矩陣論講義第1章第一章線性空間

1、 哈爾濱工程大學理學院 矩陣論教學團隊 Department of Mathematics, College of Sciences書后要求的習題,主動自覺做,抽查和不定時收取 使用講義 矩陣論講義自編待出版其他輔導(dǎo)類參考書（自選）課 程 要 求作業(yè)要求矩陣論網(wǎng)站 123 第一章 線 性 空 間預(yù)備知識線 性 空 間 線性子空間 教 學 內(nèi) 容 和 基 本 要 求2, 掌握子空間與維數(shù)定理，理解子空間的相關(guān) 性質(zhì)； 重點: 線性空間的概念；子空間的維數(shù)定理； 難點: 基變換與坐標變換;不變子空間 1，理解線性空間的概念，掌握基變換與坐標變 換的公式； 線性空間是解析幾何和線性代數(shù)中向量概念的抽

2、象化。 本章將從最簡單的集合概念入手，詳細給出線性空間的的概念和相關(guān)理論。 線性空間既是代數(shù)學的基本概念，也是矩陣論的基本概念之一，本章首先介紹這一概念。學習過這一部分內(nèi)容的同學可以將本章作為對所學知識的回顧和延伸。預(yù)備知識1.11.1.1 集合的概念與性質(zhì)定義1 具有某種性質(zhì)的事物的全體稱為集合，組成集合的事物稱為集合中的元素。 一般用英文大寫字母A, B, C, X, Y, Z 表示集合，用英文小寫字母a, b, c, x, y, z等表示集合的元素。例如： 和都表示的是集合。 沒有任何元素的集合稱為空集，記為 。 常用的特殊集合一般用N, Z, Q，R和C 分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理

3、數(shù)集、實數(shù)集和復(fù)數(shù)集。此外： 和分別代表奇數(shù)集和偶數(shù)集。定義2 若集合 A和集合B有同樣的元素，稱為A和B相等，記為A = B；若集合 A和中的元素都是集合B中的元素，稱為A含于B或者稱B包含A，記為： ，此時，稱A是B的子集；若 ，且 ，則稱A是B的真子集。定理1 設(shè)A, B, C是三個任意集合，則有： (1) 如果 B A且 A B，則A B。 (2) 如果C B且B A，則C A。 定義3 稱為A與B的交集。定義4 稱為A與B的并集定義5 稱為A與B的差集。特別的，若 ，差集 又叫做 關(guān)于 子集A的補集。記作 ： 定義6 1.1.2 映射的概念與性質(zhì) 設(shè)有兩個非空集合 ，如果對于 中的任

4、一元素 ，按照一定規(guī)則 ，總有 中一個唯一確定的元素 與之對應(yīng)，則稱規(guī)則f 為從集合 到集合 的映射，記作： 稱 為 在映射 下的像， 為原像 我們通常稱A為映射 f 的定義域， 為映射 f的值域設(shè) 是兩個集合， （1）若 則稱 為滿射；定義7（2）若 ，當 時，則稱 為單射；（3）稱既單且滿的映射為雙射或者一一映射。 常見數(shù)域： 復(fù)數(shù)域 C ；實數(shù)域 R ；有理數(shù)域 Q ； 設(shè)F是至少包含兩個數(shù)的數(shù)集，如果F 中F中的數(shù)，則稱F為一個數(shù)域任意兩個數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍是（注意：自然數(shù)集N及整數(shù)集Z都不是數(shù)域）定義8 定理2中的映射稱為映射f與映射g的復(fù)合映射 1.1.3 其他概念

5、定義9 說明：1）若數(shù)集F中任意兩個數(shù)作某一運算的結(jié)果仍在F中，則說數(shù)集F對這個運算是封閉的2）數(shù)域的等價定義：如果一個包含0，1在內(nèi)的數(shù)集F 對于加法，減法，乘法與除法（除數(shù)不為0）是封閉的，則稱集 F為一個數(shù)域是一個數(shù)域例1證明：數(shù)集證： 又對 設(shè) 則有 設(shè)于是也不為0或 矛盾） （否則，若則于是有為數(shù)域是數(shù)域.類似可證Gauss數(shù)域任意數(shù)域F都包括有理數(shù)域Q證明： 設(shè)F為任意一個數(shù)域由定義可知，于是有即:有理數(shù)域為最小數(shù)域進而有而任意一個有理數(shù)可表成兩個整數(shù)的商，定理5（2）在V中定義一個“*”運算，使得對任意的 與任意的 ，總有唯一的元素 與之對應(yīng)，即： ，則稱集合V對“*”運算是唯一

6、封閉的。并稱 “ * ” 為V 中的“乘法” ； 定義10 設(shè) 是一個非空集合， 為一數(shù)域在V上定義運算如下：（1）在V中定義一個“+”運算，使得對任意 總有唯一的元素 與之對應(yīng)，即： ，則稱 對“+”運算是唯一和封閉的，并稱 “ + ” 為V 中的“加法” ； 我們經(jīng)常將集合V和數(shù)域 F中定義的加法和數(shù)乘運算合起來稱為線性運算。 線性空間（Linear Space）是線性代數(shù)中所涉及到的向量空間 在元素和線性運算上的推廣和抽象，也是全書的理論基礎(chǔ)，本節(jié)將給出線性空間、子空間、基底核維數(shù)等相關(guān)概念。 定義1 若數(shù)域 上的集合 對于如上“+”和 “ ”兩種運算是唯一封閉的，且滿足如下八條：線性空

7、間1.21.2.1 線性空間的概念與性質(zhì)(3) V 中存在 元素，使得對有 (4) 對 ，有 的負元素對 則稱 為數(shù)域 上的線性空間記為:例1 全體n維復(fù)向量所構(gòu)成的集合 集合V 中的元素，稱為線性空間 中的元素或向量。對通常向量的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成復(fù)數(shù)域C 上的線性空間。稱為復(fù)向量空間，記為： 例2 復(fù)數(shù)域上的全體 矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成復(fù)數(shù)域上的線性空間，記作 是線性空間，通常稱為復(fù)矩陣空間 （1）一個集合，如果定義的加法和乘數(shù)運算是通常的 實數(shù)間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性一般線性空間的判定方法例3 設(shè) 對通常多項式的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間，稱為復(fù)多項式空

8、間。記為： 不是線性空間例4由數(shù)域F 上所有n 次多項式的全體構(gòu)成的集合的線性空間，稱為實函數(shù)空間，記為 例5 區(qū)間上連續(xù)實函數(shù)全體所構(gòu)成的集合 對通常函數(shù)的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成相應(yīng)實數(shù)域 上例6 正弦函數(shù)集合對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間。是一個線性空間.例7 正實數(shù)的全體，記作 ，在其中定義加法及乘數(shù)運算為驗證 對上述加法與乘數(shù)運算構(gòu)成線性空間(2) 一個集合，如果定義的加法和乘數(shù)運算不 是通常的實數(shù)間的加乘運算，則必需檢驗是否滿足八條線性運算規(guī)律下面一一驗證八條線性運算規(guī)律：證明:所以對定義的加法與乘數(shù)運算封閉所以 對所定義的運算構(gòu)成線性空間不構(gòu)成線性空間對于通常的有序數(shù)組

9、的加法及如下定義的乘法例8 個有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體解答: 例9 集合 不是一個線性空間。因為加法不封閉。例10 線性非齊次方程組 的解集 這里 是對應(yīng)齊次方程組 的一個基礎(chǔ)解系， 為 的一個特解。不構(gòu)成線性空間.對于 及 ，定義判斷 是否構(gòu)成 上的線性空間. 設(shè)數(shù)域為 ，集合 為答案：是練習11零元素是唯一的線性空間的性質(zhì)定理12負元素是唯一的4如果 ，則 或 . 5對任意的 ，如果 必有 。證明1:假設(shè) 是線性空間V中的兩個零元素，由于所以則對任何 ，有證明2假設(shè) 有兩個負元素 與 ，那么則有向量 的負元素記為證明3證明4假設(shè)那么又同理可證：若 則有證明5證明：設(shè)而數(shù)域F中有無限多個不同

10、的數(shù)，所以V中有無限多個不同的向量.試證明數(shù)域F 上的線性空間V若含有一個非零向量，則V一定含有無窮多個向量。練習2設(shè) 為數(shù)域 上的線性空間，1.2.2 向量組的線性相關(guān)性定義2 是 中的一組向量， 是數(shù)域 上的一組數(shù)，若 中向量 可以表示成： 則稱 可由 線性表示，也稱 是的線性組合。 設(shè) 為數(shù)域 上的線性空間，定義3 是 中的一組向量，若存在是數(shù)域 上的一組不全為0的數(shù) ，使得： （1-1） 則稱 線性相關(guān)；否則稱線性無關(guān)。 換言之，若 線性無關(guān)，可由（1-1）式得到：對于 中的兩組向量組：如果A 中任一向量可由B 組向量線性表示，則稱向量組A 可由向量組B 線性表示。 如果向量組A和向量

11、組B可以互相線性表示，則稱向量組A和向量組B等價。定義4 例11 在多項式空間 中， 線性無關(guān)； 線性相關(guān)。例12 在矩陣空間 中，向量組： 線性相關(guān)。而下列向量組線性無關(guān)：因為容易驗證線性無關(guān)，而任意 個向量（如果有的話）都線性相關(guān)，則稱向量組 為A的一個極大無關(guān)組，極大無關(guān)組所含向量的個數(shù) 稱為A的秩。設(shè) 為線性空間 中的一定義5 個向量組，如果A 中有 個向量 向量組A中的一個向量組的極大無關(guān)組未必唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)相等。向量組A 的秩記為： 只含有零向量的向量組 沒有極大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0。定義6 定理2-3線性空間V 中的向量組有如下性質(zhì)： 設(shè) ，則 線性無關(guān)的充要條

12、件是若向量組某一個子向量組線性相關(guān)，則向量組 也線性相關(guān)若向量組線性無關(guān)，則向量組任意一個子向量組也線性無關(guān)。向量組線性相關(guān)的充要條件是其中有某個向量可由其他向量線性表示。 若向量組 線性無關(guān)，而向量組 線性相關(guān)，則 可由向量組 唯一表示1.2.3 線性空間的基、維數(shù)與坐標 設(shè) 為數(shù)域 上的一個線性空間。如果在中存在 個線性無關(guān)的向量 ,使得: 中的任意一個向量 都可以由 線性表出,即存在 使得:定義7 則稱 為 的一個基底, 此時,我們稱 為 維線性空間，記為 其中： ，為向量 在基底 下的坐標。 設(shè) 為數(shù)域 上的一個線性空間。 為V 的一個基底，則對 可由基底 唯一的線性表示，即： 定義8

13、幾個重要結(jié)論:1, 如果對于任意的 ,均可以在 中找到 個線性無關(guān)的向量,則稱 是無限維的線性空間例 13. 實數(shù)域R 上的區(qū)間 上的所有連續(xù)函數(shù)的全體所構(gòu)成的集合記為 ： 在函數(shù)的運算下構(gòu)成無限維線性空間連續(xù)2,空間中的向量在不同基底下的坐標是不相同的。例14. 實數(shù)域 上的線性空間 中向量組都是 的基。 是3維線性空間。例15. 實數(shù)域 上的線性空間 中的向量組都是 的基。 是4維線性空間。 注意： 通過上面的例子可以看出線性空間的基底并不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。利用維數(shù)的定義線性空間可以分為有限維線性空間和無限維線性空間。例16. 實數(shù)域 上的線性空間 中的向量組 與向量組都是 的基

14、底。 的維數(shù)為例17. 在4維線性空間 中，向量組與向量組是其兩組基，求向量 在這兩組基下的坐標。解：設(shè)向量 在第一組基下的坐標為于是可得 解得同樣可解出在第二組基下的坐標為 設(shè) （舊的）與 （新的）是 維線性空間 的兩組基底，它們之間的關(guān)系為 1.2.4 基變換與坐標變換 將上式矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：令稱 階方陣是由舊的基底到新的基底的過渡矩陣，即：定義9過渡矩陣 是可逆的。定理4定理5 任取 ，設(shè) 在兩組基下的坐標分別為 與 ，且過渡矩陣為 , 那么我們有：在舊的基下的坐標在新的基下的坐標稱上式為坐標變換公式。與向量組例17 在4維線性空間 中，向量組: 為其兩組基。 的過渡矩陣；（

15、1）求從基 到基（2）求向量 在這兩組基下的坐標。解（1）計算出下面的矩陣表達式：（2）向量 第一組基下的坐標為利用坐標變換公式可以求得 在第二組基下的坐標為例18 驗證 ， 是 的一組基，并求 在該組基下的坐標。 解答 向量組 在自然基下的坐標分別為:且 線性無關(guān)，則根據(jù)定理6 線性無關(guān)。又由 是4維空間，所以 是 的一組基。 設(shè)即得方程組 求解方程組可得 在該組基下的坐標為 例19 設(shè)的兩個基分別是（）： （）： （1）求由基底（）到基底（）的過渡矩陣； 解答：設(shè) 為自然基底，即： 則 （） （） （1）設(shè)由基底（）到基底（）的過渡矩陣為P，根據(jù)定理可得：（）將（）和（）帶入（）中得到：

16、這里：（2）設(shè) 在基（）下的坐標為 求有限維線性空間V由基（）到基（）的過渡矩陣時，可以采用“中介”的辦法，即首先選取 V中簡單基求線性空間的向量在基由基底 到基底的過渡矩陣。并求其練習3下的坐標。練習4驗證 是 的基底，并求 在這組基下的坐標。1.2.5 線性空間的同構(gòu) 我們知道，在數(shù)域F上的n維線性空間V中取定一組基后， V中每一個向量 有唯一確定的坐標:則 與對應(yīng)，就得到V 到對于V中每一個向量 ,令在這組基下的坐標為 的一個映射 向量的坐標是F上的n元數(shù)組，因此屬于 ,這樣一來，取定了V 的一組基 反過來，對于 中的任一元素是V中唯一確定的元素，并且:即 也是滿射.因此，是V到 的一一

17、對應(yīng).這個對應(yīng)的重要性表現(xiàn)在它與運算的關(guān)系上.設(shè) 都是數(shù)域F上的n維線性空間，如果映射 具有以下性質(zhì)： 則稱的一個同構(gòu)映射，并稱線性空間 同構(gòu)，記作 ii) iii) i) 為雙射定義10為V的一組基，則前面V到 的一一對應(yīng)例20. V為數(shù)域F上的n維線性空間， 這里 為在 基下的坐標就是一個V到 的同構(gòu)映射，所以定理7 數(shù)域F上任一n維線性空間都與F n 同構(gòu).同構(gòu)映射，則有：設(shè) 是數(shù)域F上的線性空間， 的定理8中分別取證： 在同構(gòu)映射定義的條件iii)即得線性相關(guān)（線性無關(guān)）. V中向量組 線性相關(guān)（線性無關(guān)）的充要條件是它們的象 證 因為由可得反過來，由可得而是一一對應(yīng)，只有所以可得因此

18、，線性相關(guān)（線性無關(guān)）線性相關(guān)（線性無關(guān)）.同構(gòu)關(guān)系具有：反身性： 對稱性：傳遞性： 兩個有限維線性空間同構(gòu)的充要條件是它們有相同的維數(shù)。 定理10 定理9 同構(gòu)映射的逆映射以及兩個同構(gòu)映射的乘積仍是同構(gòu)映射。 數(shù)域F上的兩個有限維線性空間 同構(gòu)同構(gòu)關(guān)系具有：反身性： 對稱性：傳遞性： 定理2 證：若由性質(zhì)2之4）即得 若 有例21、把復(fù)數(shù)域看成實數(shù)域R上的線性空間， 證法一：證維數(shù)相等證明：首先， 可表成 其次，若 則 所以，1，i為C的一組基，又，所以，故，證法二：構(gòu)造同構(gòu)映射則為C到R2的一個同構(gòu)映射.作對應(yīng)作成實數(shù)域R上的線性空間. 把實數(shù)域R看成是自身上的線性空間.例3、全體正實數(shù)R

19、+ 關(guān)于加法與數(shù)量乘法： 證明：并寫出一個同構(gòu)映射. 證：作對應(yīng)易證為的11對應(yīng).且對有所以，為的同構(gòu)映射.故 方法二：作對應(yīng)易證：為的11對應(yīng)，而且也為同構(gòu)映射.事實上，為的逆同構(gòu)映射. 線性空間 的非空子集 構(gòu)成子空間的充分必要條件是： 對于 中的線性運算封閉，即：定理1對 有： 定義1 線 性子空 間1.31.3.1 子空間的概念與性質(zhì) 設(shè) 為數(shù)域 上的線性空間，W為V的一個非空子集 ，如果 對 上兩種運算也構(gòu)成數(shù)域 上的線性空間，則稱 為 的一個線性子空間。例1. 對于任意一個有限維線性空間 , 它必有兩個平凡子空間，即由單個零向量構(gòu)成的子空間 以及線性空間 本身。例2 .設(shè) ,那么線

20、性方程組 的全部解為線性空間 的一個子空間，我們稱其為齊次線性方程組的解空間。 可見， ，并且有限維線性空間的任何一個子空間的維數(shù)不能超過整個空間的維數(shù) 。解(1)不構(gòu)成子空間， (2)構(gòu)成子空間.因為對例3.有即 對矩陣加法不封閉，不構(gòu)成子空間.對任意于是有：滿足且 設(shè) 是線性空間 中的向量，則由 的所有線性組合： 構(gòu)成的集合是 的子空間，稱為由張成（生成）的子空間，記為：或：定義2 任何n 維線性空間 都可以看成是由其一組基所生成。即若 為其一組基，則有 設(shè) 和定理2為n 維線性空間V 中的兩組向量，則的充要條件是 與 等價證明（1）必要性：若 則對 有 ， 從而 可被線性表出；同理每一個

21、也可被 線性表出. 所以， 與 等價 必要性得證（1）（2）則 可被 線性表出， 從而可被 線性表出，即 與 等價 充分性：若 所以同理可得， 故， 證明(2)設(shè)不妨設(shè)： 為它的一個極大無關(guān)組 則有與 等價， 就是 的一組基， 所以， 的維數(shù)t由定理2知：（2）基擴充定理為 V 的一組基即在 V 中必定可找到 nm定理成立 證明：對nm作數(shù)學歸納法當 nm0時，即nm，就是V的一組基.假設(shè)當nmk時結(jié)論成立.下面我們考慮 nmk1 的情形定理3設(shè)W為 n 維線性空間 V 的一個 m 維子空間，為W的一組基，則這組向量必定可，使 為 V 的擴充個向量一組基。必定是線性無關(guān)的既然 還不是V的一組基

22、，它又是線 性無關(guān)的，那么在V中必定有一個向量 不能被 線性表出，把它添加進去，則因 n(m1)(nm)1(k1)1k， 由定理， 子空間 是m1維的由歸納原理得證. 的基由歸納假設(shè)可以擴充為整個空間V的一組基例4. 證明 是并求 和V 的一組基。 的子空間，解答 V 是 的子空間證明略。 下面求對 有 即對V 中任意元素A都可由 線性表示，而容易證明 線性無關(guān)，所以 ， 為基。 并把它擴充為R4的一組基，其中例5 求 的維數(shù)與一組基，解答: 對以 為列向量的矩陣A 做初等行變換由B知，為 的一個極大故，維 3，就是 的一組基.無關(guān)組.則 線性無關(guān)，從而為R4的一組基.（3）設(shè) ， 為A 的特

23、征值，則集合：設(shè) ，則定理4 （1） 為 （2） 為 的子空間的子空間。定義3 分別稱 和 為 的值域與核空間。為 的子空間而稱 為A的的相對于特征值 的特征子空間 設(shè) ，則 定理5 （1）（2）（3）證明（1）（2）由 ，再由定理知 （3）由于 是方程組 的解空間，所以 所以,由(2)即：例6. 設(shè) （1）求 的基與維數(shù)。 （2）求 的基與維數(shù)。其中 ； （3）求 的基與維數(shù)。 解答 （1）由于由此得： 且 為極大無關(guān)組。（2）由于 是 的解空間，并且： ，由 ，解得：從而 是 的 的一組基且 （3） 是 的一組基， 1.3.3 子空間的運算定理6設(shè) 是線性空間V 的兩個子空間 ，則V1、V

24、2（1） 是V的子空間；（2） 是V的子空間。任取 則有 同時有 故 為V的子空間. 事實上， 證明：其中， 則有 任取設(shè) 另外，定義4 設(shè) 是線性空間V 的兩個子空間 ，V1、V2則 和 分別成為V的交子空間與和子空間。V的兩子空間的并集未必為V的子空間. 例如 注意：并不是R3的子空間. 因為它對R3的運算不封閉，如但是皆為R3的子空間，但是它們的并集 設(shè) 為線性 空間V(F)中兩組向量，同理： 可由 線性表示，所以：定理7則： 可由 線性表示 證明：而 可由 線性表示即：反之：所以： 定理8設(shè) 為線性空間V的兩個子空間，則或或由擴基定理，它可擴充為V1的一組基證：設(shè)取的一組基 它也可擴充

25、為V2的一組基即有 所以，有 下證線性無關(guān). 假設(shè)有等式令 則有 即可被 線性表出 令 則 即 從而有 由于線性無關(guān)，得 因而 由于線性無關(guān)，得 所以， 線性無關(guān).因而它是 的一組基. 注：從維數(shù)公式中可以看到，子空間的和的維數(shù)往往比子空間的維數(shù)的和要小.例如，在R3中，設(shè)子空間其中，但，則，由此還可得到，是一直線.維數(shù)的和是4和的維數(shù)是3推論：設(shè) 為 n 維線性空間V的兩個子空間，若 ，則 必含非零的公共向量. 即中必含有非零向量.證：由維數(shù)公式有又是V的子空間，若則故中含有非零向量.定理9 設(shè) 為線性空間V的子空間 (1)(2)(4)(3) 推廣 多個子空間的交 為線性空間V的子空間，則集

26、合也為V的子空間，稱為 的交空間. 推廣多個子空間的和 為線性空間V的子空間，則集合也為V的子空間，稱為 的和空間. 例7. 在 中，用分別表示齊次線性方程組 的解空間，則就是齊次線性方程組 的解空間. 證：設(shè)方程組,分別為 即 設(shè)W為的解空間，任取 ，有從而 反之，任 取，則有 從而 故例8. 在 中，設(shè)1） 求 的維數(shù)的與一組基； 2） 求 的維數(shù)的與一組基. 解：1) 任取 設(shè) 則有 ()即()解 得 （t為任意數(shù)）令 t=1， 則得 的一組基 為一維的. 2) 對以 為列向量的矩陣A作初等行變換 為3維的， 由B知， 為 的一個極大無關(guān)組.為其一組基.練習1在中，令 求及易知，皆為 的子空間. 任取由有 ， 由有故，從而，解答：再求因為，所以，則稱 為直和，記作定義6 設(shè) 為線性空間V的兩個子空間，若例9. 在三維線性空間