兩個總體均值差的區(qū)間估計課件

1、第七章 參數(shù)估計第一節(jié) 參數(shù)的點估計 一、點估計問題 設(shè)總體 X 的分布函數(shù)的形式為已知的F ( x, ) ，其中 x 是自變量,為未知參數(shù)（它可以是一個數(shù)，也可以是一個向量）借助于總體 X 的一個樣本（X 1, X 2, , X n ），來估計未知參數(shù)的值的問題，稱為參數(shù)的點估計問題 點估計的問題就是要構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量 ( X1, X2, ,Xn )，用樣 本的一組觀察值（ x1, x2, ,xn ），得到 的觀察值 （ x1, x2, ,xn ), 以此來估計未知參數(shù) 稱統(tǒng)計量 （ X 1, X 2, , X n ）為的估計量，稱（ x1, x2, ,xn ）為的估計值第1頁，共57頁

2、。二、矩估計法 的函數(shù)，記作l=l( ) 即 ，l=1,2,，k 設(shè)總體 X 的分布函數(shù)為 , 其中 為 k 個未知參數(shù). 假設(shè)總體 X 的各階原點矩 存在, 則E (X l )是 對于總體 X 的樣本（ X1, X2, ,Xn ），樣本的 l 階原點矩為 ，l = 1, 2, ，k 令l = Al , l=1,2,，k，第2頁，共57頁。即 從上述方程組中解出 ，分別記作以此作為未知參數(shù) 的估計量，稱為矩估計量第3頁，共57頁。 如果樣本觀察值為（ x1, x2, ,xn ），則得未知參數(shù) 的矩估計值為上述估計未知參數(shù)的方法就叫做矩估計法 例1 設(shè)總體 X 服從參數(shù)為 的泊松分布，其中 0

3、為未知，又設(shè)X1, X2, ,Xn為 X 的樣本，求 的矩估計量 解 令 ，即 得 的矩估計量為 第4頁，共57頁。 例2 設(shè)總體 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，其概率密度為其中 為未知，又設(shè) 為 X 的樣本，求 的矩估計量 解 由于 ，即因此得到 的矩估計量為 第5頁，共57頁。 例3 設(shè)總體 X 在區(qū)間 a, b 上服從均勻分布，a 與 b 為未知，X1 ，X2 ， ，Xn是來自總體 X 的樣本，求 a 與 b 的矩估計量 解 令即整理得第6頁，共57頁。于是得到 a、b 的矩估計量為第7頁，共57頁。解此方程組得到 與 的矩估計量為令即解 例4 設(shè)總體 X 的均值為 ，方差為 ，且 ，但

4、與 均未知，又設(shè)總體 X 的一個樣本為（X1, X2 , , Xn），求 與 的矩估計量第8頁，共57頁。 解 由例4可得 例5 某廠生產(chǎn)一批鉚釘，現(xiàn)要檢驗鉚釘頭部直徑，從這批產(chǎn)品中隨機抽取12只，測得頭部直徑（單位：mm）如下： 13.3013.3813.4013.4313.3213.48 13.5413.3113.3413.4713.4413.50設(shè)鉚釘頭部直徑這一總體 X 服從正態(tài)分布 ，試求 與 的矩估計值 注 此例說明，無論總體 X 服從什么分布，樣本均值 都是總體均值 的矩估計量，樣本二階中心矩就是總體方差 的矩估計量第9頁，共57頁。三、極大似然估計法 1設(shè)總體X為離散型隨機變量

5、，其分布律為其中為未知參數(shù)，取值范圍為 設(shè) X1, X2, , Xn為來自 X 的樣本，則 X1, X2, ,Xn 的聯(lián)合分布律為 又設(shè) x1, x2, , xn 為一組樣本值，令 稱 L()為樣本的似然函數(shù)（1） 若有 ，使得對一切 ，有成立，則稱 為的極大( 或最大 )似然估計值，相應(yīng)的統(tǒng)計量 稱為的極大( 或最大 )似然估計量第10頁，共57頁。 我們規(guī)定，使得 的 就是的極大似然估計值由于ln x是單增函數(shù)，所以 與 有相同的駐點，因此只需從 中解出 就是的極大似然估計值，稱方程（2）（2）為極大似然方程第11頁，共57頁。 例6 設(shè)總體 ，X1, X2 , , Xn 為總體 X 的樣

6、本，求 的極大似然估計量 解 設(shè)樣本值為x1, x2 , , xn. 由于 X 的分布律為 x = 0, 1, 2,所以似然函數(shù)為令得 的極大似然估計值為因此得到 的極大似然估計量為第12頁，共57頁。 例7 設(shè)一批產(chǎn)品中含有次品，次品率 p 未知，從中抽取容量為 n 的樣本，求 p 的極大似然估計量. 解 從總體中任取一件產(chǎn)品進(jìn)行觀測，其結(jié)果可用隨機變量 X 表示如下：則 X 服從參數(shù)為 p 的（0-1）分布，其分布律為 設(shè) X1, X2 , , Xn為 X 的一個樣本，觀察值為 x1, x2 , , xn，則似然函數(shù)為第13頁，共57頁。令解得 p 的極大似然估計值為因此 p 的極大似然估

7、計量為 2設(shè)總體 X 為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 ， ,為未知參數(shù)設(shè) X1, X2 , , Xn 為來自總體 X 的樣本，其觀察值為 x1, x2 , , xn 則似然函數(shù)為 （3） 似然方程為 （4） 解出的極大似然估計值為 ( x1, x2 , , xn) . 極大似然估計量為 ( X1, X2 , , Xn) 第14頁，共57頁。 例8 設(shè)總體 X 的概率密度為其中 為未知參數(shù)，（ X1, X2 , , Xn ）為樣本，求 的極大似然估計量 解 設(shè)樣本值為（ x1, x2 , , xn ）(xi0, i = 1, 2 , , n)，似然函數(shù)為第15頁，共57頁。令得 的極大似然估計值

8、為于是得到 的極大似然估計量為第16頁，共57頁。 例9 設(shè)總體 X 的概率密度為又設(shè) X1, X2 , , Xn 為 X 的樣本，求的矩估計量與極大似然估計量 解 （1）由于令即解得的矩估計量為第17頁，共57頁。 （2）設(shè)樣本值為 x1, x2 , , xn (0 xi 1)，似然函數(shù)為令解得的極大似然估計值為因此, 的極大似然估計量為第18頁，共57頁。 3設(shè)總體 X 的分布中含有 k 個參數(shù)1, 2 , k , 則似然函數(shù)是這些未知參數(shù)的函數(shù)取對數(shù)后，求出lnL 關(guān)于i 的偏導(dǎo)數(shù)并令它等于零，得到似然方程組由此方程組解得i 的極大似然估計值 第19頁，共57頁。 例10 設(shè)總體 ， 與

9、 未知,（ X1, X2 , , Xn )為總體 X 的樣本，求 與的極大似然估計量 解 X 的概率密度為設(shè) x1, x2, xn 為樣本值，似然函數(shù)為第20頁，共57頁。令解得 與 的極大似然估計值為因此， 與 的極大似然估計量為第21頁，共57頁。 例11 設(shè)總體 X 在區(qū)間 a, b 上服從均勻分布，其中a、b未知，X1, X2, , Xn為總體 X 的樣本，求a、b的極大似然估計量 解 X 的概率密度為 設(shè)樣本值為 x1, x2 , , xn （ ），似然函數(shù)為 因為L(a, b)是 a 的單增函數(shù)，a 越大， L(a, b)就越大，但 a 不能大于 x(1) = minx1, x2

10、, , xn ；又因為L(a, b)是 b 的單減函數(shù)，b 越小，L(a, b)就越大，但b 不能小于 x(n) = maxx1, x2 , , xn 對于滿足a x(1) , b x(n) 的任意 a, b 有第22頁，共57頁。當(dāng) a = x(1) ，b = x(n)時, L(a, b) 取得最大值所以 a, b 的極大似然估計值為a, b 的極大似然估計量為, 4極大似然估計的性質(zhì) 設(shè) u ( ) 是關(guān)于未知參數(shù)的函數(shù)， ， u ( )具有單值反函數(shù)，又設(shè) 是總體分布中所含參數(shù)的極大似然估計，則 是 u 的極大似然估計第23頁，共57頁。四、估計量的評選標(biāo)準(zhǔn) 1無偏性 估計量是樣本的函數(shù)

11、，它是一個隨機變量，由不同的方法得到的估計量可能相同也可能不同而對同一估計量，由不同的樣本觀察值得到參數(shù)的估計值也可能不同我們很自然地要求估計量的期望等于參數(shù)的真值，即無偏性 定義 設(shè) 是未知參數(shù)的估計量，若 ，則稱 為的無偏估計（量） 例12 設(shè) （ X1, X2, , Xn ）是來自具有有限均值 與方差 的總體 X 的一個樣本證明：樣本均值 是 的無偏估計，樣本方差 S 2是 的無偏估計第24頁，共57頁。 證 因此， 與 分別為 與 的無偏估計第25頁，共57頁。 例13 設(shè)總體 X 的均值為 ,（ X1, X2, X3 ）是總體 X 的樣本，證明下列兩個估計量都是 的無偏估計 設(shè) 與

12、是參數(shù)的兩個無偏估計量，若 ，則稱 比 有效.2有效性 證 由于 所以 與 都是 的無編估計（只需 k1+ k2 + + kn =1，則 = k1 X1 + k2 X2 + + kn Xn 就是 的無偏估計）第26頁，共57頁。 例14 比較例13中 與 哪個更有效 解 設(shè) 由于顯見 ，因此 比 有效 另外，取 ，則于是可知 比 更有效第27頁，共57頁。 設(shè) 為參數(shù)的估計量，若當(dāng) 時， 按概率收斂于 ，即對于任意正數(shù)，有 ，則稱 為的一致估計（量） 3一致性 根據(jù)大數(shù)定律可知，樣本均值 是總體均值 的一致估計量第28頁，共57頁。第二節(jié) 參數(shù)的區(qū)間估計 點估計是通過構(gòu)造統(tǒng)計量 (X1, X2

13、, , Xn)來對總體 X 中的未知參數(shù)進(jìn)行估計，由一個樣本值（ x1, x2, , xn ）可得到的估計值 （ x1, x2, , xn ） 這種估計值是無法知道誤差的我們要定出一個范圍，并要求以一定的概率保證這個范圍包含著的真值這個范圍通常以區(qū)間的形式給出，我們把這個區(qū)間稱為置信區(qū)間 定義 設(shè)總體 X 的分布中含有一個未知參數(shù) ，(X1, X2, , Xn ）是來自總體 X 的一個樣本如果對于給定的常數(shù) ，統(tǒng)計量 1= 1 (X1, X2, , Xn ）與2= 2(X1, X2, , Xn ）滿足 （1）則稱隨機區(qū)間(1 ,2 )是的置信度為 的置信區(qū)間，分別稱1與2為的置信下限與置信上限

14、第29頁，共57頁。 例1 設(shè)總體 ， 為已知， 未知,（ X1, X2, ,Xn ）為來自總體 X 的一個樣本，求 的置信度為 的置信區(qū)間 解 由于 是 的無偏估計，且有由正態(tài)分布表可查得 ，使 1 稱為置信度或置信水平（1）式的含義是，隨機區(qū)間(1 ,2 )以 的概率包含著 ， 也就是說，對每一個樣本值 （ x1, x2, , xn ）可求得一個具體的區(qū)間(1(x1, x2, , xn ),2 (x1, x2, , xn )在這些眾多的區(qū)間中，包含的有100 ( ) %個，不包含的有100 %個第30頁，共57頁。即有取 ，于是得到 的置信度為 的置信區(qū)間為第31頁，共57頁。 求未知參數(shù)

15、的置信區(qū)間的一般方法： 1對于給定的樣本X1, X2, , Xn，構(gòu)造樣本函數(shù) ，它包含待估參數(shù) ，而不含其它未知參數(shù)，并且 Z 的分布已知，在 Z 的分布中不依賴任何未知參數(shù) 2對于給定的置信度 ，定出兩個常數(shù) a，b（一般地，按 Z 所服從的分布的上 分位點來確定），使 3從 a Z (X1, X2, , Xn ) b 得到等價的不等式1(X1, X2, , Xn ) 2(X1, X2, , Xn ) ，其中1 =1(X1, X2, , Xn )與2 =2(X1, X2, , Xn )都是統(tǒng)計量，于是得到的一個置信度為 的置信區(qū)間（ 1 ,2 ）第32頁，共57頁。第三節(jié) 正態(tài)總體均值與方

16、差的置信區(qū)間 一、單個正態(tài)總體均值的置信區(qū)間 設(shè)(X1, X2, , Xn)是來自正態(tài)總體 的樣本 1設(shè) 已知，求 的置信度為 的置信區(qū)間 2設(shè) 未知，求 的置信度為 的置信區(qū)間第33頁，共57頁。 由于 S 2 是 的無偏估計，因此用S 2 代替 ，有由附表3查得 ，有即于是得到 的 置信區(qū)間為,圖第34頁，共57頁。 例1 某車間生產(chǎn)的螺桿直徑服從正態(tài)分布 , 今隨機地從中抽取5只測得直徑值為22.3，21.5，22.0，21.8，21.4 （1）已知 ，求 的0.95置信區(qū)間； （2）如果 未知，求 的0.95置信區(qū)間 解 （1）已知 、 ，查表得 ，因此 的0.95置信區(qū)間為第35頁，

17、共57頁。 （2） 未知， , s = 0.367查表得 =2.7764，因此 的0.95置信區(qū)間為第36頁，共57頁。二、單個正態(tài)總體方差的置信區(qū)間 1設(shè) 已知, 求 的置信度為 的置信區(qū)間 由于 對于給定置信度 ，查表可得 及 ，使即因此， 的 置信區(qū)間為第37頁，共57頁。 2設(shè) 未知, 求 的置信度為 的置信區(qū)間 由于 對于給定置信度 , 查表可得 及 , 使得即因此，方差 的置信度為 的置信區(qū)間為第38頁，共57頁。而標(biāo)準(zhǔn)差 的 的置信區(qū)間為 例2 從正態(tài)總體 中抽取容量為5的樣本，其觀測值為 1.86 3.22 1.46 4.01 2.64 （1）已知 ，求 的0.95置信區(qū)間；

18、（2）如果 未知，求 的0.95置信區(qū)間 =12.833由已知數(shù)據(jù)算得 ，因此 的0.95置信區(qū)間為 解 （1）已知 ，查表得 ，第39頁，共57頁。 =11.143，由已知數(shù)據(jù)算得 ，因此 的0.95置信區(qū) 間 為 （2） 未知, 查表得 ，第40頁，共57頁。 三、兩個正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間 設(shè)總體 ，總體 ，X與 Y 獨立,（ X1, X2, , Xm ）與（ Y1, Y2, , Yn ）分別來自 X 與 Y 的相互獨立的樣本，并設(shè)它們的樣本均值分別為 ， ，樣本方差分別為 ， 1設(shè) 和 都已知，求 的置信度為 的置信區(qū)間 由于 與 相互獨立，且 ， ，于是可知 , 從而第41頁，共5

19、7頁。對于給定的置信度 ，查表得 ，使 ，即從而得到 的置信度為 的置信區(qū)間為第42頁，共57頁。 2設(shè) 為未知, 求 的置信度為 的置信區(qū)間其中 例3 設(shè)總體 X N（ ，4），總體YN（ ，6），分別獨立地從這兩個總體中抽取樣本，樣本容量依次為16和24，樣本均值依次為16.9和15.3，求兩個總體均值差 的置信度為0.95的置信區(qū)間 解 由題設(shè)可知 m=16，n =24， =16.9， =15.3， = 4， = 6， = 0.95， =0.05，查附表1得 1.96從而可得 的置信度為 0.95 的置信區(qū)間為第43頁，共57頁。 例4 為了估計磷肥對某種農(nóng)作物增產(chǎn)的作用，選20塊條件大

20、致相同的地塊進(jìn)行對比試驗其中10塊地施磷肥，另外10塊地不施磷肥，得到單位面積的產(chǎn)量（單位：kg）如下： 施 磷 肥：620 570 650 600 630 580 570 600 600 580 不施磷肥：560 590 560 570 580 570 600 550 570 550設(shè)施磷肥的地塊單位面積產(chǎn)量 X N ( ， )，不施磷肥的地塊單位面積產(chǎn)量 Y N( ， ）求 的置信度為0.95的置信區(qū)間 解 由題設(shè)，兩個正態(tài)總體的方差相等，但 未知, m=10，n=10， =0.05， =0.95， =600， = 570， ， ， ,查表得 , 因此 , 的置信度為0.95的置信區(qū)間為第

21、44頁，共57頁。 四、兩個正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間 1設(shè) 均已知，求 的置信水平為 的置信區(qū)間 由于 與 相互獨立，且 從而可知.第45頁，共57頁。 對于給定的置信度 , 查表得 及 ，使 即 因此， 的置信度為 的置信區(qū)間為,.第46頁，共57頁。 2設(shè) 與 都未知，求 的置信水平為 的置信區(qū)間 例5 設(shè)總體 X N（24， ), 總體Y N (20， ) .從總體 X 和 Y 中獨立地抽得樣本值如下： 總體 X：23，22，26，24，22，25； 總體 Y：22，18，19，23，17求 的置信度為0.95的置信區(qū)間 解 已知 =24, m = 6； = 20，n = 5由已知數(shù)據(jù)可

22、算得 ， 因 =0.95，故 = 0.05查附表5，可得 F0.025(6, 5) = 6.98， F0.025(5, 6) = 5.99 從而可得 的置信度為0.95的置信區(qū)間為第47頁，共57頁。 例6 從參數(shù) 都未知的兩正態(tài)總體 中分別獨立地抽取樣本，它們的樣本容量分別為 m = 10，n = 8，樣本方差分別為 s12 = 3.6，s22 = 2.8，求二總體方差比 的置信度為0.95的置信區(qū)間 解 這里 = 0.95, = 0.05，查 F 分布表得： ， 的置信度為0.95的置信區(qū)間為第48頁，共57頁。第四節(jié) 非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計 一、總體均值的區(qū)間估計 設(shè) X為非正態(tài)總體，

23、其均值E ( X )與方差D ( X )均存在但未知(X1，X2，Xn )為來自總體 X 的一個樣本，樣本容量 n 很大( n 50 )我們要求 E ( X )的置信度為 的近似置信區(qū)間 由中心極限定理可知隨機變量當(dāng) n 很大時近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N (0, 1) 由于樣本方差 S 2 是D ( X )的無偏估計，利用 S 2 代替D( X )，有近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)第49頁，共57頁。 對于給定的置信度 ，有 ，從而得到E ( X )的置信度為 的近似置信區(qū)間為 第50頁，共57頁。 例1 設(shè)從一大批產(chǎn)品中抽取的100個樣品中，有60個一級品，求這批產(chǎn)品的一級品率的置信度為0.95的近似置信區(qū)間 解 記一級品率為 p ，設(shè)隨機變量則 X 服從參數(shù)為 p 的(01)分布，p = E( X )n =100， , , , 查表得 , 因此，p = E ( X )的置信度為0.95的近似置信區(qū)間為.第51頁，共57頁。 二、兩個總體均值差的區(qū)間估計 設(shè)總體 X 與Y 的分布任意,它們的均值與方差均存在但未知記 , 下面來求兩個總體均值差 的置信度為 的近似置信區(qū)間. 從總體 X 及總體 Y 中分別獨立地抽取樣本 (X1，X