立體幾何求法向量

1、一、平面法向量的概念向量與平面垂直 如果表示向量a的有向線段所在的直線垂直于平面a ,則稱這個(gè)向量垂 直于平面a，記作ala。平面的法向量 如果ala，那么向量a叫做平面a的法向量。一般根據(jù)平面法向量的定義推導(dǎo)出平面的法向量，進(jìn)而就可以利用平面的法向量解決相關(guān) 立體幾何問題。求解平面法向量的常用方法如下：1.方程法：利用直線與平面垂直的判定定理構(gòu)造三元一次方程組，由于有三個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)方程， 要設(shè)定一個(gè)變量的值才能求解，這是一種基本的方法，師生容易接受，但運(yùn)算稍繁，要使法 向量簡潔，設(shè)值可靈活，法向量有無數(shù)個(gè)，它們是共線向量，取一個(gè)就可以。. .一 1 丁一 一 T 匕 一T一 八 例如;已知

2、向量a、b是平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，a = U,2,3九b = (2,1,-1)，求平面a的一個(gè)法向量n的坐標(biāo)。解：設(shè)n = 3,y,z)，則由 n l an - a = 0 口x + 2y + 3z = 0- 即5x =-37y =-3n - b = 0I 2 x + y z = 0I x + 3 y 二3 不妨設(shè)Z T，得| 2x+ y = 12 .大學(xué)行列式求法向量a = (xi, yzi)b = (% y2,迎其中行列式y(tǒng)iy2z1z22 Z1，yzxzxy11 ,11,11yzxzxy222222 a x b =(法向量取與向量a x b共線的即可。)，a = (1, 2, 3)

3、b = (2, 1, 1)用這一方法解答上面的例如，先把平面內(nèi)的兩個(gè)向量坐標(biāo)對(duì)齊寫蒙住第一列，把后兩列看成一個(gè)二階行列式，計(jì)算2x (1) 1 x 3 = -5就是向量axb的x坐標(biāo)，蒙住第二列，把前后兩列看成一個(gè)二階行列式，計(jì)算x (1) 2 x 3 = -7，取-7的相反數(shù)7作為axb的y坐標(biāo)，蒙住第三列，把前兩列看成一個(gè)二階行列式，計(jì)算if *1 x 1 2x 2 = 3作為z坐標(biāo)，所以a x b (5,7,3)，可以取n (5,7,3)，它與前面方- ，5 7 一、程法求得的n = G, ,1）是共線向量。行列式求法向量屬于高等數(shù)學(xué)中空間解析幾何的內(nèi)容，學(xué)生難以在現(xiàn)有的知識(shí)基礎(chǔ)上 真正

4、理解，但由于這是一個(gè)死板的公式，操作步驟清晰，學(xué)生容易記住，開始覺得不習(xí)慣， 多練幾次后，具有速度快、結(jié)果準(zhǔn)的優(yōu)點(diǎn)，不妨一試。二、平面法向量的三個(gè)常用公式公式1設(shè)向量n。是平面a的單位法向量，點(diǎn)B是平面a外一定點(diǎn)，點(diǎn)A是a內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面a的距離d = |AB-n0。證明：如圖1，過B作BO垂直平面a于O，在平面a上任取一點(diǎn)A，則ZABO為AB與n的夾在 RtAABO 中，|B| = d，得婦阿 icos i=iabi JAAm=網(wǎng)|n| =網(wǎng)-n0角，設(shè)為e。利用公式1求點(diǎn)到平面的距離比用傳統(tǒng)的幾何方法求距離簡單得多，它省去了作圖、證 明等推理論證，直接通過向量運(yùn)算得到正確的結(jié)果。公

5、式2設(shè)AB是平面a的斜線，BO是平面a的垂線，AB與平面a所成的角ZBAO =e ,AB - n向量AB與n的夾角ZABO =W （見圖1），則sine= |cosw| = 方 “。（證略）公式3如圖2,設(shè)向量七與n2分別是二面角a-1-P中的兩個(gè)半平面a，p的法向量，則向量n與n的夾角n ,n 的大小就是 1212所求二面角或其補(bǔ)角的大小。（證略）由于法向量的多樣性，二面角的兩個(gè)半平面的法向量勺與n2的夾角可能等于所求二面角 的平面角，也可能等于二面角的平面角的補(bǔ)角，如何來確定兩法向量的夾角是二面角的平 面角還是其補(bǔ)角呢？ 一靠經(jīng)驗(yàn)：通過題目估計(jì)它是鈍角還是銳角，同類相等，異類互補(bǔ)；二 用半平面旋轉(zhuǎn)法：把二面角的一個(gè)半平面繞棱l按照同一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)到與另一個(gè)半平面重合 時(shí)，若兩個(gè)半平面的法向量的方向相同，則相等，若方向相反，則互補(bǔ)。以上介紹了平面的法向量及其幾個(gè)公式，以此為工具，解決了立體幾何中的部分難題。利 用平面法向量解題，方法簡便，