接觸問題分析

1、第四章 接觸問題分析目的：以接觸問題為例，介紹邊界非線性問題。特點：與線性有限元方法比較，邊界條件是待求的。內(nèi)容： 引言 經(jīng)典的接觸問題求解方法 數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題8/9/20221引言（1/5)接觸現(xiàn)象是普遍存在的。實際的工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)往往分成幾個非永久性連在一起的部分，這些部分之間的力靠它們之間的擠壓、甚至沖擊來傳遞。研究現(xiàn)狀：簡單的彈性接觸問題在19世紀末Hertz就已經(jīng)開始研究，但只有在有限元方法及計算機出現(xiàn)以后，接觸問題的研究才有了長足發(fā)展，并達到實用化程度。接觸實例：齒輪的齒間嚙合；汽（氣）輪機及發(fā)動機中葉片與輪盤的榫接；兩物體的撞擊（動態(tài)接觸）。 接觸問題的特點：屬邊界非線性

2、問題，邊界條件不再是定解條件，而是待求結(jié)果；兩接觸體間接觸面積與壓力隨外載的變化而變，并與接觸體的剛性有關(guān)。這是該問題的特點，也是困難所在。8/9/20222引言（2/5)研究內(nèi)容： 對以上四方面內(nèi)容，不少學者進行了研究，提出了不同的理論與方法，對同一問題，各種理論各有優(yōu)缺點，尚未達到共識?；诮佑|問題的難度、研究的不成熟、加之其實用性，它一直是固體力學研究的熱點。接觸模式問題：描述兩接觸體間的力的傳遞、描述不同載荷下接觸狀態(tài)的變化；（解決如何描述的問題）幾何約束問題：表示接觸面上兩物體位移所要滿足的條件；（解決到底以什么具體形式來描述、即怎樣描述？）摩擦定律問題：反映接觸面上力與位移或壓力與

3、切向力之間的關(guān)系；求解方法問題：建立數(shù)學方程并加以求解。 8/9/20223引言（3/5)研究內(nèi)容淺析：接觸模式問題：解決接觸面上接觸力的傳遞問題。點面（node-to-surface）接觸模式：先將兩接觸體人為地分為主動體（master body）與被動體（slave body），并假定主動體網(wǎng)格中的一個結(jié)點可與被動體表面上的任意一點（不一定是網(wǎng)格結(jié)點）相接觸。優(yōu)點兩接觸體可根據(jù)自身情況剖分網(wǎng)格。缺點方法較復雜、編程難度大。點點（node-to-node）接觸模式：將兩接觸體的接觸面分成同樣的網(wǎng)格，使結(jié)點組成一一對應的結(jié)點對，假定接觸力的傳遞通過結(jié)點對實現(xiàn)，接觸面上各局部區(qū)域的接觸狀態(tài)也相應

4、地按結(jié)點對來判斷。優(yōu)點直觀、簡單、易于編程。缺點對于復雜接觸面情形，網(wǎng)格結(jié)點一一對應不易做到。8/9/20224引言（4/5)研究內(nèi)容淺析: （續(xù)）幾何約束問題：與接觸模式密切相關(guān)。實際上，在接觸模式確定的同時，接觸體邊界的約束性也隨之確定，即相應地以點對點形式或點對面形式可對接觸面間的幾何約束予以描述。摩擦定律問題：我們都知道已被廣泛采用的庫侖（Coulomb）摩擦定律，其中的摩擦系數(shù)為常數(shù)。實際上，摩擦系數(shù)不僅取決于接觸體的材料，而且與接觸面光滑度、材料的加工過程、接觸面潤滑條件、表面壓力等多種因素有關(guān)。即使是同樣的接觸物體，摩擦系數(shù)隨載荷大小、滑動情況也會變化。由于摩擦機理非常復雜，因此

5、，目前仍然多采用庫侖摩擦定律，只是將靜、動摩擦系數(shù)分開處理。本章介紹接觸問題的經(jīng)典解法時，也采用庫侖摩擦定律；介紹接觸問題的數(shù)學規(guī)劃解法時，將采用數(shù)學上表述更嚴謹?shù)腒larbring廣義摩擦定律。 8/9/20225引言（5/5)研究內(nèi)容淺析: （續(xù)）求解方法問題：在這方面，許多科學家傾注了大量的精力。數(shù)學規(guī)劃方法：利用基于有限元離散的數(shù)學規(guī)劃方法直接求系統(tǒng)總勢能極值（或駐值）問題，其涉及的命題可表述為：經(jīng)典方法：利用有限元方法，通過迭代進行求解。 尋求一組位移矢量 ； 使系統(tǒng)總勢能 取駐值； 并滿足條件 。 目前，接觸問題分析的方法主要還是經(jīng)典方法，即從各種變分原理出發(fā)，將幾何約束和摩擦定律

6、引入泛函，最終獲得接觸問題的控制方程。這是由于大型工程結(jié)構(gòu)分析，大多都采用有限元方法，而經(jīng)典方法仍然在此框架之內(nèi)。本章則側(cè)重介紹接觸問題的數(shù)學規(guī)劃解法，主要從可研究的角度考慮。二次規(guī)劃問題線性互補問題引入單邊約束條件8/9/20226經(jīng)典的接觸問題求解方法（1/3)一般采用三個假設： 接觸表面是凸的、連續(xù)的； 接觸表面服從庫侖摩擦定律； 接觸模式是點點接觸模式。 接觸的A、B兩物體(a) 可能接觸區(qū)；(b) 接觸區(qū)局部坐標系(a)AB可能接觸區(qū)邊界的接觸狀態(tài)（判定性條件）分別為： 1）開式（opening）接觸：此時 ， 即法向間隙大于等于0； 2）粘式（cohesive）接觸：此時 （ ，

7、） ；即法向無間隙，且在一個載荷增量步始末，整個切平面無相對滑動； 3）滑移（sliding）接觸：此時 ， 且 ，即法向無間隙，且切平面的兩個方向均有相對滑動； 4）混合（mixed）接觸：此時 ， 與 中一個為0、一個不為0，即法向無間隙，切平面的一個方向無相對滑動、而另一個方向有相對滑動。 (b)（法向）（切平面）r表示接觸點對間的間隙 8/9/20227經(jīng)典的接觸問題求解方法（2/3)定解條件：四類接觸狀態(tài)，對應的定解條件為：1）開式2）粘式3）滑移4）混合（假定x 方向滑動）8/9/20228經(jīng)典的接觸問題求解方法（3/3)接觸區(qū)有限元方程：將定解條件代入，接觸方程就成為定解問題。代

8、入時可使用間接的接觸單元法，也可直接代入。直接帶入時的計算步驟靜力凝聚等效剛度接觸區(qū)位移接觸區(qū)載荷非接觸區(qū)凝聚載荷接觸方程！Trial-Error-Iteration過程：Step 1，試求解（trial）：假定初始的接觸狀態(tài)，然后依此獲得相應的定解條件，以得到新的邊界條件并求解，同時得到接觸力；Step 2，計算誤差（error）：若新得到的接觸力與接觸位移滿足初始假定的接觸狀態(tài)，則為真解。否則轉(zhuǎn)入Step 3；Step 3，迭代（iteration）：更新接觸狀態(tài)及相應的定解條件，轉(zhuǎn)入Step 1進行迭代。經(jīng)驗表明，接觸迭代往往只有幾步就可很快收斂，這種試驗（trial）誤差（error）

9、迭代（iteration）的方法，又稱為經(jīng)典方法，由于歸根到底求解的仍然是 型方程。注意：引入定解條件需考慮保持剛度矩陣的良好形態(tài)，一方面為了與所選求解器一致，一方面可適用于解決大型問題。8/9/20229數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（1/17)概述：接觸問題的共有特征：接觸狀態(tài)（包括接觸區(qū)的大小、壓力分布、位移、變形等）分析前未知。數(shù)學規(guī)劃解法：從數(shù)學角度，接觸問題是一個優(yōu)化問題，實際的接觸狀態(tài)就是該優(yōu)化問題的最優(yōu)解。迭代法：即試驗誤差迭代的格式。二維彈性體為研究對象，較系統(tǒng)地闡述接觸問題的數(shù)學規(guī)劃解法：接觸問題的數(shù)學規(guī)劃方法描述；無摩擦接觸問題的數(shù)學規(guī)劃方法；有剛體自由度的彈性接觸問題；摩擦接

10、觸問題的數(shù)學規(guī)劃方法。 8/9/202210數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（2/17)接觸問題的勢能變分原理及其等價形式邊界分為給定外力邊界 ，位移邊界以及可能發(fā)生接觸的邊界。 1）力邊界條件 2）位移邊界條件A、B兩物體上的可能接觸區(qū)AB構(gòu)造公共接觸區(qū) ，使以后對接觸區(qū)上所做的定義和運算都在 上進行。確定 的方法很多 ，在大變形討論中會顯示出各自的優(yōu)劣。對于小變形問題，各種方法都很接近。 確定后，隨之可確定接觸區(qū)的公共法線方向 和切線方向 。 8/9/202211數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（3/17)接觸問題的勢能變分原理及其等價形式（續(xù)）接觸問題的接觸條件非穿透性條件（non-penetratio

11、n condition） on A、B兩物體在公法線方向的位移分量 代表它們在法線方向的間隙! 系統(tǒng)的總勢能可表示為勢能原理表述為這樣一個命題（proposition）：在所有滿足幾何關(guān)系、位移邊界條件及接觸條件的位移場中，真實解使得系統(tǒng)的總勢能取最小值。 數(shù)學上稱為單邊（unilateral）約束條件！8/9/202212數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（4/17)接觸問題的勢能變分原理及其等價形式（續(xù)）借助于拉氏乘子法，引入變位（dislocation）勢接觸勢部分剩余變量構(gòu)造 Lagrange 泛函勢能原理拉氏泛函的極大極?。ò包c）問題。 等價下面予以證明8/9/202213數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸

12、問題（5/17)接觸問題的勢能變分原理及其等價形式（續(xù)）對宗量 取變分 in on on 對宗量 取變分 on 對 取變分，最后得泛函的庫-塔克（Kuhn-Tucker）最優(yōu)化條件 on on 或 （B對A的法向作用力） （A對B的法向作用力）經(jīng)一系列復雜的推導，可將拉氏乘子 識別為（平衡方程）（力邊界條件）（拉氏乘子？）（單邊約束條件）8/9/202214數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（6/17)無摩擦接觸問題的數(shù)學規(guī)劃方法 前面是積分意義上的一般原理，本節(jié)在離散意義上進行分析。系統(tǒng)勢能離散成：接觸勢離散成：接觸力插值函數(shù)接觸區(qū)位移插值函數(shù)位移向法向的轉(zhuǎn)換矩陣重新記做經(jīng)組裝相應地，非穿透性條件離散

13、、組裝成：8/9/202215數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（7/17)無摩擦接觸問題的數(shù)學規(guī)劃方法（續(xù)） 這樣，Lagrange函數(shù)離散成靜力凝聚假定兩物體均無剛體位移？（略去了剩余變量 的貢獻）接觸問題的特征量是接觸區(qū)的相對位移，而不是絕對位移！ 第二次凝聚問題變成下列標準的二次規(guī)劃問題設計變量8/9/202216數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（8/17)無摩擦接觸問題的數(shù)學規(guī)劃方法（續(xù)） 引入松弛變量取變分假定正定典型的線性互補問題，可采用成熟的方法，如Lemke法和Graves主旋轉(zhuǎn)法，進行求解。取B的剛度矩陣為無限大可處理彈性體與剛體（B）的接觸問題。（線性的）（互補的）（非負的）缺一不可！8/

14、9/202217數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（9/17)有剛體自由度的彈性接觸問題 實際上，接觸的兩物體之一在將要接觸的方向上往往存在剛體自由度，在研究接觸時不能回避。剛體位移也是接觸問題中的待求變量，而且，是一個自由變量，不像接觸位移那樣受到限制。本節(jié)將通過求解線性互補問題，一次性地同時求得剛體位移和接觸狀態(tài)。 考慮物體 I、II 接觸，其中物體 I 存在剛體位移，但整個系統(tǒng)有足夠的約束。此時，離散后的總勢能為 去除剛體位移后物體 I 的位移外力 在剛體位移 上做負功增加的勢能力 在廣義位移 負方向上的分量 最小勢能原理可描述成下列數(shù)學問題： Find 8/9/202218數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問

15、題（10/17)有剛體自由度的彈性接觸問題（續(xù)） 引入拉氏乘子，得到 Lagrange 函數(shù)為利用廣義Kuhn-Tucker最優(yōu)條件先求后兩式的標準線性互補問題，再回代第一式求出自由的剛體位移。 和 非負且互補 可同時求出剛體位移和接觸狀態(tài)的標準線性互補問題。還可化為更簡潔的形式8/9/202219數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（11/17)摩擦接觸問題的數(shù)學規(guī)劃法 接觸問題分析中還需考慮由于相對滑動或趨勢產(chǎn)生的摩擦力。摩擦力是非保守力，其形成機理很復雜，與其他量的關(guān)系也眾說紛紜。 本節(jié)從次微分概念出發(fā)，建立廣義摩擦定律，針對彈性小變形接觸，導出一新型線性互補問題，并給出具體的求解步驟。 五個定義定

16、義1：凸集 定義2：凸函數(shù) 凸函數(shù)的原始定義中用到上方圖概念，不便于用來進行判斷。這里介紹的是凸函數(shù)定義的等價形式（充要條件）。 8/9/202220數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（12/17)摩擦接觸問題的數(shù)學規(guī)劃法（續(xù)）五個定義（續(xù)）定義3：次微分（sub-differentiation） 且 B單位球 8/9/202221數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（13/17)摩擦接觸問題的數(shù)學規(guī)劃法（續(xù)）五個定義（續(xù)）定義4：法線錐（normal cone） 定義5：指示函數(shù)（indicator function） 8/9/202222數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（14/17)摩擦接觸問題的數(shù)學規(guī)劃法（續(xù)）廣義摩

17、擦定律引入兩個函數(shù)接觸切向力接觸法向力摩擦系數(shù)經(jīng)典摩擦定律不足：經(jīng)典摩擦定律無法保證摩擦定律中在切向所要求的 因而，這一要求只能通過迭代修正，才能最終確定，進而獲得實際的接觸狀態(tài)。由于迭代的不可避免，給求解帶來不便。 8/9/202223Klarbring等指出，切向滑動速率屬于超勢 對 的次微分，即 定義超勢 為閉集 的指示函數(shù)，即數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（15/17)摩擦接觸問題的數(shù)學規(guī)劃法（續(xù)）廣義摩擦定律（續(xù)）構(gòu)造閉集（也可以證明是凸集）結(jié)合以上所做的五個定義，經(jīng)推導可得對時間積分切向間隙以上討論的是二維情形，三維情形可仿此討論。8/9/202224數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（16/17

18、)摩擦接觸問題的數(shù)學規(guī)劃法（續(xù)）設A、B兩物體在外力作用下發(fā)生接觸，凝聚形式的有限元方程為 接觸區(qū)位移外力等效載荷接觸力接觸區(qū)結(jié)點一一匹配記相對位移 8/9/202225數(shù)學規(guī)劃方法求解接觸問題（17/17)摩擦接觸問題的數(shù)學規(guī)劃法（續(xù)）最后考慮接觸條件 法向單邊約束條件切向廣義摩擦定律（局部坐標描述）（局部坐標描述）向整體坐標變換參數(shù) 含參數(shù) ，并且非負條件中涉及對參數(shù)微分 ，因而是一個含參數(shù)的混合型線性互補問題 。這類問題不能直接前面提到的方法求解，可采用根據(jù)Kaneko方法推廣的算法，詳見有關(guān)文獻。 8/9/202226本章小結(jié)接觸問題邊界非線性問題接觸邊界（狀態(tài)）待求求解方法經(jīng)典方法，數(shù)學規(guī)劃方法經(jīng)典方法先假設接觸狀態(tài)，接下來變成定解問題加以求解，再用判定性條件判斷是否需要通過迭代修正假設。 是一種典型的Trial-Error-Iteration方法。數(shù)學規(guī)劃方法先建立接觸問