2022年《高等數(shù)學AⅡ》期末試卷-A卷答案

1、下學期期末考試高等數(shù)學A（試卷編號： A）參考答案與評分標準一、填空題 （本大題共10 小題 10 空,每空 2 分,共 20 分）P1 3.45o1.4 2.x31y12z或x34y11z3336.14.x12y32z2214 5.1,2, 247. 2 sin 2ydx2x2cos2ydy8. 1 29. 10. 12x2 2L2 nL2.n.二、單項挑選題（挑選正確答案的字母填入下表,本大題共 6 小題,每道題 3 分,共 18 分）1. C 2.A 3.A 4.B 5.D 6.B,錯誤的打“ ”,每道題 2 分,三、判定題：（本大題5 小題,在括號內(nèi)正確的打“ ”共 10 分）1. 2

2、. 3. 4. 5.四、運算題（本大題共 5 小題,每道題 6 分,共 30 分）1. 求函數(shù) z x y ln xy 當 x 1, y 1 時的全微分 dz.解：zyx y 1 1,z 2 . . 2 分x x x 1.1zx yln x 1,z1 . 2 分 y y y 1.1所以 dz 1.1 2 dx dy . 2 分 22. 設(shè) z e xcos y x sin y ,求二階偏導(dǎo)數(shù) z2 . y解：ze x sin y x cos . 3 分y2z x2 e cos y x sin y . . 3 分y第 1 頁 （共 3 頁）3. 運算3 xy d,其中 D 是由拋物線y2 x 及

3、直線 yx 所圍成的閉區(qū)域；D解一：把區(qū)域D 視為 X型區(qū)域,x解二：把區(qū)域D 視為 Y型區(qū)域3 xy d3 xy dDD1dxx3 xy dy 3 分 1dyyy3 xy dx . 3 分ox2o11 5 oxx dx 911 oy4y5dy421 3 分 1 . . 3 分 60604.運算x2y2dv,其中是由圓柱面2y28與平面z0,z3所圍成的閉區(qū)域；解 積分區(qū)域在 xoy坐標面上的投影區(qū)域為D xy:2 xy28,利用柱面坐標,得x2y2dvn2d223 r dr3dz . . 4 分0003 21r4225. 求冪級數(shù)n1xn4096 . 2 分 的收斂半徑和收斂域；n31解：由

4、于 lim n aa nn 1 lim n n 1 31 n 113 . . 2 分nn 3所以收斂半徑 R 13 . 1 分 n又由于當 x 3 時,級數(shù)成為 1,此級數(shù)收斂 . . . 1 分 n 1 n當 x 3 時,級數(shù)成為 1,此級數(shù)發(fā)散 . . . 1 分n 1 n所以收斂域為 3,3 . 1 分 第 2 頁 （共 3 頁）五、應(yīng)用與證明 本大題共 3 小題,第 1、2 小題每題 7 分,第 3 小題 8 分,共 22 分 1. 求曲面 e zz xy 3 在點 2,1,0 處的切平面方程與法線方程；解：設(shè) F x y z , , e zz xy 3 . 1 分就曲面在點 2,1,

5、0 處的切平面的法向量為：r zn F x , F y , F z 2,1,0 , , y x e 1 2,1,0 1,2,0 . 2 分所以曲面在點 2,1,0 處的切平面方程為：1 x 2 2 y 1 0 , 即 x 2 y 4 0 . . 2 分法線方程為：x2y21z .（ 2 分）1 2. 要修建一個表面積為02 36m 的長方體水箱（有蓋） ,問長、寬、高各取怎樣的尺寸時,水箱的體積最大,最大體積是多少？解：設(shè)水箱的長、寬、高各為 x 、 y 、 z ,就水箱的表面積可表示為：2 xy 2 yz 2 zx 36 附加條件 水箱的體積： v xyz .2 分 作拉格朗日函數(shù)：L x y z , , xyz 2 xy 2 yz 2 zx 36L x yz 2 y z 0L y xz 2 x z 0由方程組 . . 3 分 L z xy 2 x y 02 xy 2 yz 2 zx 36解得 x y z 6（駐點唯獨） . 所以當長、寬、高都等于 6 時,即水箱為正方體時,水箱的體積最大為 6 6 . 2 分 y z z3.設(shè) z xy xF u ,而 u,F u 為可導(dǎo)函數(shù),證明：x y z xy . x x y證明：由于 zy F u xF uy F