北京大學(xué)量子力學(xué)課件第講

1、 第 二 十 一講 I. 平均值，本征方程和薛定諤方程的矩陣 形 式。 （1）平均值：力學(xué)量 在體系（處于態(tài) ）中的平均值為 1 是 在 中的表示。 若 包括力學(xué)量 2 B. 對于兩個算符乘積的平均值（2）本征方程：算符的本征方程在 表象為 3 從而有 要方程組有非零解，即 不全為 ，則要求系數(shù)行列式為 ，即 4由這求出 . 然后代入方程組求出相應(yīng)的 （3） 薛定諤方程 在 表象中，基矢為 ，則5 這即為 表象中的薛定諤方程的矩陣形式。 若 不顯含 ，而 表象就是 表象，則 從而得 6 當 不顯含t，在 表象中 的表示為7 ， 由初態(tài)給出（它是 時， 在 表象中表示） ，由 在任一表象中 求出

2、。 8 . 量子態(tài)的不同描述 波函數(shù)和算符不是直接觀測量. 僅力學(xué)量取值，及其幾率分布（或幾率）是直接觀測量。 因此，重要的是： 可能取的值 測量 取 的幾率振幅 9 A. 薛定諤繪景 （Schrodinger Picture） 若 不顯含 ，則 10 所以，這一變換是一幺正變換 而本征方程 若 不顯含 ，那 ， 也與 無關(guān) 時刻，測量 取值 的幾率振幅為11 在薛定諤繪景的描述中，態(tài)矢量隨 t 的變 化，反映在它的表示隨 t 的變化。而力學(xué)量的本征值及本征矢不隨 t 變化。12 B.海森堡繪景 （Heisenberg Picture） 1. 態(tài)矢量 2. 算符和本征方程 13 本征值相同，基

3、矢隨時間演化 對易關(guān)系保持不變 14 3. 算符隨時間變化（運動方程） 不顯含 15 這時16 4. 本征矢隨 t 變化 17 這表明，在H.P.中態(tài)矢量不隨 t 變 ，而相應(yīng)的本征矢沿一定方向反“轉(zhuǎn)動”18將算符方程 用于 ，19 例：求H.P.中一維諧振子的坐標算符和動 量算符。 20顯然， 21 但 22第七章 自旋 在討論電子在磁場中的運動時，我們發(fā)現(xiàn)電子具有軌道磁矩。 如有外場存在，則這一軌道磁矩所帶來的 附加能量為 23 如 在 方向24 顯然 是量子化的，它取 個值 在較強的磁場下（ ），我們發(fā)現(xiàn)一些類氫離子或堿金屬原子有正常塞曼效應(yīng)的現(xiàn)象，而軌道磁矩的存在，能很好地解釋它。 但

4、是，當這些原子或離子置入弱磁場 1T的環(huán)境中，或光譜分辨率提高后，發(fā)現(xiàn)問題并不是那么簡單，這就要求人們進一步探索。 257.1 電子自旋存在的實驗事實（1）Stern-Gerlach實驗（1922年） 當一狹窄的原子束通過非均勻磁場時，如果原子無磁矩，它將不偏轉(zhuǎn)；而當原子具有磁矩，那在磁場中的附加能量為 如果經(jīng)過的路徑上，磁場在Z方向上有梯度即不均勻，則受力 26 從經(jīng)典觀點看 取值（從 ）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值 所以原子應(yīng)分布在一個帶上。 但Stern-Gerlach發(fā)現(xiàn)，當一束處于基態(tài)的27銀原子通過這樣的場時，僅發(fā)現(xiàn)分裂成二束，即僅二條軌道（兩個態(tài)）。 28 而

5、人們知道，銀原子（ ）基態(tài) ，所以沒有軌道磁矩. 而分成二個狀態(tài)（二個軌道），表明存在磁矩，這磁矩在任何方向上的投影僅取二個值。只能是電子本身的（核磁矩可忽），這磁矩稱為內(nèi)稟磁矩 。與之相聯(lián)系的角動量稱為電子自旋，它是電子的一個新物理量，也是一個新的動力學(xué)變量。（2）電子自旋存在的其他證據(jù) A堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu) 原子光譜中有一譜線，波長為5893。29但精細測量發(fā)現(xiàn)，實際上，這是由兩條譜線組成 這一事實，從電子具有三個自由度是無論 如何不能解釋 。B反常塞曼效應(yīng)（Anomalous Zeeman effect） 原子序數(shù) 為奇數(shù)的原子，其多重態(tài)是偶數(shù)， 在弱磁場中分裂的光譜線條數(shù)為偶如鈉 和

6、 的兩條光譜線，在弱磁場中分裂為 條和 條。這種現(xiàn)象稱為反常塞曼效應(yīng)。 3031 C在弱磁場中，能級分裂出的多重態(tài)的相 鄰能級間距，并不一定為 ，而是 。 對于不同能級， 可能不同，而不是簡單為( 稱為 因子 )。 根據(jù)這一系列實驗事實，G. Uhlenbeck）（烏倫貝克）和 S.Goudsmit（古德斯密特）提出 假設(shè) 電子具有自旋 ，并且有內(nèi)稟磁矩 ，它們有關(guān)系 32 電子自旋在任何方向上的測量值僅取兩個值 ，所以 以 為單位，則 （而 ）33 現(xiàn)在很清楚，電子自旋的存在可由Dirac提出的電子相對論性理論自然得到。 考慮到輻射修正 34 7.2 自旋微觀客體的一個動力學(xué)變量 (1) 電

7、子的自旋算符和它的矩陣表示 由于電子具有自旋，實驗發(fā)現(xiàn)，它也具有內(nèi)稟磁矩35 假設(shè)： 自旋算符 有三個分量，并滿足角動量所具有的對易關(guān)系 A. 對易關(guān)系 B. 由于它在任意方向上的分量測量僅取二個數(shù)值 ，所以36 于是 是一常數(shù) C.矩陣形式 由于其分量僅取二個數(shù)值，也即本征值僅二37 個，所以 可用 矩陣表示。 若選 作為力學(xué)量完全集，即取 表象，那 在自身表象中的表示自然為對角矩陣，而對角元就是它的本征值 38相應(yīng)的本征矢其對應(yīng)的表示為， 在 表象中 的矩陣表示 39 我們知道，這只要將 作用于 的基矢并以 基矢展開，從展開系數(shù)來獲得. 由 因此 40 和 標積41 同理可得 42 得系數(shù)矩陣為 轉(zhuǎn)置得43系數(shù)矩陣為 轉(zhuǎn)置得對于 在 方向上的分量為 4445則本征矢 46 Pauli Operator；為方便起見，引入泡利算符 于是，在 表象中有（或稱Pauli表象） 47稱為泡利矩陣由此得 48 于是有 例求 的本征值，本征矢在