數(shù)字信號(hào)處理：dsp14 相關(guān)分析（續(xù)）

1、數(shù)字信號(hào)處理8.相關(guān)分析（續(xù)） 8/11/20221馬盡文8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)A.循環(huán)相關(guān)與普通相關(guān) 一、有限離散傅氏變換的循環(huán)相關(guān) 設(shè) ， 都是長(zhǎng)度為 的實(shí)離散信號(hào) 其與有限離散頻譜的關(guān)系為8/11/20222馬盡文8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān) 為了便于討論，我們按上式將 ， ， ， 都擴(kuò)充為以 為周期的函數(shù)。 首先討論 所對(duì)應(yīng)的有限離散信號(hào)是什么。根據(jù) 的表 達(dá)式，有8/11/20223馬盡文 由于 對(duì)變量 而言是以N為周期的，因此上式可寫 為 因此， 所對(duì)應(yīng)的有限離散信號(hào)是 。 現(xiàn)在考慮 所對(duì)應(yīng)的有限離散信號(hào) ，按照循環(huán)褶積定理1，有8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)8/11/20224馬盡文 由

2、于 是以N為周期的，所以 ，則 我們稱 為 和 的循環(huán)相關(guān)，用循環(huán)褶積來表示為 循環(huán)相關(guān)的圓形示意圖見下頁。8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)8/11/20225馬盡文8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)8/11/20226馬盡文 二、循環(huán)相關(guān)與普通相關(guān)的關(guān)系 設(shè)離散信號(hào) 和 分別為 與 的普通互相關(guān)函數(shù) 為 設(shè) ， 是 ， 的以N為周期的周期信號(hào)，即8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)8/11/20227馬盡文 與 的循環(huán)相關(guān)為 假定 ，則有 在 時(shí)，若 ，則 ，由 因此， 因此得到 ， 即8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)8/11/20228馬盡文 循環(huán)相關(guān)定理：設(shè) ， 是長(zhǎng)度分別為 和 的離散信號(hào) ， 和 的相關(guān)函數(shù)為 。 ， 是

3、 ， 的以N為周期的 周期信號(hào)， 與 的循環(huán)相關(guān)為 ，則當(dāng) 時(shí)， 。 注意：當(dāng) 時(shí)，可用循環(huán)相關(guān)來計(jì)算相關(guān)函數(shù) 。 當(dāng) 時(shí)，由于 也可由循環(huán)相關(guān)來計(jì)算。B.利用FFT計(jì)算相關(guān)函數(shù) 一、利用FFT計(jì)算互相關(guān)函數(shù)8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)8/11/20229馬盡文 設(shè) ， 是長(zhǎng)度分別為 和 的離散信號(hào)， 與 的互相關(guān) 函數(shù)為 ?，F(xiàn)在我們要計(jì)算 計(jì)算的步驟如下： 1）選擇 ，N要滿足 ，即 ； 2）構(gòu)造 ， 的以N為周期的周期信號(hào) ， ； 3）利用FFT分別計(jì)算 和 的有限離散頻譜 和 （ ）； 4）計(jì)算 ；8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)8/11/202210馬盡文 5）利用FFT，對(duì) 作反變換得 ，則 二

4、、利用FFT計(jì)算自相關(guān)函數(shù) 設(shè) 是長(zhǎng)度為 的離散信號(hào)， 的自相關(guān)函數(shù)為 ，則 在上式的和號(hào)中，當(dāng) 時(shí) ，因此8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)8/11/202211馬盡文 又由于 ，因此，為了計(jì)算自相關(guān)函數(shù) ， 只要計(jì)算 就行了。這樣，取 ， ， ，就轉(zhuǎn)上情況 1）選擇 ，N要滿足 ，即 ； 2）構(gòu)造 的以N為周期的周期信號(hào) ； 3）利用FFT計(jì)算 的有限離散譜 ； 4）計(jì)算 ； 5）利用FFT，對(duì) 作反變換得 ，則8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)8/11/202212馬盡文 三、利用FFT計(jì)算互相關(guān)函數(shù)的分段求和法 在 長(zhǎng)度為 ， 長(zhǎng)度為 ，求 的條件下，取 。當(dāng) 很大時(shí)， 也很大。當(dāng)計(jì)算 機(jī)內(nèi)存比較小時(shí)，或

5、者當(dāng)關(guān)于FFT的硬件設(shè)備已確定時(shí) ，對(duì)于很大的 ，做FFT就困難。這時(shí)，可以采用分 段求和法。 設(shè) ，信號(hào) 的長(zhǎng)度 為8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)8/11/202213馬盡文 取 ，取長(zhǎng)為N的信號(hào) 當(dāng) 時(shí)， 與 的互相關(guān)函數(shù)為 所以這時(shí)有8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)8/11/202214馬盡文 即 根據(jù) ， 的定義和循環(huán)相關(guān)定理知，當(dāng) 時(shí) 循環(huán)相關(guān) 和普通相關(guān) 是相等的。因此得 根據(jù)上述思想并利用FFT計(jì)算的步驟如下： 1）利用FFT計(jì)算長(zhǎng)度為N的信號(hào) ， 的有限離散頻 譜 ， ， ， 2）計(jì)算 ；8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)8/11/202215馬盡文 3）計(jì)算 ； 4）利用FFT，計(jì)算 的反變換得 ，

6、 ，其中 當(dāng) 時(shí)， 就是我們所要求的 。 最后指出：當(dāng) 時(shí)，上述方法就是信號(hào)長(zhǎng)度比較大時(shí) 的自相關(guān)函數(shù)計(jì)算方法。8.3循環(huán)相關(guān)和普通相關(guān)8/11/202216馬盡文8.4多道相關(guān) 在實(shí)際問題中，我們經(jīng)常要遇到一組信號(hào)，這一組信號(hào) 是由多道信號(hào)組成的。如果這多道信號(hào)產(chǎn)生的原因相同 那么它們的波形彼此間就應(yīng)該相似?，F(xiàn)在提出一個(gè)問題:多道信號(hào)作為一個(gè)整體，如何來衡量它們的相似性? M道信號(hào) ， ， 相似是相對(duì)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)信號(hào) ，則A.問題的提出8/11/202217馬盡文8.4多道相關(guān)8/11/202218馬盡文8.4多道相關(guān) 的大小取決于 的選取，同相關(guān)性定義一樣，我們可 以找出使 達(dá)到最小的 ，然

7、后再依此引入相關(guān)性度量.B.多道信號(hào)相似性的誤差能量 選取 使 達(dá)到最小值的條件為： 下面來求解 。根據(jù) 的表達(dá)式得：8/11/202219馬盡文8.4多道相關(guān) 因此， 這時(shí)，我們求算術(shù)平均標(biāo)準(zhǔn)信號(hào) 的誤差能量 : 其中8/11/202220馬盡文8.4多道相關(guān) 所以或者8/11/202221馬盡文8.4多道相關(guān) 與M道信號(hào)總能量之比為C.衡量多道信號(hào)相似性的幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 一、能量比標(biāo)準(zhǔn) 稱為M道信號(hào)的相對(duì)誤差能量。8/11/202222馬盡文8.4多道相關(guān) 二、疊加標(biāo)準(zhǔn) 三、未標(biāo)準(zhǔn)化相關(guān)系數(shù)實(shí)際上， 與疊加信號(hào) 的能量以及M道信號(hào)的總能量有密切的關(guān)系8/11/202223馬盡文8.4多道相關(guān) 由

8、于 即 上式對(duì)n求和 所以8/11/202224馬盡文8.4多道相關(guān) 四、標(biāo)準(zhǔn)化相關(guān)系數(shù)D.關(guān)于衡量多道相關(guān)的各種標(biāo)準(zhǔn)的相互關(guān)系及變化范圍 一、各種標(biāo)準(zhǔn)的相互關(guān)系8/11/202225馬盡文8.4多道相關(guān) 因此 二、各種標(biāo)準(zhǔn)的變化范圍 1）能量比標(biāo)準(zhǔn) 的變化范圍 2）疊加能量標(biāo)準(zhǔn) 的變化范圍 3）標(biāo)準(zhǔn)化相關(guān)系數(shù) 的變化范圍 （疊加振幅標(biāo)準(zhǔn) ）8/11/202226馬盡文8.4多道相關(guān) 4）未標(biāo)準(zhǔn)化相關(guān)系數(shù) 的變化范圍E.關(guān)于對(duì)多道信號(hào)預(yù)先進(jìn)行規(guī)格化問題 未標(biāo)準(zhǔn)化相關(guān)系數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)化相關(guān)系數(shù) 當(dāng)信號(hào) ， ， 與 應(yīng)該是完全相似的 ，即 與 的標(biāo)準(zhǔn)化相關(guān)系數(shù) 。 對(duì)于多道信號(hào)， 也應(yīng)該是完全相似的，但8/11/202227馬盡文8.4多道相關(guān) 在一般情況下 ，僅當(dāng) 時(shí)，才有 為此，可對(duì)于 進(jìn)行歸一化處理: 當(dāng) 時(shí)