2021-2022學(xué)年遼寧省鐵嶺市六校協(xié)作體高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 【含答案】

1、2021-2022學(xué)年遼寧省鐵嶺市六校協(xié)作體高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限A由題,利用除法法則整理為的形式,即可得到復(fù)數(shù)的坐標(biāo)形式,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,故選:A本題考查復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示,考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面的位置,考查復(fù)數(shù)的除法法則的應(yīng)用2設(shè)為實(shí)數(shù)，平面向量，若，則的值為（）A4BC1DB【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式計(jì)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，解?故選：B.3中國(guó)折疊扇有著深厚的文化底蘊(yùn).如圖（2），在半圓O中作出兩個(gè)扇形OAB和OCD，用扇環(huán)形ABDC（圖中陰影部

2、分）制作折疊扇的扇面.記扇環(huán)形ABDC的面積為，扇形OAB的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面的形狀較為美觀，則此時(shí)弧CD與弧AB的長(zhǎng)度之比為（）ABCDB【分析】根據(jù)扇形的面積公式，求得兩扇形的半徑比，結(jié)合弧長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，半圓半徑為，則，所以，可得，解得，則弧CD與弧AB的長(zhǎng)度之比為.故選：B.4已知，則的值為（）ABCDD【分析】將分式化為整式后可得的值.【詳解】因?yàn)?，故即，若，則，與平方和為1矛盾，故即，故選：D.5在中，則（）ABCDD【分析】利用正弦定理求出，再利用平方關(guān)系即可得解.【詳解】解：在中，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：D.6如圖，某次帆船比賽L

3、OGO的設(shè)計(jì)方案如下：在直角三角形中挖去以點(diǎn)O為圓心，為半徑的扇形，使得扇形的面積是直角三角形面積的一半.記，則的值為（）AB2C1D4B【分析】根據(jù)扇形的面積公式得到，再根據(jù)二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；【詳解】解：依題意，解得，所以.故選：B.7在三棱錐中，平面平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為（）ABCDA【分析】由題意畫出圖形，由已知求出三棱錐外接球的半徑，代入表面積公式得答案【詳解】如圖，在等邊三角形中，取中點(diǎn)，設(shè)其中心為，由，得設(shè)的外心為，在中，由，得，則設(shè)的外接圓半徑為，則，即再設(shè)三棱錐的外接球球心為，則外接球半徑該三棱錐外接球的表面積為故選：本

4、題考查多面體外接球表面積與體積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查計(jì)算能力，是中檔題8在中，已知，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（）ABCDD【分析】由sinB=cosAsinC化簡(jiǎn)可求 cosC=0 即C=90，再由，SABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得,由，為單位向量，可得，可得,可得，則由，利用基本不等式求解最小值【詳解】中設(shè)，即，根據(jù)直角三角形可得，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得，P為直線上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得,設(shè)，則，,，則,故所求的最小值為,故選：D.本題為平面向

5、量的綜合題，考查解三角形、平面向量數(shù)量積、平面向量共線定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于綜合題，解題關(guān)鍵在于將三角形中數(shù)量關(guān)系利用向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)換，屬于較難題.二、多選題9已知，若與共線，則下列說(shuō)法正確的是（）A將的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象B函數(shù)的最小正周期為C直線是的一條對(duì)稱軸D函數(shù)在上單調(diào)遞減BC【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出，由三角函數(shù)的平移變換原則可判斷A；由可判斷B；將代入，結(jié)合余弦函數(shù)的對(duì)稱軸可判斷C；利用余弦的單調(diào)遞減區(qū)間為可判斷D.【詳解】因?yàn)榕c共線，則，所以.對(duì)于A，將的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，由余弦函數(shù)的對(duì)稱

6、軸為，故C正確；對(duì)于D，則，由余弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，余弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.故選：BC10如圖，在正四棱錐中，分別是，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論中恒成立的為（）.ABC面D面AC如圖所示，連接相交于點(diǎn)，連接，由正四棱錐性質(zhì)可得底面，進(jìn)而得到，可得平面，利用三角形的中位線結(jié)合面面平行判定定理得平面平面，進(jìn)而得到平面，隨即可判斷A；由異面直線的定義可知不可能；由A易得C正確；由A同理可得：平面，可用反證法可說(shuō)明D.【詳解】如圖所示，連接相交于點(diǎn)，連接，.由正四棱錐，可得底面，所以.因?yàn)?，所以平面，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，而，所以平面平面，所以平面

7、，所以，故A正確；由異面直線的定義可知:與是異面直線，不可能，因此B不正確；平面平面，所以平面，因此C正確；平面，若平面，則，與相矛盾，因此當(dāng)與不重合時(shí)，與平面不垂直，即D不正確.故選:AC.本題主要考查了線線平行與垂直，線面平行與垂直的判定熟練掌握線面、面面的位置關(guān)系判定定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.11下列命題中，正確的是（）A在中，B在銳角中，不等式恒成立C在中，若，則必是等腰直角三角形D在中，若，則必是等邊三角形ABD對(duì)于選項(xiàng)在中，由正弦定理可得，即可判斷出正誤；對(duì)于選項(xiàng)在銳角中，由，可得，即可判斷出正誤；對(duì)于選項(xiàng)在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判斷出正誤；對(duì)于選項(xiàng)在中，利用余

8、弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形狀，即可判斷出正誤.【詳解】對(duì)于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正確；對(duì)于，在銳角中，因此不等式恒成立，正確；對(duì)于，在中，由，利用正弦定理可得：，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，錯(cuò)誤.對(duì)于，由于，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正確.故選.本題考查正弦定理與余弦定理及三角形邊角關(guān)系，主要涉及的考點(diǎn)是三角形內(nèi)角的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同時(shí)考查正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，屬于中等題.12如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)B是圓O上異于A，C的點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A圓錐SO的側(cè)面積為B三棱錐S-ABC體積的最大值為C的取值范圍是D若A

9、B=BC，E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則SE+CE的最小值為BD【分析】根據(jù)已知條件求出圓錐的側(cè)面積，棱錐的體積判斷AB，利用求得后可得其范圍判斷C，把棱錐的兩個(gè)面和攤平，利用平面上的性質(zhì)求的最小值判斷D【詳解】由已知，圓錐側(cè)面積為，A錯(cuò)；在圓周上，易得，B正確；，又中，所以，所以C錯(cuò)；時(shí)，把和攤平，如圖，的最小值是，此時(shí)，D正確故選：BD三、填空題13已知向量，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)【詳解】試題分析：因?yàn)樗杂上蛄颗c垂直得：向量垂直坐標(biāo)表示14已知中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則的面積，該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出若的周長(zhǎng)為15，則的面積為_(kāi)【分析】先用正弦定理

10、解得a=3，b=5，c=7，代入海倫公式即可解得.【詳解】解：可令將上式相加：由此可解的：由正弦定理：又因?yàn)椋航獾茫篴=3，b=5，c=7.所以代入海倫公式解得：S=故15如圖，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖，這時(shí)水面恰好為中截面，則圖中容器內(nèi)水面的高度是_.a1.5a【分析】圖中水所占部分為四棱柱，求出其底面積和高，根據(jù)棱柱的體積公式求出四棱柱的體積，同理在圖中求出三棱柱的體積，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】在圖中，水所占部分為四棱柱，四棱柱底面積為，高為，所以四棱柱的體積為，設(shè)圖中容器內(nèi)水面的高度為h，則，解得故1.5a16如圖，在棱

11、長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)P是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)【分析】連接，首先證明平面，設(shè)平面，連接、，即可得到三棱錐為正三棱錐，求出、，再利用勾股定理表示，即可得到，從而得到軌跡長(zhǎng).【詳解】解：連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，平面，平面，則，因?yàn)?，平面，平面，平面，同理可證，平面，平面，設(shè)平面，連接、，因?yàn)?，所以三棱錐為正三棱錐，則為的中心，則，且內(nèi)切圓的半徑，所以，平面，平面，即，因?yàn)?，即，解得，所以點(diǎn)的軌跡是半徑為的圓，因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.故四、解答題17已知向量，函數(shù)的最大值為.（）求；（）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到

12、函數(shù)的圖象.求在上的值域.（）;（）【詳解】：（）因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以（）將函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到因?yàn)樗缘淖钚≈禐樽畲笾禐樗栽谏系闹涤驗(yàn)椤究键c(diǎn)定位】本題通過(guò)向量運(yùn)算形成三角函數(shù)問(wèn)題，考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、三角函數(shù)的圖象變換、三角函數(shù)的值域等主干知識(shí)，難度較小18如圖，中，是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面平面，若分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）連接AE，交BD于點(diǎn)F，易得，再利用線面平行的判定定理證明；（2）由，得到，再由平面平面，且，得到，然后利用線面垂直和面

13、面垂直的判定定理證明；【詳解】(1)證明：如圖所示：連接AE，交BD于點(diǎn)F，則F為AE的中點(diǎn)，又G為CE的中點(diǎn)，所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC；(2)因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且，平面，所以平面ABC，平面，所以，又，所以平面ADC，又平面BCD，所以平面平面.19已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A；(2)若是的中線，且，求的最大值.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化邊及余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)特殊值對(duì)應(yīng)特殊角及角的范圍即可求解；（2）根據(jù)已知條件及中線的向量的線性表示，再利用向量的數(shù)量積

14、極及基本不等式即可求解.【詳解】(1)由及二倍角的余弦公式，得，即，于是有，及正弦定理，得，由余弦定理，得，.(2)因?yàn)槭堑闹芯€，所以，兩邊平方，得,由（1）知，所以，所以即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.20如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，梯形滿足，為的中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)若，求三棱錐的體積(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，先證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到，即可證得平面；（2）取中點(diǎn)，先證得平面，再由體積公式求解即可.【詳解】(1)取中點(diǎn)，連接，易得且，又，則，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面；(2)取中點(diǎn)，連接，則，又，則四邊形為

15、平行四邊形，則，又，則，又平面，則平面，又，則.21已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)在的面積為；邊上的中線長(zhǎng)為；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求該三角形的面積；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，_？注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.(1)(2)若選，三角形存在，面積為；若選，三角形存在，面積為；若選，三角形不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)得，由正弦型函數(shù)周期性可得結(jié)論；（2）利用，結(jié)合的范圍，可求得；若選，由三角形面積公式和可構(gòu)造方程組求得，從而利用兩角和差公式求得；再利用

16、正弦定理求得后，由得所求面積；若選，設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，等式左右平方后，根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，即邊，由得所求面積；若選，利用余弦定理可化簡(jiǎn)已知等式求得，由作圓法可驗(yàn)證得，知三角形不存在.【詳解】(1)，的最小正周期.(2)由（1）得：，則，解得.若選條件，又，又，由正弦定理得：，；若選條件，設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，邊上的中線長(zhǎng)為，即，即，又，即，；若選條件，即，又，由知：，不存在.22已知四棱錐中,底面是直角梯形,又平面,且,點(diǎn)在棱上且.（1）求證:;（2）求與平面所成角的正弦值;（3）求二面角的大小.（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）（1）推導(dǎo)出,從而平面,進(jìn)而,由此能證明平面,即可求得答案;（2）由（1）可得:平面,所以為與平面所成角,求出長(zhǎng),即可求得答案;（3）連結(jié),交于點(diǎn),從而平面平面,進(jìn)而平面,過(guò)作于點(diǎn),連結(jié),則,則為二面角的平面角,即可求得答案.【詳解】（1）取中點(diǎn)為,連接 ,