實(shí)驗(yàn)設(shè)計與數(shù)據(jù)分析方差分析課件

1、第二章 正交試驗(yàn)設(shè)計的方差分析2022/8/9第二章 正交試驗(yàn)設(shè)計的方差分析一、試驗(yàn)設(shè)計的基本原則二、正交試驗(yàn)的方差分析三、重復(fù)試驗(yàn)的方差分析四、誤差分析與試驗(yàn)水平一、實(shí)驗(yàn)設(shè)計的基本原則隨機(jī)化原則：每個處理以概率均等的原則，隨機(jī)地選擇實(shí)驗(yàn)單元。重復(fù)原則：獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)、重復(fù)測量對照原則：空白、安慰劑、實(shí)驗(yàn)條件、標(biāo)準(zhǔn)、歷史或中外對照。區(qū)組原則：人為劃分的時間、空間、設(shè)備等實(shí)驗(yàn)條件稱為區(qū)組（block）。（3,4合稱為局部控制原則）方差分析（analysis of variance，簡稱ANOVA）檢驗(yàn)試驗(yàn)中有關(guān)因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性試驗(yàn)指標(biāo)（experimental index） 衡量或考核試

2、驗(yàn)效果的參數(shù) 因素（experimental factor） 影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件 可控因素（controllable factor） 水平（level of factor）因素的不同狀態(tài)或內(nèi)容 方差分析的必要性 極差分析不能估計試驗(yàn)中以及試驗(yàn)結(jié)果測定中必然存在的誤差大小。為了彌補(bǔ)這個缺點(diǎn)，可采用方差分析的方法。 方差分析法是將因素水平（或交互作用）的變化所引起的試驗(yàn)結(jié)果間的差異與誤差波動所引起的試驗(yàn)結(jié)果間的差異區(qū)分開來的一種數(shù)學(xué)方法。 所謂方差分析，就是給出離散度的各種因素將總變差平方和進(jìn)行分解，然后進(jìn)行統(tǒng)計檢驗(yàn)的一種數(shù)學(xué)方法。方差分析法的基本思路：（1）由數(shù)據(jù)中的總偏差平方和中分出組內(nèi)偏差平

3、方和、組間偏差平方和，并賦予它們的數(shù)量表示；（2）用組間偏差平方和與組內(nèi)偏差平方和在一定意義下進(jìn)行比較，如兩者相差不大，說明因素水平的變化對指標(biāo)影響不大；如兩者相差較大，組間偏差平方和比組內(nèi)偏差平方和大得多，說明因素水平的變化影響很大，不可忽視；（3）構(gòu)造F統(tǒng)計量，作F檢驗(yàn)，即可判斷因素作用是否顯著。正交試驗(yàn)結(jié)果的方差分析思想、步驟！總偏差平方和各列因素偏差平方和+誤差偏差平方和（1）偏差平方和分解：（2）自由度分解：（3）方差：（4）構(gòu)造F統(tǒng)計量：（5）列方差分析表，作F檢驗(yàn)若計算出的F值F0Fa，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該因素或交互作用對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若F0Fa，則認(rèn)為該因素或交互作用對試

4、驗(yàn)結(jié)果無顯著影響。（6）正交試驗(yàn)方差分析說明由于進(jìn)行F檢驗(yàn)時，要用誤差偏差平方和SSe及其自由度dfe，因此，為進(jìn)行方差分析，所選正交表應(yīng)留出一定空列。當(dāng)無空列時，應(yīng)進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，以估計試驗(yàn)誤差。誤差自由度一般不應(yīng)小于2，dfe很小，F(xiàn)檢驗(yàn)靈敏度很低，有時即使因素對試驗(yàn)指標(biāo)有影響，用F檢驗(yàn)也判斷不出來。為了增大dfe，提高F檢驗(yàn)的靈敏度，在進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)之前，先將各因素和交互作用的方差與誤差方差比較，若MS因（MS交） 2MSe，可將這些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入誤差的偏差平方和、自由度，這樣使誤差的偏差平方和和自由度增大，提高了F檢驗(yàn)的靈敏度。表1 L9(34)正交表處理號 第1

5、列（A） 第2列 第3列 第4列 試驗(yàn)結(jié)果yi11111y121222y231333y342123y452231y562312y673132y783213y893321y9分析第1列因素時，其它列暫不考慮，將其看做條件因素。因素A第1水平3次重復(fù)測定值因素A第2水平3次重復(fù)測定值因素A第3水平3次重復(fù)測定值因素重復(fù)1重復(fù)2重復(fù)3A1y1y2y3A2y4y5y6A3y7y8y9單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)資料格式和y1+y2+y3K1y4+y5+y6K2y7+y8+y9K32.1 單因素試驗(yàn)的方差分析（one-wayanalysisofvariance）2.1.1 單因素試驗(yàn)方差分析基本問題（1）目的：檢驗(yàn)一

6、個因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著性（2）基本命題：設(shè)某單因素A有r種水平：A1，A2，Ar，在每種水平下的試驗(yàn)結(jié)果服從正態(tài)分布在各水平下分別做了ni（i1，2，r）次試驗(yàn)判斷因素A對試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響 （3） 單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)表 試驗(yàn)次數(shù)A1A2AiAr1x11x21xi1xr12x12x22xi2xr2jx1jx2jxijxrjnix1n1x2n2xinixrnr2.1.2 單因素試驗(yàn)方差分析基本步驟 （1）計算平均值組內(nèi)平均值 ： 總平均 ：（2）計算偏差平方和總偏差平方和SST（sum of squares for total） 表示了各試驗(yàn)值與總平均值的偏差的平方和 反映了試驗(yàn)結(jié)果之間

7、存在的總差異 組間偏差平方和 SSA （sum of square for factor A） 反映了各組內(nèi)平均值之間的差異程度 由于因素A不同水平的不同作用造成的 組內(nèi)偏差平方和 SSe （sum of square for error）反映了在各水平內(nèi)，各試驗(yàn)值之間的差異程度 由于隨機(jī)誤差的作用產(chǎn)生 三種偏差平方和之間關(guān)系： （3）計算自由度（degree of freedom） 總自由度 ：dfTn1組間自由度 ：dfA r1組內(nèi)自由度 ： dfe nr 三者關(guān)系： dfT dfA dfe（4）計算平均平方均方偏差平方和除以對應(yīng)的自由度 MSA組間均方MSe組內(nèi)均方/誤差的均方（5）F檢

8、驗(yàn)服從自由度為（dfA,dfe）的F分布（F distribution）對于給定的顯著性水平，從F分布表查得臨界值F(dfA，dfe) 如果FA F(dfA，dfe) ，則認(rèn)為因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響否則認(rèn)為因素A對試驗(yàn)結(jié)果沒有顯著影響 （6）方差分析表 若 FA F0.01(dfA，dfe) ，稱因素A對試驗(yàn)結(jié)果有非常顯著的影響，用 “* *”號表示； 若 F0.05(dfA，dfe) FA F0.01(dfA，dfe) ，則因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著的影響，用“*”號表示； 若 FA F0.05(dfA，dfe) ，則因素A對試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著單因素試驗(yàn)的方差分析表 差異源SSdfMSF顯

9、著性組間（因素A）SSAr1MSASSA（r1）MSAMSe組內(nèi)（誤差）SSenrMSeSSe（nr）總和SSTn12.1.3 Excel在單因素試驗(yàn)方差分析中的應(yīng)用利用Excel “分析工具庫”中的“單因素方差分析”工具 小結(jié)： 根據(jù)偏差平方和的加和性，總偏差平方和可以分解成為組間偏差平方和與組內(nèi)偏差平方和，前者反映了因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響，后者反映了誤差對試驗(yàn)結(jié)果的影響。根據(jù)數(shù)學(xué)原理對組間偏差平方和與組內(nèi)偏差平方和進(jìn)行合理的比較，就能分析出因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響程度、性質(zhì)。若 F0.05(dfA，dfe) FA F0.01(dfA，dfe) ，由于F0.05(dfA，dfe) FA出現(xiàn)的概率只

10、有5，是一個小概率事件，當(dāng)其出現(xiàn)時，說明試驗(yàn)條件的改變對試驗(yàn)結(jié)果有顯著性影響。若 FA F0.01(dfA，dfe)，由于若 FA F0.01(dfA，dfe)出現(xiàn)的概率只有1，是一個更小概率事件，當(dāng)其出現(xiàn)時，當(dāng)然更說明試驗(yàn)條件的改變對試驗(yàn)結(jié)果有高度顯著性影響。2.2 雙因素試驗(yàn)的方差分析討論兩個因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性，又稱“二元方差分析”2.2.1 雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析（1）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)B1B2BsA1x11x12x1sA2x21x22x2sArxr1xr2xrs（2）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟 計算平均值 總平均 ： Ai水平時 ： Bj水平時： 計算偏差平方和 總偏

11、差平方和：因素A引起偏差的平方和：因素B引起偏差的平方和：誤差平方和：計算自由度 SSA的自由度：dfA r1SSB的自由度：dfBs1 SSe的自由度：dfe（r1）（s1）SST的自由度：dfTn1rs1 dfT dfA dfB dfe計算均方 F檢驗(yàn) FA服從自由度為（dfA,dfe)的F分布；FB服從自由度為（dfB,dfe)的F分布；對于給定的顯著性水平 ，查F分布表： F（dfA,dfe)， F（dfB,dfe)若FAF （dfA,dfe)，則因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響； 若FBF （dfB,dfe)，則因素B對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；差異源SSdfMS

12、F顯著性因素ASSAr1因素BSSBs1誤差SSe總和SSTrs1無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表 無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表因素B1B2BsA1A2Ar2.2.2 雙因素重復(fù)試驗(yàn)的方差分析 （1）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析試驗(yàn)表 雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析試驗(yàn)表 （2）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟計算平均值總平均 ：任一組合水平（Ai，Bj）上 ：Ai水平時 ：Bj水平時 ：計算偏差平方和總偏差平方和：因素A引起偏差的平方和：因素B引起偏差的平方和：交互作用AB引起偏差的平方和：誤差平方和：計算自由度SSA的自由度：dfA r1SSB的自由度：dfBs1 SSAB的自由度： dfAB (r1)(s1)

13、SSe的自由度：dfers(c 1)SST的自由度：dfTn1rsc1 dfT dfA dfB dfAB dfe計算均方F檢驗(yàn)對有重復(fù)試驗(yàn)的雙因素試驗(yàn)結(jié)果用F檢驗(yàn)法進(jìn)行分析時，首先必須計算各個因素及兩個因素之間的交互作用所對應(yīng)的F值。須注意的是，在F值的計算中，不同的模型所對應(yīng)的F值的計算方法不一樣。模型根據(jù)兩個因素是隨機(jī)因素還是固定因素決定。當(dāng)兩個因素都是固定因素時，模型是固定模型；當(dāng)兩個因素都是隨機(jī)因素時，模型是隨機(jī)模型；當(dāng)兩個因素中只有一個因素為隨機(jī)因素時，模型為混合模型。固定因素的水平是完全可以控制的，如溫度、壓力、濃度等，這時候?qū)υ囼?yàn)結(jié)果所帶來的影響也是固定的，故稱為固定效應(yīng)。隨機(jī)因

14、素是指其試驗(yàn)水平可由許多可能的水平中隨機(jī)抽取。例如：某試驗(yàn)室有10人和10臺同樣型號的儀器，現(xiàn)需考察人員和儀器這兩個因素對測試結(jié)果的影響，因此隨機(jī)從10人中抽取3人，隨機(jī)從10臺儀器中抽取3臺，構(gòu)成了雙因素三水平試驗(yàn)，很顯然，這兩個因素都是隨機(jī)因素。 固定因素所考察的因素水平，也是該因素的全部水平，由試驗(yàn)所得到的結(jié)論只是針對所試驗(yàn)過的因素水平而言的，而不能由已有水平的試驗(yàn)結(jié)果從統(tǒng)計上去推斷該因素未經(jīng)試驗(yàn)的其他水平的效應(yīng)。應(yīng)該指出的是，不能根據(jù)已有的試驗(yàn)結(jié)果從統(tǒng)計上去進(jìn)行推斷，這并不妨礙人們從專業(yè)的角度去做某些推斷。 隨機(jī)因素由于所考察的水平是隨機(jī)抽取的，因而由試驗(yàn)結(jié)果所得到的紹論都是被抽樣總體

15、的結(jié)論，可以由已試驗(yàn)過的樣本效應(yīng)從統(tǒng)計上去推導(dǎo)未經(jīng)試驗(yàn)的其他樣本的效應(yīng)。F檢驗(yàn)若FAF （dfA,dfe)，則認(rèn)為因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響； 若FBF （dfB,dfe)，則認(rèn)為因素B對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；若FABF （dfAB,dfe)，則認(rèn)為交互作用AB對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響。重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表2.2.3 Excel在雙因素方差分析中的應(yīng)用 （1）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)方差分析利用“分析工具庫”中的“無重復(fù)雙因素方差分析”工具（2）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析利用“分析工具庫”中的“重復(fù)雙因素方差分析”工具 2.3 正交試驗(yàn)設(shè)計結(jié)果的方差分析法 能

16、估計誤差的大小 能精確地估計各因素的試驗(yàn)結(jié)果影響的重要程度2.3.1 方差分析的基本步驟與格式 設(shè)：用正交表Ln(rm)來安排試驗(yàn) 試驗(yàn)結(jié)果為yi（i=1,2,n） （1）計算偏差平方和 總偏差平方和 設(shè)：各因素引起的偏差平方和 第j列所引起的偏差平方和 ：因此：試驗(yàn)誤差的偏差平方和 方差分析時，在進(jìn)行表頭設(shè)計時一般要求留有空列，即誤差列 誤差的偏差平方和為所有空列所對應(yīng)偏差平方和之和 ： 交互作用的偏差平方和 若交互作用只占有一列，則其偏差平方和就等于所在列的偏差平方和SSj 若交互作用占有多列，則其偏差平方和等于所占多列偏差平方和之和， 例：r=3時 （2）計算自由度總自由度 ：dfTn1

17、任一列偏差平方和對應(yīng)的自由度 ： dfjr1交互作用的自由度 ：（以AB為例）dfABdfA dfBdfAB( r1 )dfj若r 2， dfABdfj若r 3， dfAB 2dfj= dfA dfB誤差的自由度： dfe空白列自由度之和（3）計算均方以A因素為例 ：以AB為例 ：誤差的均方： 注意：若某因素或交互作用的均方MSe，則應(yīng)將它們歸入誤差列計算新的誤差、均方 例：若MSA MSe 則：（4）計算F值各均方除以誤差的均方，例如： （5）顯著性檢驗(yàn)例如：若 ，則因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響 若 ，則交互作用AB對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響 （6）列方差分析表 2.3.2 二水平正交試驗(yàn)的方差分析

18、 正交表中任一列對應(yīng)的偏差平方和： 例6-92.3.3 三水平正交試驗(yàn)的方差分析 r=3，所以任一列的偏差平方和： 例6-10注意： 交互作用的方差分析 有交互作用時，優(yōu)方案的確定2.3.4 混合水平正交試驗(yàn)的方差分析 (1)利用混合水平正交表 注意：不同列的有關(guān)計算會存在差別 例6-11(2) 擬水平法 注意：有擬水平的列平方和的計算誤差平方和的計算誤差自由度的計算例6-12實(shí)驗(yàn)方法與數(shù)據(jù)處理的基本概念1試驗(yàn)指標(biāo)在試驗(yàn)設(shè)計和數(shù)據(jù)處理中，我們通常根據(jù)試驗(yàn)和數(shù)據(jù)處理的目的而選定用來考察或衡量其效果的特性值稱為試驗(yàn)考察指標(biāo)。試驗(yàn)考察指標(biāo)可以是產(chǎn)品的質(zhì)量、成本、效率和經(jīng)濟(jì)效益等。試驗(yàn)考察指標(biāo)分為定量

19、指標(biāo)和定性指標(biāo)兩大類。定最化指際(如精度、粗糙度、強(qiáng)度、硬度、合格率、壽命和成本等)可以通過試驗(yàn)直接獲得、它方便計算和數(shù)據(jù)處理。而定性指標(biāo)(如顏色氣味、光澤等)不是具體數(shù)值，一般要定量化后再進(jìn)行計算和數(shù)據(jù)處理。 試驗(yàn)考察指標(biāo)可以是一個，也可以是幾個，前者稱為單考察指標(biāo)試驗(yàn)，后者稱為多考察指標(biāo)試驗(yàn)設(shè)計。 2試驗(yàn)因素 對試驗(yàn)考察指標(biāo)產(chǎn)生影響的原因或要素稱為試驗(yàn)因素。例如在合金鋼40Cr的淬火試驗(yàn)中淬火硬度與淬火溫度(如770、800、850 )和冷卻方式(如水冷、油冷、空冷）有關(guān)。其中淬火溫度和冷卻方式是試驗(yàn)因素而淬火硬度是試驗(yàn)考察指標(biāo)。 除上述的試驗(yàn)因素外，在試驗(yàn)過程中由于測量、儀器和環(huán)境條件等

20、影響也會影響到試驗(yàn)考察指標(biāo)，稱這類因素為誤差因素。因素一般用大寫字母A、B、C、來標(biāo)記。3因素水平 試驗(yàn)因素在試驗(yàn)中所處的狀態(tài)、條件的變化可能會引起試驗(yàn)指標(biāo)的變化，我們把因素變化的各種狀態(tài)和條件稱為因素的水平。在試驗(yàn)中需要考慮某因素的幾種狀態(tài)時則稱該因素為幾水平因素。如上例40Cr的淬火試驗(yàn)中淬火溫度為770、800、850三種狀態(tài)則淬火溫度這個試驗(yàn)因素為三水平因素。因素的水平應(yīng)是能夠直接被控制的并且水平的變化能直瓦接影響試驗(yàn)考察指標(biāo)有不同程度的變化。水平通常用數(shù)字1、2、3表示。實(shí)驗(yàn)設(shè)計的基本原則隨機(jī)化原則：每個處理以概率均等的原則，隨機(jī)地選擇實(shí)驗(yàn)單元。重復(fù)原則：獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)、重復(fù)測量對照原