03剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1、第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體：形狀和大小不變的物體（理想模型）31 剛體的平動和轉(zhuǎn)動一、平動：剛體上任意兩點(diǎn)間的聯(lián)線在整個運(yùn)動過程中，保持原方向不變。通常以質(zhì)心 (剛體的質(zhì)量分布中心)的運(yùn)動來代表整個剛體的運(yùn)動。二、轉(zhuǎn)動：剛體上各質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動。 如果轉(zhuǎn)軸固定不動，就稱定軸轉(zhuǎn)動。通常剛體的運(yùn)動可分解成.平動和轉(zhuǎn)動的演示三、質(zhì)心、 質(zhì)心運(yùn)動定律1、質(zhì)心：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心質(zhì)點(diǎn)系N個質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量：m1m2m3 mi mNv r vrv v r v r:123iNr質(zhì)心的：(m為總質(zhì)量)質(zhì)心的隨坐標(biāo)系的選取而變化，但對一個質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)心的相對位置是固定的。mrmrv iiiiiic mmii分量式為：

2、質(zhì)量連續(xù)分布時：對稱物體的對稱中心就是物體的質(zhì)心。x xdmy ydmz zdmcmcmcm mi xi mi yi mi zixc iyc izc immm例：一段均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓形，求此半圓形鐵絲的質(zhì)心。解：選如圖坐標(biāo)系，取長為dl的鐵絲，質(zhì)量為dm，以表示線密度，dm=dl.分析得質(zhì)心應(yīng)在y軸上。注意：質(zhì)心不在鐵絲上。2Q m R y c R y ydly R sin dl Rd cmy1R sin Rd 1 2 R 2cm 0m2、質(zhì)心運(yùn)動定律 d rc dt 1md ri dt 1miivmm vciii mvc mi vi PP mvci質(zhì)點(diǎn)系的總動量等于它的總質(zhì)量與它的

3、質(zhì)心的運(yùn)動速度的乘積。系統(tǒng)的總質(zhì)量和質(zhì)心加速度的乘積等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力的矢量和。Fv dp m dv c m av合外dtdtcFv m av合外c質(zhì)心運(yùn)動定律： mi r i rr i cm 32剛體的定軸轉(zhuǎn)動一、介紹幾個物理量rad 角位置角位移角速度(一般定逆時針為正)l i m drad .s 1 td t t 0 d d 2 limrad . s-2角加速度t2dtt 0dtR二、線量與角量的關(guān)系a dv R dtv 22an R Rv R3-33-83-7幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量：L12J mL3細(xì)棒mL1mL2J 細(xì)棒m12薄圓環(huán)或薄圓筒J mR 2Rm圓盤或圓柱體J 1 mR 2

4、Rm2薄球殼球體J 2 mR 2RRmJ 2 mR 2m35右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計(jì)算？(棒長為L、質(zhì)量為M,圓半徑為 R 、質(zhì)量為m）J 1 ML2 1 m R2 m (L R)232J J md22cJ 1 ML213J 1 m R2c2四、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律1、力矩（力F 對轉(zhuǎn)軸的力矩）M rr FoFr注意Fr在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)。F若不在則將 F 分解,只有垂直于轉(zhuǎn)軸的分量對轉(zhuǎn) 軸才有力矩。or2、剛體定軸r轉(zhuǎn)動第一定律由 F 0時v 恒量r 恒量a 0r 0M 0 時類比有剛體所受的合外力矩為零時，將保持原有的運(yùn)動狀態(tài)不變(作勻速轉(zhuǎn)動)。由Fra mr3、

5、定軸轉(zhuǎn)動第二定律r J類比有角加速度大小與合外力矩成正比。方向與合外力矩的方向相同。Frd Pdv轉(zhuǎn)動方程m arm由dtr dtrrrd L dtd dt J J類比有五、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用例：一個質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物mg體由下落高度時的速度和此時滑輪的角速度。解：MRTm對: mgma aR對M：力矩TRJJ1 22ma g解方程得：m M2 v 1 4mgh RR2m Mv 2ah 4mgh2m M例1.在半徑為R, J = 1 mR2的圓輪上掛一細(xì)繩,細(xì)繩兩2的 ？端各掛兩

6、物 m1m2.求兩物的 a及解：m1、m2可作為質(zhì)點(diǎn)處理，作剛體處理。各物受力情況如圖 T1T2根據(jù)定律.動畫T1T1g T1 mm11a( 2m2g T2 mT2T2a)根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律T1 RT 2R Ja聯(lián)立ma R1m2m1m2a gg R解得m g1 mm1m212m gm1m22 y1 mm1m2211例：轉(zhuǎn)動著的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，在t=0時角速度為 ，此后飛輪制動，阻力矩M =k 2 ，求：0（1） 1 時，角加速度。03 1 （2）從開始制動到經(jīng)過的時間。03 k 2k02M Jd dt 解：（1）Jk 29Jd t k dt00(2) 2JJ1 1 k t0J將 1 2J代

7、入. 得t k030五、轉(zhuǎn)動中的功和能1、力矩的功 d rrdAFFcosds F cos rd Q F cos r F cos r M dA Md Fvds A Md2P1drO力矩對轉(zhuǎn)動物體作的功等于相應(yīng)力矩和角位移的乘積。x2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體上所有質(zhì)元的動能之和為：力矩做功導(dǎo)致剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能變化.Md 21 2d Jdtd 1由 M J ddt1 ( mr 2 ) 2 1 J 22ii2iE K2 m i v i2 m i ( ri )1212iiMd 21d dt2Jdt12J 1d 1212J 2J 221上式即為： A EK 2EK 1合外力矩對剛體所做的功等于剛體

8、的轉(zhuǎn)動動能的增量。定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。 2d Jdtd 13、剛體的重力勢能h一個質(zhì)元mm整個剛體：hiChcOx剛體的重力勢能相當(dāng)于它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時所具有的勢能。4、機(jī)械能守恒如只有保守內(nèi)力作功,則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。g ( m i h i ) mghc iE P 重 m i g h ii： m i gh i上次的例題另解如下：例、一個質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì) 繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由下落高度時的速度和此時滑輪的角速度。解：據(jù)機(jī)械能守恒定律：mvR 可解出 v 4 mgh2 m Mgh1 2J 1 mv

9、222六、角動量、角動量定理和角動量守恒定律1、剛體的角動量質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的角動量為：剛體上的一個質(zhì)元,繞固定軸做圓周運(yùn)動角動量為：所以剛體繞此軸的角動量為：剛體對固定轉(zhuǎn)動軸的角動量L,等于它對該軸的轉(zhuǎn)動慣量J 和角速度 的乘積。p mvL Li ( m i ri) J 2iiL r m v r 2m iiiiiiL r P r m v2、剛體的角動量定理ZA：微分形式：mj對質(zhì)點(diǎn)組:rrjfij fjimoiOriiMv d L外dt ( M i外 M i內(nèi) )i M 合外 0vd Lrd L ivM M dtidtiiM i M i 外 M i內(nèi)Mvd L i idtMv d L dt2、剛體的

10、角動量定理 d (J ) dLM J J ddtdtdt角動量定理的微分形式積分形式外力矩的沖量矩等于剛體角動量的增量。L J2 J1J不變時,L J 2 2 J11J也改變時,Mdt dLt Mdt L2dL L L L0L1213、角動量守恒定律在M dL 中，若M 0,則L 常量.即L 0dtL不變的含義為：剛體：J不變非剛體：J不變M=0的原因，可能F0；r=0;Fr.在定軸轉(zhuǎn)動中還有M0，但它與軸平行，即Mz=0,對定軸轉(zhuǎn)動沒有作用，則剛體對此軸的角動量依然守恒。例:兩力作用在一個有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上*兩力都平行于軸作用時，它們對軸的合力矩一定是零。*兩力都垂直于軸作用時，它們對軸的合

11、力矩可能是零。*兩力的合力為零時，它們對軸的合力矩也一定是零。*兩力對軸的合力矩為零時，它們的合力也一定是零。,一質(zhì)量為m的例1、以水平速度射入一懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長為l,質(zhì)量為M.解:以f代表棒對的阻力,對有:f對棒的反作用力對棒的沖量矩為：MfJf f 由兩式得因,v0mvldt l fdt3dtm( v 0) v4 mv 0lM請問:為什么?和棒的總動量守恒嗎?不總角動量守恒嗎?若守恒,其方程vmv0應(yīng)如何寫?守恒mvmvll 12l 0 M3 3mv0l 9 mv 0 這里J 1M24 J4Ml3例2、，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿無摩

12、擦地懸掛在同一點(diǎn)，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開始時直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度，令它自狀態(tài)下垂,于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達(dá)到的高度h。clhclmh=3h0/2hoha解:碰撞前單擺擺錘的速度為bv0 2 g0h令碰撞后直桿的角速度為，擺錘的速度為v。由角動量守恒，有在彈性碰撞過程中機(jī)械能也是守恒的:1m (v v2 ) 1 J22022v3 v二式聯(lián)立解得：v , 0022 lh 0h 按機(jī)械能守恒，碰撞后擺錘達(dá)到的高度顯然為41J 而桿的質(zhì)心達(dá)到的高度滿足2mghc2由此得h 2 h 3 h 0 c2ml( v v ) J , 式中J1ml2 03例3. 如圖，

13、質(zhì)量為 M 半徑為 R 的轉(zhuǎn)臺初始角速度為 0 ,有一質(zhì)量為m 的人站在轉(zhuǎn)臺的中心,若他相對于轉(zhuǎn)臺以恒定的速度 u 沿半徑向邊緣走去,求人走了t時間后,轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)過的角度。（豎直軸所受摩擦阻力矩不計(jì)）解：設(shè) t 時刻人走到距轉(zhuǎn)臺中心r = ut 處，轉(zhuǎn)臺的角速度為 .人與轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)對軸角動量守恒uRrM R2 ( M R2 mu2t 2 )02 2tt d dt 02 dt202mut0001 221 2mu tMR2ut(2m )12MR2R0M arctanQ d dtu(2m )12R19M剛體定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動的對比質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動xv d位移速度 加速度質(zhì)量力角位移角速度 角加速度dx dt2 d d dt dvd 2 xa dtdt 2dtdt 22m轉(zhuǎn)動慣量 J rdmM r FF力矩F maM J轉(zhuǎn)動定律運(yùn)動定律p mv質(zhì)心p mv動量角動量動量角動量J LiL r prrtt2Mdt L L JJFdt mv mv1角動量定理2動量定理2121t12t1 F 0 時M 0時角