計(jì)量異方差性

1、基本假定違背：不滿足基本假定的情況。主要包括：（1）隨機(jī)誤差項(xiàng)序列存在異方差性；（2）隨機(jī)誤差項(xiàng)序列存在序列相關(guān)性；（3）解釋變量之間存在多重共線性；（4）解釋變量是隨機(jī)變量且與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān) （隨機(jī)解釋變量問題）； 此外：（5）模型設(shè)定有偏誤（6）解釋變量的方差不隨樣本容量的增大而收斂 計(jì)量經(jīng)濟(jì)檢驗(yàn)：對(duì)模型基本假定的檢驗(yàn) （主要指前4類）1第五章 異方差性一、異方差的概念二、異方差的類型三、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中的異方差性四、異方差性的后果五、異方差性的檢驗(yàn)六、異方差的修正七、案例2對(duì)于模型如果出現(xiàn)即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差不再是常數(shù)，而互不相同，則認(rèn)為出現(xiàn)了異方差性(Heterosked

2、asticity) 一、異方差的概念X1XXnX2Y+i-iPRF：E(Y|Xi)= 0+1Xi同方差X1XXnX2Y+i-iPRF：E(Y|Xi)= 0+1Xi異方差3 二、異方差的類型異方差一般可歸結(jié)為三種類型： 同方差性： Var(i)= 2 = 常數(shù) 異方差時(shí)： Var(i)=i2 = f(Xi)(3)復(fù)雜型： i2與X的變化呈復(fù)雜形式(2)單調(diào)遞減型： i2隨X的增大而減小(1)單調(diào)遞增型： i2隨X的增大而增大4三、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中的異方差性 例1：截面資料下研究居民家庭的儲(chǔ)蓄行為 Yi=0+1Xi+iYi：第i個(gè)家庭的儲(chǔ)蓄額 Xi：第i個(gè)家庭的可支配收入 高收入家庭：儲(chǔ)蓄的差異較大

3、 低收入家庭：儲(chǔ)蓄則更有規(guī)律性，差異較小i的方差呈現(xiàn)單調(diào)遞增型變化5 例2：以絕對(duì)收入假設(shè)為理論假設(shè)、以截面數(shù)據(jù)為樣本建立居民消費(fèi)函數(shù)： Ci=0+1Yi+I將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數(shù)為樣本觀測(cè)值。 一般情況下，居民收入服從正態(tài)分布：中等收入組人數(shù)多，兩端收入組人數(shù)少。而人數(shù)多的組平均數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。 所以樣本觀測(cè)值的觀測(cè)誤差隨著解釋變量觀測(cè)值的不同而不同，往往引起異方差性。6 例3：以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei 被解釋變量：產(chǎn)出量Y 解釋變量：資本K、勞動(dòng)L、技術(shù)A， 那么：每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影

4、響被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中。 每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響程度不同，造成了隨機(jī)誤差項(xiàng)的異方差性。 這時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差并不隨某一個(gè)解釋變量觀測(cè)值的變化而呈規(guī)律性變化，呈現(xiàn)復(fù)雜型。一般經(jīng)驗(yàn)：采用截面數(shù)據(jù)作為樣本，由于在不同樣本點(diǎn)上解釋變量以外的其它因素的差異較大，所以往往存在異方差性。7 四、異方差性的后果 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一旦出現(xiàn)異方差性，如果仍采用OLS估計(jì)模型參數(shù)，會(huì)產(chǎn)生下列不良后果： 1、參數(shù)估計(jì)量非有效 OLS估計(jì)量仍然具有無偏性，但不具有有效性 因?yàn)樵谟行宰C明中利用了 E()=2I 而且，在大樣本情況下，盡管參數(shù)估計(jì)量具有一致性，但仍然不具有漸近有效性。8 2、變量的顯著性檢驗(yàn)

5、失去意義 變量的顯著性檢驗(yàn)中，構(gòu)造了t統(tǒng)計(jì)量 其他檢驗(yàn)也是如此。（ ， 2是隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差， Cjj是矩陣(XX)-1中第j行第j列位置上的元素。）9 3、模型的預(yù)測(cè)失效 一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)； 所以，當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時(shí)，參數(shù)OLS估計(jì)值的變異程度增大，從而造成對(duì)Y的預(yù)測(cè)誤差變大，降低預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)功能失效。10 五、異方差性的檢驗(yàn)檢驗(yàn)思路： 由于異方差性就是相對(duì)于不同的解釋變量觀測(cè)值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差。那么： 檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測(cè)值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。11 問題在于用什么來表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差 一般的處理

6、方法：12幾種異方差的檢驗(yàn)方法： 1、圖示法（1）用X-Y的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷 看是否存在明顯的散點(diǎn)擴(kuò)大、縮小或復(fù)雜型趨勢(shì)（即不在一個(gè)固定的帶型域中）XXXXYYYY13看是否形成一斜率為零的直線Xe2Xe2Xe2Xe2Xe2Xe2多元時(shí)可作每個(gè)解釋變量對(duì)e2的圖，或作 圖進(jìn)行觀察。142、帕克(Park)檢驗(yàn)與戈里瑟(Gleiser)檢驗(yàn) 基本思想: 嘗試建立方程：或選擇關(guān)于變量X的不同的函數(shù)形式，對(duì)方程進(jìn)行估計(jì)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。 或 若在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，表明存在異方差性。 若在統(tǒng)計(jì)上是不顯著的，則表明為同方差，且為2。如： 帕

7、克檢驗(yàn)常用的函數(shù)形式：如：戈里瑟檢驗(yàn)常用的函數(shù)形式：提出零假設(shè)H：1=0，即不存在異方差。若1在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，即零假設(shè)被拒絕，表明存在異方差性15 3、戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗(yàn) G-Q檢驗(yàn)以F檢驗(yàn)為基礎(chǔ)，適用于樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況。 G-Q檢驗(yàn)的思想： 先將樣本一分為二，對(duì)子樣和子樣分別作回歸，然后利用兩個(gè)子樣的殘差平方和之比構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。 由于該統(tǒng)計(jì)量服從F分布，因此假如存在遞增的異方差，則F遠(yuǎn)大于1；反之就會(huì)等于1（同方差）、或小于1（遞減方差）。16 G-Q檢驗(yàn)的步驟：將n對(duì)樣本觀察值(Xi,Yi)按觀察值Xi的大小排隊(duì)將序列中

8、間的c=n/4個(gè)觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個(gè)子樣本，每個(gè)子樣樣本容量均為(n-c)/2對(duì)每個(gè)子樣分別進(jìn)行OLS回歸，并計(jì)算各自的殘差平方和 在同方差性假定下，構(gòu)造如下滿足F分布的統(tǒng)計(jì)量 給定顯著性水平，確定臨界值F(v1,v2)， 若F F(v1,v2)， 則拒絕同方差性假設(shè)，表明存在異方差。 當(dāng)然，還可根據(jù)兩個(gè)殘差平方和對(duì)應(yīng)的子樣的順序判斷是遞增型異方差還是遞減異型方差。174、懷特（White）檢驗(yàn) 懷特檢驗(yàn)不需要排序，且適合任何形式的異方差 懷特檢驗(yàn)的基本思想與步驟（以二元為例）：然后做如下輔助回歸 可以證明，在同方差假設(shè)下：(*)R2為(*)的可決系數(shù)，自由

9、度h為(*)式解釋變量的個(gè)數(shù)（不包括截距項(xiàng)）。（ 表示漸近服從某分布。）若nR2的值大于給定顯著性水平下的2臨界值，則拒絕同方差的零假設(shè)，即存在異方差性。注意：輔助回歸仍是檢驗(yàn)與解釋變量可能的組合的顯著性，輔助回歸方程中還可引入解釋變量的更高次方。 如果存在異方差性，則表明確與解釋變量的某種組合有顯著的相關(guān)性。由于輔助回歸方程中可能有太多解釋變量，從而使自由度減少，有時(shí)可去掉交叉項(xiàng)。先對(duì)該模型作OLS回歸，得到 ，18六、異方差的修正 模型檢驗(yàn)出存在異方差性，可用加權(quán)最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）進(jìn)行估計(jì)。 加權(quán)最小二乘法的基本思想： 加權(quán)最小二乘法是對(duì)原

10、模型加權(quán)，使之變成一個(gè)新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS估計(jì)其參數(shù)。 在采用OLS方法時(shí): 對(duì)較小的殘差平方ei2賦予較大的權(quán)數(shù)， 對(duì)較大的殘差平方ei2賦予較小的權(quán)數(shù)。e2由大到小大乘小，小乘大，加權(quán)為同方差權(quán)數(shù)w由小到大同方差19 例如，如果對(duì)一多元模型，經(jīng)檢驗(yàn)知：新模型中，存在 即滿足同方差性，利用OLS法估計(jì)變換后的模型，得到參數(shù)的無偏、有效的估計(jì)量。等同于利用加權(quán)最小二乘法（WLS）時(shí)，權(quán)數(shù)為 。20模型變換法與 加權(quán)最小二乘法(WLS)的關(guān)系：變換后的模型為：殘差平方和：原模型：殘差平方和：即加權(quán)最小二乘法形式，權(quán)數(shù)為：權(quán)數(shù)輸入 的WLS與用 去除原模型兩邊的模型變換法是等價(jià)

11、的。WLS中權(quán)數(shù)W可選取任一變化趨勢(shì)與異方差的趨勢(shì)相反的變量序列，如 ，在Eviews中權(quán)數(shù)輸入 。21模型變換法與 加權(quán)最小二乘法(WLS)的關(guān)系：原模型：權(quán)數(shù)輸入 的WLS與用 去除原模型兩邊的模型變換法是等價(jià)的。WLS中權(quán)數(shù)W可選取任一變化趨勢(shì)與異方差的趨勢(shì)相反的變量序列，如 ，在Eviews中權(quán)數(shù)輸入 。常取如下形式(可借助Glejser檢驗(yàn)提供的信息進(jìn)行判斷)：22一般情況下，對(duì)于模型顯然，W是一對(duì)稱正定矩陣，因此存在一可逆矩陣D，使得用D 1左乘(1)式兩邊，得到一個(gè)新的模型：該模型具有同方差性。因?yàn)橛谑强捎肙LS法估計(jì)模型(2)式，記參數(shù)估計(jì)量為 ，則這就是原模型(1)式的加權(quán)最

12、小二乘估計(jì)量，是無偏的、有效的估計(jì)量如何得到權(quán)矩陣D 1 ？23一般情況下，對(duì)于模型如何得到權(quán)矩陣D 1 ？從上述的推導(dǎo)過程看，它來自于原模型隨機(jī)干擾項(xiàng)的方差-協(xié)方差矩陣 ，因此對(duì)原模型首先采用OLS法，得到隨機(jī)干擾項(xiàng)的近似估計(jì)量，以此構(gòu)成 的估計(jì)量，即這時(shí)可以直接以 作為權(quán)矩陣。24一般情況下，對(duì)于模型如何得到權(quán)矩陣D 1 ？這時(shí)可以直接以 作為權(quán)矩陣。25注意： 在實(shí)際操作中人們通常采用如下的經(jīng)驗(yàn)方法： 不對(duì)原模型進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時(shí)。 如果確實(shí)存在異方差，則被有效地消除了； 如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價(jià)于普通最小二乘法26通

13、過采用對(duì)數(shù)變換模型，也可降低異方差性的影響原模型：現(xiàn)模型：（1）對(duì)數(shù)變換能使測(cè)定變量值的尺度縮小，它可以將兩個(gè)數(shù)值之間原來10倍的差距縮小到只有2倍的差距。如90是9的10倍，但ln90(=4.4998)只有l(wèi)n10(=2.1972)的2倍。（2）經(jīng)過對(duì)數(shù)變換后的模型，其殘差ei表示為相對(duì)誤差，而相對(duì)誤差往往具有較小的差異。27七、案例-中國(guó)農(nóng)村居民人均消費(fèi)函數(shù) 例4 中國(guó)農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出主要由人均純收入來決定。 農(nóng)村人均純收入包括(1)從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)的收入，(2)包括從事其他產(chǎn)業(yè)的經(jīng)營(yíng)性收入，(3)工資性收入，(4)財(cái)產(chǎn)收入，(5)轉(zhuǎn)移支付收入。 考察從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)的收入(X1)和其他收入(

14、X2)對(duì)中國(guó)農(nóng)村居民消費(fèi)支出(Y)增長(zhǎng)的影響:2829普通最小二乘法的估計(jì)結(jié)果： 異方差檢驗(yàn)t =30進(jìn)一步的檢驗(yàn) （1）戈德菲爾德-匡特（G-Q）檢驗(yàn) 將原始數(shù)據(jù)按X2排成升序，去掉中間的7個(gè)數(shù)據(jù)，得兩個(gè)容量為12的子樣本。 對(duì)兩個(gè)子樣本分別作OLS回歸，求各自的殘差平方和RSS1和RSS2： 子樣本1： (3.18) (4.13) (0.94) R2=0.7068， RSS1=0.0648子樣本2： (0.43) (0.73) (6.53) R2=0.8339， RSS2=0.2729計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量 : F= RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.31 查表: 給定=5%，查得

15、臨界值 F0.05(9,9)=2.97判斷: F F0.05(9,9)， 否定兩組子樣方差相同的假設(shè)，從而該總體隨機(jī)項(xiàng)存在遞增異方差性。31（2）懷特檢驗(yàn) 作輔助回歸: （-0.04）(0.10) (0.21) (-0.12) (1.47) (-1.11) R2 =0.4638似乎沒有參數(shù)的t檢驗(yàn)是顯著的 。但n R2 =31*0.4638=14.38=5%下，臨界值 20.05(5)=11.07，拒絕同方差性 去掉交叉項(xiàng)后的輔助回歸結(jié)果： (1.36) (-0.64) (064) (-2.76) (2.90) R2 =0.4374X2項(xiàng)與X2的平方項(xiàng)的參數(shù)的t檢驗(yàn)是顯著的， 且 n R2 =31 0.4374=13.56 =5%下，臨界值 20.05(4)=9.49 拒絕同方差的原假設(shè) 32 原模型的加權(quán)最小二乘回歸 對(duì)原模型進(jìn)行OLS估計(jì)，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的近似估計(jì)量i ，再以1/| i|為權(quán)重進(jìn)行WLS估計(jì)，得各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)指標(biāo)全面改善比較OLS結(jié)果：33例：考慮下面兩個(gè)方程（王文博P146）C為總私人消