。小波是表示具有點(diǎn)奇異性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)基（能有效表示信號(hào)的零維奇異特征，反映奇異點(diǎn)的 位置和特性），但是難以表示更高維的幾何特征。2）二維小波變換的基函數(shù)都是各向同性的。二、超小波分析（X-let，或多尺度幾何分析）1、自適應(yīng)多尺度幾何分圖像變換的基函數(shù)隨圖像內(nèi)容變化而變化1997年，Meyer和Coifman提出了 Brushlet變換，即一種自適應(yīng)頻帶分割方法。c1）操作過(guò)程

10、：（2）優(yōu)點(diǎn)：非常適合描述周期紋理圖像。（3）缺點(diǎn)：對(duì)于分片光滑圖像的邊緣不能提供稀疏表示。1999年，美國(guó)學(xué)者Donoho提出了楔波（Wedgelet）變換。c1）操作過(guò)程：Wedgelet是定義在正方形區(qū)域上的分片二值函數(shù)，該區(qū)域被一條直線分成兩個(gè) 楔塊，直線的方向可以根據(jù)邊緣的方向調(diào)節(jié)，用一系列不同尺寸不同方向的Wedgelet可 以逼近圖像的邊緣輪廓。c2）優(yōu)點(diǎn)：使用多尺度Wedgelet對(duì)圖像輪廓進(jìn)行分段線性近似，能較好地捕捉圖像中的“線” 和“面”的特征。（3）缺點(diǎn)：沒(méi)有基于臨界采樣的濾波器組（臨界采樣對(duì)于壓縮是很方便的）。1999年，美國(guó)斯坦福大學(xué)的David L. Donoho

11、教授提出了小線（Beamlets）變換。（1）操作過(guò)程：以各種方向、尺度和位置信息的小線段為基本單元建立小線庫(kù)，沿小線庫(kù)中的小線段對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行線積分產(chǎn)生小線變換系數(shù)，以小線金字塔方式組織變換系數(shù)，再以小線 圖結(jié)構(gòu)為驅(qū)動(dòng)從小線金字塔中提取小線變換系數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)多尺度分析。（2）優(yōu)點(diǎn)：對(duì)于處理強(qiáng)噪背景的圖像有無(wú)可比擬的優(yōu)勢(shì)。（3）缺點(diǎn)：小線庫(kù)（字典）、小線金字塔掃描等小線變換的前期準(zhǔn)備工作過(guò)于龐大，需要簡(jiǎn)化以利于研究。2000年，法國(guó)學(xué)者Pennec和Mallat提出了第一代Bandelet變換。（】）操作過(guò)程：根據(jù)圖像內(nèi)容將圖像分割成大小不一的矩形塊，變化劇烈的區(qū)域用多一些的小矩形 塊分割，而

12、變化緩慢的區(qū)域用少一些的大矩形塊分割。對(duì)每一個(gè)矩形塊應(yīng)用和邊緣同向的幾 何流對(duì)其進(jìn)行描述。把分割方式和幾何流模型作為參數(shù)，去優(yōu)化一個(gè)給定的目標(biāo)函數(shù)，從而 得到該圖像的最優(yōu)表示。（2）優(yōu)點(diǎn)：能夠自適應(yīng)地跟蹤圖像的幾何正則方向，適合圖像壓縮應(yīng)用。能夠?qū)D像的不同變化區(qū)域給以不同的處理，并拋棄“邊緣”這一不易于從數(shù)學(xué)上界定的概念，轉(zhuǎn)而采用“幾何 流”這樣一個(gè)反映圖像連續(xù)區(qū)域變化的概念。（3）缺點(diǎn)：沒(méi)有基于臨界采樣的濾波器組。2001 年，Cohen 和 Matei 提出了邊緣自適應(yīng)多尺度變換（ Edge-Adapted Multiscale Transform）。（1）操作過(guò)程：基于邊緣方向檢測(cè)的非

13、線性多尺度變換。（2）優(yōu)點(diǎn)：用于圖像壓縮，重構(gòu)圖像邊緣處的視覺效果明顯優(yōu)于小波變換。2003年，Wakin等提出了 WedgepNnt的圖像稀疏表示方法。（1）操作過(guò)程：利用Wedgelet字典（WedgeEt Dictionary）來(lái)描述圖像邊緣產(chǎn)生的小 波系數(shù)。（2）優(yōu)點(diǎn)：能夠得到比小波和Wedgelet更為稀疏的圖像表示方法。2005 年，Peyre 和 Mallat 提出了第二代Bandelet 變換。（】）操作過(guò)程：普通的二維小波變換+幾何正交投影。（2）優(yōu)點(diǎn)：不需要計(jì)算幾何流，算法更加簡(jiǎn)潔快速。2005年，Velisavljevic等基于整數(shù)格點(diǎn)理論提出了一種可分離多方向多尺度圖像

14、表示方法Directionlets。（1）操作過(guò)程：利用拉格朗日優(yōu)化算法對(duì)圖像進(jìn)行最優(yōu)分塊操作，每塊圖像采用不同方向的Directionlets 來(lái)表示。（2）優(yōu)點(diǎn)：各向異性基函數(shù)Directionlets在沿著任何兩個(gè)有著合理斜率的方向上都有方向消失矩（DVM）。2、非自適應(yīng)多尺度幾何分析一一指圖像變換的基函數(shù)與圖像內(nèi)容無(wú)關(guān)1998年，Candes和Donoho提出了連續(xù)脊波（Ridgelet）變換。（1）操作過(guò)程：利用Radon變換將一維奇異特征（線奇異）映射為零維奇異特征（點(diǎn)奇異），然后再進(jìn)行小波變換。（2）優(yōu)點(diǎn)：Ridgelet變換是表示具有線奇異性的多變量函數(shù)的最優(yōu)基。（3）缺點(diǎn)：對(duì)

15、于圖像曲線邊緣的描述，其逼近性能只相當(dāng)于小波變換。1998年，Donoho提出了正交Ridgelet變換的構(gòu)造方法。1999年，Candes提出的單尺度Ridgelet變換實(shí)現(xiàn)了含曲線奇異的多變量函數(shù)的構(gòu)造方法。2000年，Do和Vetterli提出了一種離散Ridgelet變換。1999年，Candes和Donoho在Ridgelet變換的基礎(chǔ)上提出了連續(xù)曲波（Curvelet）變換 第一代 Curvelet 變換中的 Curvelet99。操作過(guò)程：子帶濾波+多尺度局部Ridgelet變換。2002 年，Strack、Candes 和 Donoho 提出了第一代 Curvelet 變換中的

16、 Curvelet02。 操作過(guò)程：頻域子帶濾波+離散局部Ridgelet變換(由算法簡(jiǎn)單的偽極坐標(biāo) (Pseudo-polar)FFT 變換實(shí)現(xiàn))。第一代Curvelet變換的共同點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：對(duì)于具有光滑奇異性曲線的目標(biāo)函數(shù)提供了近乎最優(yōu)的表示。Curvelet能夠達(dá)到的msE衰減率為0(N-2(logN)1/2)。缺點(diǎn)：在實(shí)現(xiàn)時(shí)首先用子帶分解算法對(duì)原始圖像進(jìn)行分解，完成對(duì)圖像子帶濾波的功能；然后對(duì)不同的子帶圖像進(jìn)行分塊，再對(duì)每個(gè)分塊進(jìn)Ridgelet變換。為了避免分塊效應(yīng)，塊與 塊之間必須有重疊，因此其實(shí)現(xiàn)算法的冗余度較高。并且，沒(méi)有基于臨界采樣的濾波器組。2002年，Candes等人提出了

17、第二代Curvelet變換。C1)操作過(guò)程：無(wú)需分塊操作和Ridgelet變換。(2)優(yōu)點(diǎn)：實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、便于理解、算法快速。(3)缺點(diǎn)：沒(méi)有基于臨界采樣的濾波器組。2005年，Candes提出了兩種基于第二代Curvelet變換理論的快速離散實(shí)現(xiàn)方法：】)非均 勻空間抽樣的二維 FFT 算法(Unequally-Spaced Fast Fourier Transform，USFFT)； 2) Wrap 算法(Wrapping-Based Transform)2002 年，Do 和 Vetterli 提出了 Contourlet 變換。操作過(guò)程：多尺度分解+方向?yàn)V波器(Directional Fi

18、lter Banks，DFB，也即2D-DFB)。首先采用拉普拉斯金字塔(LapZZan PyraMd， LP)式結(jié)構(gòu)對(duì)圖像進(jìn)行多尺度分解以捕獲奇異點(diǎn)，再由DFB將各尺度的細(xì) 節(jié)子帶進(jìn)行多方向分解，從而將分布在同一尺度同一方向的奇異點(diǎn)合并成一 個(gè)系數(shù)。為滿足各向異性尺度關(guān)系，各尺度的方向子帶的數(shù)量應(yīng)取不同值， 每隔一個(gè)尺度，方向數(shù)加倍。優(yōu)點(diǎn)：它能用不同尺度、不同頻率的自帶更準(zhǔn)確地捕獲圖像中的分段二次連續(xù)曲線，從而使表示圖像邊緣的Contourlet系數(shù)能量更加集中。Contourlet能夠達(dá)到的MSE衰減率為O(N-2(logN) 3)。缺點(diǎn)：沒(méi)有基于臨界采樣的濾波器組。2007年,Yue Lu和M.N. Do提出了多維方向?yàn)V波器組(N-dimensional Directional Filter Banks， NDFB)的 Surfacelet 變換。操作過(guò)程：多尺度分解(采用新的塔式結(jié)構(gòu))+