大地測量學(xué)基礎(chǔ)1(7)控制

1、第七章 橢球面上的測量計(jì)算7.1 地球橢球的基本幾何參數(shù) 及其相互關(guān)系7.1.1 地球橢球的基本幾何參數(shù)(線,面,橢圓)(緯圈)赤道1決定旋轉(zhuǎn)橢球的性狀和大小的五個(gè)基本幾何參數(shù)(或稱元素) 橢圓的長半徑: 橢圓的短半徑: 橢圓的扁率: 橢圓的第一偏心率: 橢圓的第二偏心率: :橢球的焦距2為簡化書寫，常引入以下符號：此外，還有兩個(gè)常用的輔助函數(shù)：37.1.2 地球橢球參數(shù)的相互關(guān)系47.2 橢球面上的常用坐標(biāo)系 及其相互關(guān)系7.2.1 各種坐標(biāo)系的建立1.大地坐標(biāo)系 大地經(jīng)度B 大地緯度L 大地高H 52.空間直角坐標(biāo)系當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)位在總地球橢球(或參考橢球)質(zhì)心時(shí)，此時(shí)稱為地心(或參心)空間直

2、角坐標(biāo)系，Z軸與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn);X軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺所決定的子午面與赤道面的交點(diǎn)Ge,而Y軸與此平面垂直，且指向東為正。 63.子午面直角坐標(biāo)系設(shè)P點(diǎn)的大地經(jīng)度為L，在過P點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立x,y平面直角坐標(biāo)系。 在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用L,x,y表示。 74.天文坐標(biāo)系 天文坐標(biāo)系是以鉛垂線為依據(jù)建立起來的。在這個(gè)坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的坐標(biāo)用天文經(jīng)度及天文緯度表示。所謂天文緯度是P點(diǎn)的鉛垂線與地球赤道面形成的銳角，天文經(jīng)度是天文起始子午面同過P點(diǎn)的天文子午面之間形成的二面角，此時(shí)的天文子午面系指過P點(diǎn)的鉛垂線和地球旋轉(zhuǎn)

3、軸組成的平面。 85.地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系 設(shè)橢球面上P點(diǎn)的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點(diǎn)建立地心緯度坐標(biāo)系; 以橢球長半徑a為半徑作輔助圓，延長與輔助圓相交點(diǎn)，則OP與x軸夾角稱為P點(diǎn)的歸化緯度u。96.站心地平坐標(biāo)系 大地站心地平坐標(biāo)系是以測站法線和子午線方向?yàn)橐罁?jù)的坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)可用(x,y,z)或(S,A,Z)表示。 天文站心地平坐標(biāo)系由垂線，真地平面及天文子午面所決定。 107.2.2 各種坐標(biāo)系間的關(guān)系1.子午平面坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系1112子午平面直角坐標(biāo)系同歸化緯度 坐標(biāo)系的關(guān)系 由圖可知: 13子午平面直角坐標(biāo)系同地心緯度 坐標(biāo)系的關(guān)系 由圖可知:

4、而: 142.空間直角坐標(biāo)系同子午平面直角坐標(biāo)系的關(guān)系153.空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系圖中:1617則:18 當(dāng)已知P點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)的大地坐標(biāo)時(shí),對大地經(jīng)度L有大地緯度B的計(jì)算比較復(fù)雜,通常采用迭代法:或:19迭代時(shí)可取: 用 的初值計(jì)算 和 ,按 進(jìn)行第二次迭代,直到最后兩次 值之差小于允許誤差為止。 當(dāng)已知大地緯度 時(shí)，按下式計(jì)算大地高 或204.空間直角坐標(biāo)系同歸化緯度坐標(biāo)系的關(guān)系21 5.大地緯度 ，歸化緯度 ，地心緯度 之間的 關(guān)系 和 之間的關(guān)系 22 和 之間的關(guān)系 和 之間的關(guān)系 大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過計(jì)算，當(dāng)B=45時(shí)237.3 橢

5、球面上的幾種曲率半徑 過橢球面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線。 包含橢球面一點(diǎn)的法截可作無數(shù)多個(gè)法截面相應(yīng)有無數(shù)多個(gè)法截線。橢球面上法截線曲率半徑不同于球面上的法截線曲率半徑都等于圓球的半徑,而是不同方向的法截線曲率半徑都不相同。因此本節(jié)首先研究子午線及卯酉線的曲率半徑，在此基礎(chǔ)上再研究平均曲率半徑及任意方向的曲率半徑。247.3.1 子午曲率半徑2526277.3.2 卯酉曲率半徑 過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。 圖中PEE即為過P點(diǎn)的卯酉圈。卯

6、酉圈曲率半徑用N表示。28 麥尼爾定理:假設(shè)通過曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。即： 而：所以： 也可以寫成：由圖可看出：29卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。 30主曲率半徑的計(jì)算 以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。3132將克拉索夫斯基橢球元素值代入得各系數(shù)33將1975年國際橢球元素值代入得各系數(shù)34也可以寫成：35則式中：36將克

7、拉索夫斯基橢球元素值代入得各系數(shù)37將1975年國際橢球元素值代入得各系數(shù)387.3.3 任意法截弧的曲率半徑 39不僅與點(diǎn)的緯度B有關(guān)，而且還與過該點(diǎn)的法截弧的方位角A有關(guān)。當(dāng)時(shí)，變?yōu)橛?jì)算子午圈曲率半徑的，即；當(dāng)90時(shí)，為卯酉圈曲率半徑，即。主曲率半徑M及N分別是的極小值和極大值。 40當(dāng)A由090時(shí)，之值由，當(dāng)A由90180時(shí)，值由N，可見值的變化是以90為周期且與子午圈和卯酉圈對稱的。7.3.4 平均曲率半徑 或 橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑R等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率半徑N的幾何平均值。 417.3.5 M，N，R的關(guān)系42對于克拉索夫斯基橢球437.4 橢球面上的弧長計(jì)算

8、7.4.1 子午線弧長計(jì)算公式 444546克拉索夫斯基橢球子午弧長計(jì)算公式 1975年國際橢球子午弧長計(jì)算公式47如果以B90代入，則得子午橢圓在一個(gè) 象限內(nèi)的弧長約為10 002 137m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個(gè)弧長約為40 008 549.995m。即一象限子午線弧長約為10 000km，地球周長約為40 000km。 為求子午線上兩個(gè)緯度B及間的弧長，只需按式分別算出相應(yīng)的X及X，而后取差：，該即為所求的弧長。48當(dāng)弧長甚短(例如X40km，計(jì)算精度到0.001m)，可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點(diǎn)的子午圈的曲率半徑M49由子午弧長求大地緯度迭代解法: 507.4.2

9、平行圈弧長公式51子午線弧長和平行圈弧長變化的比較527.5 將地面觀測值歸算至橢球面 觀測的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。 歸算的兩條基本要求：以橢球面的法線為基準(zhǔn)；將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。 537.5.1 將地面觀測的水平方向歸算至 橢球面 將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)改正為三差改正。 (1)垂線偏差改正54以測站A為中心作出單位半徑的輔助球,u是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以，表示，M是地面觀測目標(biāo)m在球面上的投影。 垂線偏差對水平方向的影響是(R-R) 55(2)標(biāo)高差改正 56(3)截面差改正 57