1.1 微分方程的基本概念

1、常微分方程Ordinary Differential Equation主講教師：文 武 副教授（碩士） 教務(wù)處副處長(zhǎng)E-mail: 手機(jī)湖校區(qū)辦公室電話： 2790064蓮湖校區(qū)行政樓辦公室： 2012教材 (Text Book): 常微分方程(第三版）常微分方程，(第二版）（97年國(guó)家教委一等獎(jiǎng)）， 王高雄等編（中山大學(xué)), 高教出版社。參考書目 (Reference) 常微分方程及其應(yīng)用方法、理論、建模、計(jì)算機(jī) 周義倉(cāng)、靳禎、秦軍林 編著 （科學(xué)出版社） 常微分方程 都長(zhǎng)清、焦寶聰?shù)?編著 首都師范大學(xué)出版社 學(xué)習(xí)常微分方程的目的是用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解

2、析幾何等的知識(shí)，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問題，使學(xué)生學(xué)會(huì)和掌握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時(shí)，通過這門課本身的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些基本方法，初步了解當(dāng)今自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的一些非線性問題，為他們將來從事相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作培養(yǎng)興趣，做好準(zhǔn)備。 課程評(píng)分方法 試卷成績(jī)(70%)+作業(yè)成績(jī)（20%）+考勤（10%）=該門課程總成績(jī)二、如何學(xué)習(xí)常微分方程 ?1. 課前預(yù)習(xí), 培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.聰明在于學(xué)習(xí) , 天才在于積累 .學(xué)而優(yōu)則用 , 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) .由薄到厚

3、, 由厚到薄 .馬克思 一門科學(xué), 只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能達(dá)到真正完善的地步 .華羅庚2. 認(rèn)真聽課，養(yǎng)成正確的學(xué)習(xí)習(xí)慣.3. 課后復(fù)習(xí)，鍛造扎實(shí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).常微分方程緒論 常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是人們解決各種實(shí)際問題的有效工具，它在幾何、力學(xué)、物理、電子技術(shù)、航空航天、生命科學(xué)、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域等都有廣泛的應(yīng)用。一、微分方程的發(fā)展歷史 方程對(duì)于學(xué)過中學(xué)數(shù)學(xué)的人來說是比較熟悉的；在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來，列出包含一個(gè)未知數(shù)或幾個(gè)未知數(shù)的一

4、個(gè)或者多個(gè)方程式，然后取求方程的解。 在實(shí)際工作中，常常出現(xiàn)一些特點(diǎn)和以上方程完全不同的問題。比如：某個(gè)物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時(shí)間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等，研究這些問題所建立的數(shù)學(xué)方程不僅與未知函數(shù)有關(guān)，而且與未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，這就是我們要研究的微分方程。解這類問題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來，從列出的包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式即求解微分方程。 牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布貝努利、歐拉、

5、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。 微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，在公元17世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過微分方程的近似解。 常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。同時(shí)，數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。 牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算

6、出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量。二、微分方程的研究方法研究微分方程的一般五種方法1、利用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式來導(dǎo)出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等積分求通解的是非常少的，因此，人們轉(zhuǎn)而研究特解的存在性問題。2、利用數(shù)學(xué)分析或非線性分析理論來研究微分方程解的存在性、延展性、解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性問題。3、微分方程解析理論 由于絕大多數(shù)微分方程不能通過求積分得到，而理論上又證明了解的存在性，因此，人們將未知函數(shù)（即解）的表示成級(jí)數(shù)形式，并引進(jìn) 特殊函數(shù)，如，橢圓函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等，并使微分方

7、程和函數(shù)論及復(fù)變函數(shù)聯(lián)系起來，產(chǎn)生了、微分方程解析理論。5、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論 1900年，希爾波特提出的23個(gè)問題中的第16個(gè)問題之一，至今未解決。三、微分方程的講授內(nèi)容（學(xué)時(shí)：76學(xué)時(shí)）1、基本概念 2 、 一階微分方程3、二階微分方程 4、 微分方程組四、微分方程的教材特點(diǎn)4、微分方程的數(shù)值解法 1.1 微分方程的概念與實(shí)例 1.2 解的存在唯一性 1.3 一階微分方程的向量場(chǎng)本章主要內(nèi)容第一章 引 論 本章主要介紹微分方程的有關(guān)概念，解的存在唯一性問題及一階微分方程的向量場(chǎng)，同學(xué)們應(yīng)著重掌握微分方程的一些基本概念: 解、通解、特解、階數(shù)、初值條件等；解的存在唯一性定理；了解一階

8、微分方程的向量場(chǎng)，并熟悉MAPLE軟件，會(huì)使用MAPLE軟件解決本章出現(xiàn)的一些問題。1、單種群增長(zhǎng)模型（Logistic 方程） 一、 導(dǎo)出微分方程的一些實(shí)例 1.1 微分方程的概念2、數(shù)學(xué)單擺模型凡含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。例如：1 ）如果微分方程中未知數(shù)只依賴于一個(gè)自變量，稱為常微分方程。例如：二、 微分方程的基本概念2 ）如果微分方程中未知數(shù)依賴于兩個(gè)或更多的自變量，稱為偏微分方程。例如：注：我們不特別聲明，就稱常微分方程為微分方程或方程。方程的階數(shù)：一個(gè)微分方程中，未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為方程的階數(shù)。如果一個(gè)微分方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)

9、數(shù)都是線性的，則稱它為線性微分方程，否則稱之為非線性微分方程。一般的n階微分方程的形式為：其中：的已知函數(shù)。例如：是二階非線性微分方程。是變量解和隱式解：為方程的解。將其代入方程后，能使它變成恒等式，則稱函數(shù)若關(guān)系式?jīng)Q定的隱函數(shù)是為方程的隱式解。上述方程解稱設(shè)例：有隱式解（任意常數(shù)）上的解。例：是在是在上的解。是定義在區(qū)間（a,b）上的n階可微函數(shù)，把含有 n 個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)稱為n 階方程的通解。的解n 階方程的通解：若存在的一個(gè)鄰域，使得則稱含有n個(gè)相互獨(dú)立的常數(shù)。例：是的通解。因?yàn)槎亟猓涸谕ń庵写_立了一組任意常數(shù)后所得的解稱 為特解。定解條件：為了確定微分方程的一個(gè)特定的解，我們通

10、常給出這個(gè)解所必需滿足的條件，這就是定解條件常見的定解條件是初始條件。是指如下的 n 個(gè)條件：的初始條件所謂 階微分方程其中是給定的 個(gè)常數(shù)。求微分方程滿足定解條件的解就是所謂的定解問題。當(dāng)定解條件為初始條件時(shí)，相應(yīng)的定解問題也就為初值問題。例：驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解。滿足初始條件的解為微分方程的特解。初始條件不同，對(duì)應(yīng)的特解也不同。解：求出所給的函數(shù)導(dǎo)數(shù)把及的表達(dá)式代入方程，得因此，函數(shù)是微分方程的解。內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的基本概念線性微分方程， 非線性微分方程常微分方程，偏微分方程，微分方程的階p16. 8, 9(2,4,6)初始條件作 業(yè)微分方程的解，通解，特解牛頓(1642 1727

11、)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家 , 物理學(xué)家, 天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù) (微分) 術(shù) ,次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)一書 (1736年出版).他還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和廣義算術(shù)等 .萊布尼茲(1646 1716)德國(guó)數(shù)學(xué)家, 哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人 , 他在學(xué)藝雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓, 所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓 . 他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī) , 系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法 ,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來 .( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 伯努利(1654 1705)瑞士數(shù)學(xué)家, 位數(shù)學(xué)家. 標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式, 1695年 版了他的巨著猜度術(shù),上的一件大事, 而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孫三代出過十多 1694年他首次給出了直角坐 1713年出 這是組合數(shù)學(xué)與概率論史此外, 他對(duì)雙紐線, 懸鏈線和對(duì)數(shù)螺線都有深入的研究 .歐拉 (1707 1783)瑞士數(shù)學(xué)家. 他寫了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典著作, 如無窮小分析引論 , 微 還寫了大量力學(xué), 幾何學(xué), 變分法教材. 他在工作期間幾乎每年都完成 800 頁(yè)創(chuàng)造性的論文. 他的最大貢獻(xiàn)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域, 要分