數(shù)學(xué)物理方法12

1、第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題內(nèi)容幾類典型的數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出定解條件方程的分類達(dá)朗貝爾公式物理規(guī)律或工程科學(xué)與技術(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)式中，有許多是微分方程。例質(zhì)點(diǎn)力學(xué) 質(zhì)點(diǎn)的位移電路 電流、電壓以時(shí)間為自變量的常微分方程空間連續(xù)分布的物理場(chǎng)靜電場(chǎng) 電場(chǎng)強(qiáng)度或電勢(shì)電磁波 電場(chǎng)強(qiáng)度或磁場(chǎng)強(qiáng)度以時(shí)間和空間坐標(biāo)為自變量的偏微分方程 物理和工程技術(shù)問(wèn)題用偏微分方程表達(dá)出來(lái)，叫做數(shù)學(xué)物理方程。 個(gè)性邊界條件初始條件定解條件泛定方程在給定的定解條件下，求解數(shù)學(xué)物理方程 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題定解問(wèn)題 解決問(wèn)題數(shù)學(xué)表示物理規(guī)律 共性第一節(jié) 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出一、弦振動(dòng)方程物理模型一長(zhǎng)為 l 的柔軟、均勻的細(xì)弦，拉緊以后，讓

2、它離開(kāi)平衡位置在垂直于弦線的外力作用下作微小橫振動(dòng)，求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。柔軟性：發(fā)生于弦中的張力其方向總是沿著弦線的切線方向均勻細(xì)弦：線密度為常數(shù)，弦線可以ol來(lái)代替平面微小 振動(dòng)：若用u(x,t)來(lái)表示弦線在t時(shí)刻的形狀，則微小振動(dòng)是指討論如何將這一物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問(wèn)題要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：確定弦的運(yùn)動(dòng)方程 （2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律. （3）按物理定理寫(xiě)出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程） 要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移 據(jù)牛頓第二定律u方向運(yùn)動(dòng)的方程可以描述為 作用于小段的縱向合力應(yīng)該為零： xuBAC 12(1)(2)利用微小振動(dòng)近似u

3、 很小，所以有(2)簡(jiǎn)化為 每個(gè)時(shí)刻都有：ds dx ，長(zhǎng)度 ds 不隨時(shí)間而變張力T 是常數(shù)T = ConstT 與 x 無(wú)關(guān)將近似關(guān)系式代入(1) 得即令弦振動(dòng)方程波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程推廣1受迫振動(dòng)設(shè)均勻弦沿位移方向還受到外加橫向力的作用，單位長(zhǎng)度受力為 F ( x,t ) ,則方程(1) 為若令可得均勻弦的受迫振動(dòng)方程非齊次項(xiàng)非齊次一維波動(dòng)方程齊次一維波動(dòng)方程推廣2 二維、 三維波動(dòng)方程非齊次齊次齊次非齊次二維：均勻薄膜的微小橫振動(dòng)三維：流體力學(xué)與聲學(xué)方程、電磁波方程推廣3 均勻桿的縱振動(dòng)段的運(yùn)動(dòng)方程為 可得 這就是桿的縱振動(dòng)方程 對(duì)于均勻桿，和Y是常數(shù) 其中二、熱傳導(dǎo)方程由于物體內(nèi)各處

4、的溫度不均勻，熱量從溫度髙的地方流向低的地方，叫做熱傳導(dǎo)。熱傳導(dǎo)問(wèn)題是研究溫度在空間中的分布和時(shí)間中的變化。熱流強(qiáng)度:單位時(shí)間通過(guò)單位面積的熱量 熱傳導(dǎo)定律傅立葉定律分量公式 熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)系數(shù)物體的比熱物體吸收（或放出）熱量dQ ，將引起溫度 的升高（或降低） d u。密度物體的比熱因?yàn)轶w積元很小因此（3） 熱傳導(dǎo)方程o(x,y,z)zxy(x+dx, x+dy, z+dz)dxdydz取物體內(nèi)部體積元為一平行六面體沿x軸方向，熱流分量qx 左表面右表面沿y軸方向，熱流分量qy 前表面后表面沿z軸方向，熱流分量qz 下表面上表面這些熱量引起溫度的變化。將上式代入(1)得即對(duì)于均勻各向同性的物體

5、，K , c , 是常數(shù)。所以則得方程為令齊次三維熱傳導(dǎo)方程（2） 如果在物體中存在著熱源，熱源強(qiáng)度（單位時(shí)間在單位體積產(chǎn)生的熱量）為 F( x,y,z,t )。則熱傳導(dǎo)方程應(yīng)為推廣1有源熱傳導(dǎo)則得非齊次的三維熱傳導(dǎo)方程為令推廣2擴(kuò)散方程為擴(kuò)散系數(shù)推廣3泊松方程和拉普拉斯方程在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，物體周?chē)沫h(huán)境溫度不隨時(shí)間而變長(zhǎng)時(shí)間 ut = 0第二節(jié) 定解條件邊界條件、初始條件定解條件泛定方程數(shù)學(xué)物理方程普遍性特殊性一、初始條件與時(shí)間有關(guān)的物理過(guò)程，必須給出初始條件。波動(dòng)方程含有對(duì)時(shí)間的二階偏導(dǎo)數(shù)，它給出振動(dòng)過(guò)程中每點(diǎn)的加速度要確定振動(dòng)狀態(tài)，需知道開(kāi)始時(shí)刻每點(diǎn)的位移和速度1，波動(dòng)方程2，熱傳導(dǎo)方程

6、（或擴(kuò)散方程）初始狀態(tài)指所研究的物理量u的初始分布（初始濃度分布、初始溫度分布）例1 一根長(zhǎng)為 的弦，兩端固定于 和,在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為 的位置將弦沿著橫向拉開(kāi)距離 ，如圖9.5所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫(xiě)出初始條件。 x u o b l h 圖9.5 【解】 初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有 初始位移如圖所示二、 邊界條件邊界上的物理狀況線性邊界條件三類類 規(guī)定所研究的物理量在邊界上的數(shù)值；類所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值；類所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值。即類類類 第一類邊界條件（Dirichlet）例邊界條件弦的兩端 x=0 和 x=l 固定而振動(dòng)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，若桿的一端 x = a 處絕熱 第二類邊界條件（Neumann）例例桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，若桿的一端 x = a 的溫度 u 按已知規(guī)律 f(t) 變化.恒溫 第三類邊界條件桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，x =L 的一端處在一種自由