湖南大學(xué)微積分11-第11講無(wú)窮小量的比較

1、高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)本科數(shù)學(xué)課程 一元微積分學(xué) 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第十一講 無(wú)窮小量的比較1第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性本章學(xué)習(xí)要求： 了解函數(shù)極限的概念，知道運(yùn)用“”和 “X ”語(yǔ)言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則 以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。 理解無(wú)窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無(wú)窮小量間的關(guān)系。 掌握無(wú)窮小量的比較，能熟練運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量計(jì)算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會(huì)判斷函數(shù) 間斷點(diǎn)的

2、類(lèi)型。了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理、最值定理）。 理解冪級(jí)數(shù)的基本概念。掌握冪級(jí)數(shù)的收斂判別法。2第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性第六節(jié) 無(wú)窮小量的比較一. 無(wú)窮小量比較的概念二. 關(guān)于等階無(wú)窮小的性質(zhì)和定理 3設(shè) , 是同一個(gè)極限過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小量.4則稱(chēng) 是 的若記為高階無(wú)窮小,此時(shí), 也可稱(chēng) 是 的低階無(wú)窮小.5若為常數(shù),記為則稱(chēng) 與 是同階無(wú)窮小,6若為常數(shù),則稱(chēng) 為 的 k 階無(wú)窮小, 記為7則稱(chēng) 是 的若記為等階無(wú)窮小, 等價(jià)無(wú)窮小必是同階無(wú)窮小,但反之不真.8不存在, 但又不是無(wú)窮大,若則稱(chēng) 與 是不能比較的無(wú)窮小.9x 0 時(shí)的幾個(gè)無(wú)窮小

3、量的比較：例11011有何想法？例2證1213所以 1 cos x = O( x2 ) ( x 0 ) . 例314 x 0 時(shí),不可比較的無(wú)窮小.不存在, 但不是無(wú)窮大, 與 x 是例415二. 關(guān)于等階無(wú)窮小的性質(zhì)和定理 1. 定理定理設(shè)在某一極限過(guò)程中,16證綜上所述,17限過(guò)程中的第三個(gè)變量.2. 定理z 是該極 設(shè)在某極限過(guò)程中,( 或?yàn)?), 則若定理18由定理 1, 得, 故 lim z = . 綜上所述,設(shè) 則則設(shè) 證19設(shè)在某極限過(guò)程中, , , 則 .3. 定理傳遞性定理20無(wú)窮小量可以用其等價(jià)無(wú)窮小量替代.定理告訴我們:在計(jì)算只含有乘、除法的極限時(shí),21例 如果在加減法中

4、用等價(jià)無(wú)窮小量替代, 則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤:22將常用的等階無(wú)窮小列舉如下: 當(dāng) x 0 時(shí)23求例5解24求例6解25求例7解26求例8解27求 和差化積例9解 此題也可先在分子處加 1 減 128求例10解29證明：若在某極限過(guò)程中0, 0,在某極限過(guò)程中, 若 , 則且 0, 則 的充要條件是例11證反之,則故30由于例12解31解例13 變量代換 四則運(yùn)算 等價(jià)無(wú)窮小32解例14 連續(xù)兩次使用等價(jià)無(wú)窮小替代. 等價(jià)無(wú)窮小替代33解例15 函數(shù)的性質(zhì) 等價(jià)無(wú)窮小替代 重要極限 也可再用等價(jià)無(wú)窮小替代34請(qǐng)看下面的定理.35定理證等價(jià)無(wú)窮小 替代36解例16 利用初等方法進(jìn)行變化, 使之能用等價(jià)無(wú)窮小替代.37解例1738解例1839解例19