計算工具的發(fā)展

1、計算工具的發(fā)展計算工具Calculating Devices 是計算時所用的器具或輔助計算的實物。 人們從數學產生之日，便不斷尋求能方便進行和加速計算的工具。因此，計算 和計算工具是息息相關的。由于時代的限制，不發(fā)達的交通阻礙了東西方文化的交流。因此計算工具 在東西方的發(fā)展也相對獨立。計算工具在東方的發(fā)展基本是中國計算工具的發(fā) 展中國古代最早的記數方法是結繩。所謂結繩記數，就是在一根繩子上打結來 表示事物的多少。比結繩記數稍晚一些，古代的先民又發(fā)明了契刻記數的方法， 即在骨片、木片或竹片上用刀刻上口子，以此來表示數目的多少。在中國歷史上，結繩記數和契刻記數的方法大約使用了幾千年時間，到新 石器

2、時代的晚期，才逐漸地被數字符號和文字記數所代替。最晚到商朝時，我 國古代已經有了比較完備的文字系統，同時也有了比較完備的文字記數系統。 在商代的甲骨文中，已經有了一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、 千、萬這13個記數單字，而有了這13個記數單字，就可以記錄十萬以內的 任何自然數。中國春秋時代就出現了”算籌”根據史書的記載和考古材料的發(fā) 現，古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子，一般長為13-14cm， 徑粗0.20.3cm，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制 成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個布袋里，系在腰部隨身攜帶。需要 記數和計算的時候，就把它們取出

3、來，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。別看 這些都是一根根不起眼的小棍子，在中國數學史上它們卻是立有大功的。在算籌計數法中，以縱橫兩種排列方式來表示單位數目的，其中1-5均分 別以縱橫方式排列相應數目的算籌來表示，6-9則以上面的算籌再加下面相應的 算籌來表示。表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用 橫式，以此類推，遇零則置空。這種計數法遵循十進位制。那么為什幺又要有 縱式和橫式兩種不同的擺法呢？這就是因為十進位制的需要了。按照中國古代 的籌算規(guī)則，算籌記數的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱 式，千位再用橫式，萬位再用縱式這樣從右到左，縱橫相間，以此類推， 就可以用

4、算籌表示出任意大的自然數了。由于它位與位之間的縱橫變換，且每 一位都有固定的擺法，所以既不會混淆，也不會錯位。算籌的出現年代已經不可考，但據史料推測，算籌最晚出現在春秋晚期戰(zhàn) 國初年（公元前722年公元前221年），一直到算盤發(fā)明推廣之前都是中國最 重要的計算工具。人們發(fā)明了算盤，并在15世紀得到普遍采用，取代了算籌。 它是在算籌基礎上發(fā)明的，比算籌更加方便實用，同時還把算法口訣化，從而 加快了計算速度。古代算籌記數的擺法縱 式II III IIIIIIIIITT1nn橫_一一11式MM 1| 23456789算盤是一種計算工具，在阿拉伯數字出現前廣為使用的計算工具。現存的算盤 形狀不一、材質

5、各異。一般的算盤多為木制（或塑料制品），矩形木框內排列一 串串等數目的算珠，中有一道橫梁把珠分隔上下兩部分，上部代每算珠代表5, 下半部代表1，其形式有二：-上半部兩算珠、下半部五算株（傳統“一斤十六兩”進制）-上半部一算珠，下半部四算株（才會使用十進制）用算盤計算稱珠算，珠算有對應四則運算的相應法則，統稱珠算法則。相對一 般運算來看，熟練的珠算不遜于計數機，尤其在加減法方面。根據珠算演變而來的珠心算成了速算技術的一種。中國算盤是從算籌發(fā)展而來的。隨著手工業(yè)、商業(yè)的發(fā)展，數學計算日益復雜， 撥珠的速度遠比擺算籌方便快捷多了，于是人們發(fā)明了珠算。漢末三國時期徐 岳撰的數術記遺中有述：“珠算，控帶

6、四時，經緯三才”，這是對珠算的最 早的文字記載。最早的算盤圖見北宋畫家張擇端（1085-1145）的清明上河圖長卷，卷左趙太丞家 藥鋪柜臺上帳本左手左邊，有一個15檔算盤珠算盤是中國首創(chuàng)的，并流傳到了朝鮮、日本、越南等亞洲國家，后來又經一 此商旅傳到了西方。算盤一類的計算工具很多文明古國都出現過，例如古羅馬算盤沒有位值概念， 被淘汰，俄羅斯算每柱十個算珠，計算麻煩?，F在很多國家流行的是中國式的 算盤。指法 算盤一般只用拇指、食指和中指撥珠（亦有極少數非常熟練的人五個手指都用 上的），三個手指的基本分工是：-拇指撥下珠向上靠梁。-食指撥下珠向下離梁。-中指撥上珠靠梁和離梁。至于上一下四的算盤、兩

7、個手指的基本分工是：-食指撥上珠向下靠梁。-食指撥上珠向上離梁。-食指撥下珠向下離梁。-拇指撥下珠向上靠梁。乘法口訣就是“九九歌”，同時要結合加法進行計算。除法口訣可以是“九九歌”，同時結合減法計算。別有源自籌算的“九歸訣”如下：二一添作五，逢二進一；三一三一，三二六十二，逢三進一；四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進一；五一添作二，五二添作四，五三添作六，五四添作八，逢五進一。六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進一;七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十 四，逢七進一；八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八六七十四

8、，八五六十 二，八七八十六，逢八進一；九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加 六，九七下加七，九八下加八，逢九進一。撞歸口訣撞一:見一無除作九一；-撞二:見二無除作九二；撞三:見三無除作九三；撞四:見四無除作九四； 撞五:見五無除作九五；撞六:見六無除作九六；撞七:見七無除作九七；撞八:見八無除作九八；撞九:見九無除作九九;有的文明古國也出現過算盤一類的計算工具，有的國家從中國傳入算盤以后, 對算盤的形態(tài)作了改變。羅馬算盤古羅馬曾出現過一種帶槽的金屬算盤，槽中放著石子，上下移動石子進行計 算。當時羅馬人不用十進制，也沒有數位的概念，羅馬算盤運算笨拙，最終 未能流行

9、。古羅馬人博伊斯的幾何學中亦記載了一種羅馬算盤的構造及 用法，這種算盤不用石子做算盤子，用的是標有數字的狀似錐體的圓臺做算 子，將算子放入算盤不同的檔中進行計算。日本算盤日本算盤是從中國傳入的，形態(tài)與中國算盤相似，只是橫梁上方只有一顆算 珠?，F代日本算盤則改為上一下四。用商除法而不用歸除法。同時為了使乘 除位數一致改用隔位乘。俄羅斯算盤俄羅斯算盤單純采用十進制，與中國算盤相比，沒有中間的橫梁，每檔有十 顆算珠，每個算珠表示一個單位。俄羅斯算盤撥珠速度沒有中國算盤快，計 算速度較慢，實用性較小，但它比較直觀，沒有專門口訣，容易上手?，F在， 俄羅斯算盤常用作兒童算術啟蒙教育的教具。應該說算盤使中國

10、計算工具一個偉大發(fā)明，甚至至今，然而，計算工具的發(fā)展 從此停滯不前。與西方繁多的計算工具相比，不禁令國人嘆息。西方計算工具的發(fā)展除中國外，其它的國家亦有各式各樣的計算工具發(fā)明，例如羅馬人的算 盤，古希臘人的算板，印度人的沙盤，及英國人的刻齒本片等。這 些計算工具的原理基本上是相同的，同樣是透過某種具體的物體來代表數，并 利用對物件的機械操作來進行運算。簡述一張西方計算工具的發(fā)展時間表納皮爾籌：15世紀后，格子算法通行于中亞細亞及歐洲，納皮爾籌便是 根據了格子算法的原理，但與格子算法不同的是它把格子和數字刻在籌 長條竹片或木片上，這便可根據需要拼湊起來計算。計算尺：計算尺發(fā)明于大約1620 -

11、1630年，在約翰納皮爾對數概念發(fā)表后不久。 牛津的埃德蒙甘特(Edmund Gunter )發(fā)明了一種使用單個對數刻度的計算工 具，當和另外的測量工具配合使用時，可以用來做乘除法。1630年，劍橋的William Oughtred發(fā)明了圓算尺，1632年，他組合兩把甘特式計算尺，用手合 起來成為可以視為現代的計算尺的設備。1722年,Warner引入了2-和3-十進刻 度，1755年Everard導入倒數刻度；包含所有這些刻度的算尺通常稱為“多相 算尺。第二次世界大戰(zhàn)中，需要進行快速計算的轟炸者和航行者經常使用專用算尺。美國海軍的一個辦公室實際上設計了一個通用算尺底盤,它由一個鋁主 體和塑料

12、游標，可以把賽璐珞卡片（兩面印刷）插到里面以進行特定的計算。這 個過程被發(fā)明來用于計算射程，燃料使用和飛行器高度，然后適用到很多其他 目的。從1950年代到1960年代，計算尺是工程師身份的象征，如同顯微鏡代表 了醫(yī)學行業(yè)一樣。有些工程系的學生和工程師常把10-英寸算尺別在皮帶上，或 者把一把10-或20-英寸算尺安放在家中或辦公室里做精確運算用（當然,再精確 運算,計算尺就不行了,需要一本厚厚的八位對數表），而隨身攜帶一把5-英寸袖 珍算尺。所有這一切在1970年代告終，因為微型計算器頓使算尺過時。袖珍科 學計算器（即帶有三角和對數函數的計算器）的誕生為計算尺敲響了最后的喪 鐘。1972年的

13、惠普HP-35是最早的科學計算器。機械計算機：機械式計算機是與計算尺同時出現的，是計算工具上的一大發(fā)明。席卡德 1623是最早構思出機械式計算機，他在給天文學家J.開普勒的信】1623, 1624 上描述了他發(fā)明的四則計算機，但并沒有成功制成。而能成功創(chuàng)制第一 部能計算加減法的計算機是B,帕斯卡1642，在1671年，G.W.萊布尼茨發(fā)明 了一種能作四則運算的手搖計算機，是長1米的大盒子。自此以后，經過人們 在這方面多年的研究，特別是經過L.H.托馬斯，W.奧德內爾等人的改良后，出 現了多種多樣的手搖計算機，并風行全世界。于17世紀末，這種計算機傳入了 中國，并由中國人制造了 12位數的手搖計

14、算機，獨創(chuàng)出一種算籌式手搖計算機。電子計算機：一種能依照一定的程序自動控制的計算機。19世紀初，法國的J.M.雅 卡爾發(fā)明了用穿孔卡片來控制的紡織機，1822年，英國的C.巴貝奇便根據同一 原理制成了一部能執(zhí)行計算程序的差分機，并于1834年，設計了一部完全程序 控制的分析機，可惜礙于當時的機械技術所限制而沒有制成，但已包含了現代 計算的基本思想和主要的組成部分了。此后，由于電力技術有了很大的發(fā)展， 電動式計算機便慢慢取代以人工為動力的計算機。在1880年，美國的H.霍勒里 斯與J.S.比林斯發(fā)明了電動穿孔卡片式計算機，能機械化地處理數據。后來他 們更開創(chuàng)了第一家制造電子計算機的公司一一國際商

15、業(yè)機器公司簡稱IBM。 20世紀以來，電子技術與數學得到充分的發(fā)展，電子技術的改進，為計算機提 供了物質上的基礎，而數學的發(fā)展對設計及研制新型的計算機有很大的幫助。 1941年，德國的楚澤采用了繼電器，制成了第一部通用程序控制計算機，實現 了 100多年前巴貝奇的理想。1944年，美國的艾肯亦以同一方法制成了一臺程 序控制自動數字計算機。20世紀初，電子管的出現，使計算機的改革有了新的 發(fā)展，并由于二次大戰(zhàn)的迫切的軍事需要，美國賓夕法尼亞大學和有關單位在 1946年制成了第一臺計算機外國算籌納皮爾的骨頭是一種用來計算乘法與除法，類似算盤的工具。由一個底座 及九根圓柱（方柱）組成，可以把乘法運算

16、轉為加法，也可以把除法運算轉為 減法。更為進階的用法也可以開平方根。E 72 =7 7 =7x4 =7 -3 -76 -77 -7wy pL-3rJ_?lI.L-，T-LASLT Of H油A乘法運算 舉例說明如何用納皮爾的骨頭進行乘法運算。46785399 乘以 7把編號4,6,7,8,5,3,9,9的圓柱依序放入底座。如下圖將結果相加即得到乘積（記得要進位）。46785399 乘以 96431把編號4,6,7,8,5,3,9,9的圓柱依序放入底座。將46785399乘以9,6,4,3,1分別用上述方法一條一條算出來。接著用直式加法把數字加起來。除法運算同樣舉例說明。46785399 除以

17、96431把除數(96431)編號的柱子擺入底座。如下圖所示把96431乘以1-9的結果寫出來。46785399從左邊六位開始看，下面寫上小于467853最大的96431k。用467853減96431k(此例中k=4)，得到的數字寫下面。把上面的數字移下來，如同長除法般重復進行此動作。最后得到一個比96431還小的數，為余數。如有需要，可以一直進行除法工作以得到小數點位數。1964312%必3初X4%必5%6%X7彩必0%9為96431192S6229S2933S57244S215557S5S667501777144SS67S7946785399 |9643, 3857244858212999

18、 771448 498519 482155 16364利用納皮爾的計算工具甚至可以開平方 計算尺基本概念 在其最基本的形式中，算尺用兩個對數標度來作乘法除法，這些在紙上進行時 既費時又易出錯的常見運算。用戶通過估計決定小數點在結果中的位置。在包 含加減乘除的計算中，加減在紙上進行，而耳非算尺上?；蜕系挠螛藢嶋H上，就是最基本的學生用算尺也遠遠不止兩個標度。多數算尺由三個直條 組成，平行對齊，互相鎖定，使得中間的條能夠沿長度方向相對于其他兩條滑 動。外側的兩條是固定的，使得它們的相對位置不變。有些算尺(雙面型)在 尺和滑桿的兩面都由刻度，有些在外條的單面和滑桿的兩面有刻度，其余的只 有一面有刻度

19、(單面型)。一個滑動標記有一個或多個豎直的對齊線用于在任 何一個刻度上記錄中間結果，也可用來找出不相鄰的刻度上的對應點。更復雜的算尺可以進行其他計算，例如平方根，指數，對數，和三角函數。通常，數學計算通過把滑動桿上的記號和其他固定桿上的的記號對齊來進行， 結果通過觀察桿子上的其他記號的相對位置來讀出。乘法下圖顯示了一把有兩個對數刻度的簡化算尺。也就是說，一個數字X印在每把 尺的離索引(用數字1標記)的距離和logx成正比的地方。i|i|i|i|MWI* i4 1|娜卅叫洲噸|6 |T aG r7 B 9對數把乘法和除法操作變?yōu)榧臃ê蜏p法，這要感謝log(xy) = log(x) + log(y

20、) 和log(x / y) = log(x) log(y)這兩個法則。把頂部刻度向右滑動log(x) 的距離把每個數字y (位于頂部刻度log(y)的位置)和底部刻度log(x) + log(y) 位置對齊了。因為log(x) + log(y) = log(xy),底部刻度的這個位置標記為 xy,也就是x和y的積。下面的圖示顯示了 2乘其它任何數字。上面刻度的索引 和下面刻度的2對齊 了。這把整個上刻度右移了 log(2)的距離。上刻度的數字(乘數)和下刻度上的 乘積對應。例如，上刻度的3.5和下刻度的乘積7對齊，而4和8對齊，等等，如 圖所示：yy | | |ijf隔3川|11呵和叫1啊|岬

21、0咿：岫血山川盅島操作可能會超出范圍。例如上圖顯示上刻度的7沒有任何下刻度的數字對齊， 所以它沒有給出己x的答案。在這種情況下，使用者可以把上刻度往左移一點， 乘以02而不是2,如下圖所示：= L LJ J11j 11-lllJllljkllJllll-lil l.i 1；lbLljl-Ail_:T| i |T|T j h 11 *T|卜| 111 E|l 寸|111|1頃! Il |1|股11|這里，算尺的使用者必須記得相應的調整小數點以得到最后答案。我們要找到X，但是我們實際上計算了 U -2； = 14。所以真正的答案是14而不是1.4.除法下圖顯示了 5.5/2的計算。頂部刻度的2放在

22、底部刻度5.5的上面。頂部的1就在 商2.75的上面。A 111山器,以!1；11禪.山川1%Mi流血思1：11井山博 | 丁叩巧叩中山礦唧1.卜i戶工I山|拽11 j叫；，r 丁 |* *|其他運算除了對數刻度，有些算尺還有其他數學函數刻錄在輔助刻度上。最常見的有三 角函數，通常有正弦和正切，常用對數(log10)(用于取一個乘數刻度上的值的 對數)，自然對數(ln)和指數函數(ex)刻度。有些尺包含一個畢達格拉斯刻度，用 來算三角形的邊，還有一個算圓的刻度。其它的有計算雙曲函數的刻度。在直 尺上，刻度和它們的標示是高度標準化的，主要的變化在于哪些刻度被包括進 來以及出現的次序。A, B雙-

23、十對數刻度C, D單-十對數刻度K三-十對數刻度CF, DF從丸而不是1開始的C和D刻度CI, DI, DIF倒數刻度，從右到左S用于在D刻度上找正弦和余弦T用于在D和DI刻度上找正切ST用于小角度的正弦和正切L線性刻度，和C及D刻度配合使用來找基數為10的 對數和10的冪LLn一套對數的對數刻度，用于找自然對數和指數t出州時廿川瞄、LL02 L I iiii iIh - iln-iJ!LL03邕高血仙I心u酒QF I* I* l|MHj?ill|llH 口 j p |!lll|rlllii!*l|rill l| II i|-H-ir|ll1iniG r| i iii nibhiii-iBFi

24、iiiii|ihp|s;i r | tW%. lliJTWV”爐叫”州:mn|iiiiOiii|niL|LL3 /心山叩俱了可而Wildiyilili lil iMiiili 1 Ji l.kL|?tal|11|114|11|-)111|11；|1114 .,jiiiuiiui-l-i i|H iij-i；A dllli:|llll ilnijlijlili.nlJlJ 、一把K&E 4081-3算尺的正面和反面。求根和幕有單-十（CandD）,雙-十（AandB）,和三-十（K）刻度。例如，要計算x2,我 們可以在D上找到x,從A上讀出它的平方。把這個過程反過來，我們可以計算 平方根，同樣3

25、, 1/3, 2/3,和3/2次冪都可以這樣算。在刻度上找底x的時候 必須小心，有時候會有不只一個地方出現x。例如，A刻度上有兩個9,要找9的 平方根，我們必須使用第一個9；用第二個9就會給出90的平方根。三角函數對于5.7到90度之間的角度，正弦可以通過比較S刻度和C或D找到。S刻度有 第二套角度（有時會用不同的顏色），從反方向增大，這是用來算余弦的。正切 可以通過比較T刻度和C, D刻度,或者，對于大于45的角，可以比較CI刻度。小于5.7度的角的正弦和正切可以使用ST刻度找到。反三角函數可以用相反的 過程找。對數和指數以10為底的對數和指數可以用L刻度找到，它是線性的。底是e的時候要用L

26、L 刻度。圓算尺圓算尺有兩種基本類型，一種有兩個游標，另外一種有一個活動圓盤和一個 游標。圓算尺的基本優(yōu)點在于最長的尺寸縮小到大約3倍（也就是n倍）。例如， 一把10 cm圓算尺和一把30 cm普通算尺的精度相當。圓算尺也消除了 越界 計算，因為刻度被設計為環(huán)繞的;它們從不需要在結果接近1.0的時候重定向 一尺子總是在界內的。圓算尺在機械方面更為強壯，活動更平滑而且比直算尺更精確，因為他們只依 賴于一個中央軸承。中央支撐很少脫開。軸承也避免了劃傷表面和游標。只有 最昂貴的直算尺才提供這些特性。最高精度的刻度放在最外環(huán)。高端的圓算尺不用割裂式刻度，而是對比較困 難的刻度（如雙對數刻度）采用螺線刻度。一個八英寸高級圓算尺可以有一個50英寸雙對數刻度！技術上來講，圓算尺的真正缺點在于不那幺重要的刻度離中心比較近，所以精 度較差。歷史上，圓算尺的主要缺點只是它們不是標準的。多數學