概率論與數(shù)理統(tǒng)計-教案32課時

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)第一章 隨機(jī)事件及其概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計是從數(shù)量化的角度來研究現(xiàn)實世界中一類不確定現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn)象）規(guī)律性的一門應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，20世紀(jì)以來，廣泛應(yīng)用于工業(yè)、國防、國民經(jīng)濟(jì)及工程技術(shù)等各個領(lǐng)域. 本章介紹的隨機(jī)事件與概率是概率論中最基本、最重要的概念之一.【教學(xué)目的與要求】通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解隨機(jī)事件和樣本空間的概念；熟練掌握事件間的關(guān)系與基本運(yùn)算。理解事件頻率的概念；了解隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。 知道概率的公理化定義；理解古典概型的概念；了解幾何概率；掌握概率的基本性質(zhì)（特

2、別是加法定理），會應(yīng)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率計算。理解條件概率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和貝葉斯公式，并會應(yīng)用這些公式進(jìn)行概率計算。理解事件獨(dú)立性的概念，會應(yīng)用事件的獨(dú)立性進(jìn)行概率計算。掌握貝努里概型及有關(guān)事件概率的計算?！窘虒W(xué)重點】 事件的關(guān)系與運(yùn)算；概率的公理化體系；古典概型的計算；概率的加法公式、乘法公式與全概率公式；條件概率與事件的獨(dú)立性。貝努里概型?！窘虒W(xué)難點】古典概率的計算；全概公式與貝葉斯公式的應(yīng)用；【計劃課時】8【教學(xué)內(nèi)容】第一節(jié) 隨機(jī)事件 一. 隨機(jī)現(xiàn)象從亞里士多德時代開始,哲學(xué)家們就已經(jīng)認(rèn)識到隨機(jī)性在生活中的作用, 但直到20世紀(jì)初, 人們才認(rèn)識到隨機(jī)現(xiàn)象亦可以通過數(shù)量化方

3、法來進(jìn)行研究. 概率論就是以數(shù)量化方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.而我們已學(xué)過的微積分等課程則是研究確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)學(xué)科. 二. 隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果事先不能預(yù)知, 初看似乎毫無規(guī)律. 然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)時, 其每種可能的結(jié)果出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性, 從而表明隨機(jī)現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性. 人們把隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)出現(xiàn)時所表現(xiàn)出的量的規(guī)律性稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科.為了對隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性進(jìn)行研究,就需要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察, 我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱為隨機(jī)試驗, 并簡稱為試驗，記為. 例如,

4、 觀察某射手對固定目標(biāo)進(jìn)行射擊; 拋一枚硬幣三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù); 記錄某市120急救電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等均為隨機(jī)試驗.隨機(jī)試驗具有下列特點:1. 可重復(fù)性: 試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;2. 可觀察性: 試驗結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的;3. 不確定性: 每次試驗出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知.三. 樣本空間盡管一個隨機(jī)試驗將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的, 但其所有可能結(jié)果是明確的, 我們把隨機(jī)試驗的每一種可能的結(jié)果稱為一個樣本點, 記為（或）；它們的全體稱為樣本空間, 記為(或). 基本事件的稱謂是相對觀察目的而言它們是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它們復(fù)合而成，一般

5、地，我們稱由基本事件復(fù)合而成的事件為復(fù)合事件.四. 事件的集合表示按定義, 樣本空間是隨機(jī)試驗的所有可能結(jié)果(樣本點)的全體, 故樣本空間就是所有樣本點構(gòu)成的集合, 每一個樣本點是該集合的元素. 一個事件是由具有該事件所要求的特征的那些可能結(jié)果所構(gòu)成的, 所以一個事件對應(yīng)于中具有相應(yīng)特征的樣本點(元素)構(gòu)成的集合, 它是的一個子集. 于是, 任何一個事件都可以用的某一子集來表示,常用字母等表示.五. 事件的關(guān)系與運(yùn)算因為事件是樣本空間的一個集合, 故事件之間的關(guān)系與運(yùn)算可按集合之間的關(guān)系和運(yùn)算來處理.六. 事件的運(yùn)算規(guī)律事件間的關(guān)系及運(yùn)算與集合的關(guān)系及運(yùn)算是一致的，為了方便，給出下列對照表：表

6、1.1例題選講：例1 在管理系學(xué)生中任選一名學(xué)生, 令事件A表示選出的是男生, 事件B表示選出的是三年級學(xué)生, 事件C表示該生是運(yùn)動員.(1)敘述事件的意義; (2)在什么條件下成立?(3)什么條件下? (4)什么條件下成立?例2 考察某一位同學(xué)在一次數(shù)學(xué)考試中的成績, 分別用A, B, C, D, P, F表示下列各事件(括號中表示成績所處的范圍): 則是兩兩不相容事件與是互為對立事件，即有 均為的子事件，且有例3 甲，乙，丙三人各射一次靶，記“甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 則可用上述三個事件的運(yùn)算來分別表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： (2) “甲中靶而乙未中靶”： (3) “三

7、人中只有丙未中靶” (4) “三人中恰好有一人中靶”：(5)“三人中至少有一人中靶” (6)“三人中至少有一人未中靶”或(7)“三人中恰有兩人中靶”(8)“三人中至少兩人中靶”(9)“三人均未中靶” (10)“三人中至多一人中靶(11)“三人中至多兩人中靶”或注：用其他事件的運(yùn)算來表示一個事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)實際上是同一事件，讀者應(yīng)學(xué)會用不同方法表達(dá)同一事件, 特別在解決具體問題時,往往要根據(jù)需要選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒?例4 指出下列各等式命題是否成立, 并說明理由:(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) 如果, 則 (6) 如果, 且,則;(7) 如

8、果, 那么; (8) 如果, 那么例5 化簡下列事件：(1) (2) 思考題1. 設(shè)當(dāng)事件與同時發(fā)生時也發(fā)生, 則 ( ).(A) 是的子事件; (B)或(C) 是的子事件; (D) 是的子事件.2. 設(shè)事件甲種產(chǎn)品暢銷, 乙種產(chǎn)品滯銷, 則的對立事件為 ( ).(A) 甲種產(chǎn)品滯銷,乙種產(chǎn)品暢銷; (B) 甲種產(chǎn)品滯銷;(C) 甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷; (D) 甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.第二節(jié) 隨機(jī)事件的概率對一個隨機(jī)事件，在一次隨機(jī)試驗中，它是否會發(fā)生，事先不能確定. 但我們可以問，在一次試驗中，事件發(fā)生的可能性有多大？并希望找到一個合適的數(shù)來表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小. 為此

9、，本節(jié)首先引入頻率，它描述了事件發(fā)生的頻繁程度，進(jìn)而引出表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)-概率.一. 頻率及其性質(zhì)定義1 若在相同條件下進(jìn)行次試驗, 其中事件發(fā)生的次數(shù)為, 則稱為事件發(fā)生的頻率.易見, 頻率具有下述基本性質(zhì): 1. 2. 3. 設(shè)是兩兩互不相容的事件, 則.二. 概率的統(tǒng)計定義定義2在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗，若事件發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù)(附近擺動，則稱為事件的概率，記為. 頻率的穩(wěn)定值是概率的外在表現(xiàn), 并非概率的本質(zhì). 據(jù)此確定某事件的概率是困難的，但當(dāng)進(jìn)行大量重復(fù)試驗時,頻率會接近穩(wěn)定值, 因此，在實際應(yīng)用時，往往是用試驗次數(shù)足夠大的

10、頻率來估計概率的大小, 且隨著試驗次數(shù)的增加, 估計的精度會越來越高。三. 概率的公理化定義任何一個數(shù)學(xué)概念都是對現(xiàn)實世界的抽象，這種抽象使得其具有廣泛的適用性. 概率的頻率解釋為概率提供了經(jīng)驗基礎(chǔ), 但是不能作為一個嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義, 從概率論有關(guān)問題的研究算起, 經(jīng)過近三個世紀(jì)的漫長探索歷程, 人們才真正完整地解決了概率的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義. 1933年, 前蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫, 在他的“概率論的基本概念”一書中給出了現(xiàn)在已被廣泛接受的概率公理化體系, 第一次將概率論建立在嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)上.定義3 設(shè)是隨機(jī)試驗, 是它的樣本空間,對于的每一個事件賦于一個實數(shù), 記為, 若滿足下列三個條件

11、:1. 非負(fù)性：對每一個事件,有 ; 2. 完備性：;3. 可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有則稱為事件的概率.四. 概率的性質(zhì)性質(zhì)1-性質(zhì)例題選講：頻率及其性質(zhì)例1 圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù), 我國數(shù)學(xué)家祖沖之第一次把它計算到小數(shù)點后七位, 這個記錄保持了1000多年! 以后有人不斷把它算得更精確. 1873年, 英國學(xué)者沈克士公布了一個的數(shù)值, 它的數(shù)目在小數(shù)點后一共有707位之多! 但幾十年后, 曼徹斯特的費(fèi)林生對它產(chǎn)生了懷疑. 他統(tǒng)計了的608位小數(shù), 得到了下表:你能說出他產(chǎn)生懷疑的理由嗎?因為是一個無限不循環(huán)小數(shù)，所以，理論上每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等，或它們出現(xiàn)的頻率應(yīng)

12、都接近于0.1，但7出現(xiàn)的頻率過小.這就是費(fèi)林產(chǎn)生懷疑的理由.概率的統(tǒng)計定義例2 檢查某工廠一批產(chǎn)品的質(zhì)量, 從中分別抽取10件、20件、50件、100件、150件、200件、300件檢查, 檢查結(jié)果及次品頻列入表1-21由表1看出, 在抽出的n件產(chǎn)品中, 次品數(shù)隨著n的不同而取不同值, 從而次品頻率僅在0.05附近有微小變化. 所以0.05是次品頻率的穩(wěn)定值.例3 從某魚池中取100條魚, 做上記號后再放入該魚池中. 現(xiàn)從該池中任意捉來40條魚, 發(fā)現(xiàn)其中兩條有記號, 問池內(nèi)大約有多少條魚?概率的性質(zhì)例4 已知 , 求 (1) ; (2) ; (3) ; (4) .例5 觀察某地區(qū)未來5天的

13、天氣情況, 記為事件: “有天不下雨”, 已知 求下列各事件的概率:(1) 天均下雨; (2) 至少一天不下雨; (2) 至少一天不下雨;例6 某城市中發(fā)行2種報紙A, B. 經(jīng)調(diào)查, 在這2種報紙的訂戶中, 訂閱A報的有45%,訂閱B報的有35%, 同時訂閱2種報紙A, B的有10%. 求只訂一種報紙的概率 講解注意：思考題1.設(shè) , 求事件的逆事件的概率.2.設(shè) 求. 3.設(shè)都出現(xiàn)的概率與都不出現(xiàn)的概率相等, 且, 求.第三節(jié) 古典概型與幾何概型引例 一個紙桶中裝有10個大小、形狀完全相同的球. 將球編號為110.把球攪勻, 蒙上眼睛從中任取一球. 因為抽取時這些球被抽到的可能性是完全平等

14、的, 所以我們沒有理由認(rèn)為這10個球中的某一個會比另一個更容易抽得, 也就是說,這10個球中的任一個被抽取的可能性均為.這樣一類隨機(jī)試驗是一類最簡單的概率模型, 它曾經(jīng)是概率論發(fā)展初期主要的研究對象. 一、古典概型我們稱具有下列兩個特征的隨機(jī)試驗?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判汀?. 隨機(jī)試驗只有有限個可能的結(jié)果;2. 每一個結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同.。因而古典概型又稱為等可能概型.在概率論的產(chǎn)生和發(fā)展過參程中，它是最早的研究對象，且在實際中也最常用的一種概率模型。它在數(shù)學(xué)上可表述為：在古典概型的假設(shè)下,我們來推導(dǎo)事件概率的計算公式. 設(shè)事件包含其樣本空間中個基本事件, 即則事件發(fā)生的概率稱此概率為古典概率.這

15、種確定概率的方法稱為古典方法. 這就把求古典概率的問題轉(zhuǎn)化為對基本事件的計數(shù)問題.二、 計算古典概率的方法基本計數(shù)原理：1. 加法原理：設(shè)完成一件事有種方式,其中第一種方式有種方法，第二種方式有種方法，,第種方式有種方法，無論通過哪種方法都可以完成這件事,則完成這件事的方法總數(shù)為.2. 乘法原理：設(shè)完成一件事有個步驟,其中第一個步驟有種方法，第二個步驟有種方法，第個步驟有種方法；完成該件事必須通過每一步驟才算完成，則完成這件事的方法總數(shù)為 .3. 排列組合方法：排列公式：(2) 組合公式； (3) 二項式公式.三、幾何概型古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗的概率模型. 這里我們進(jìn)一步研究

16、樣本空間為一線段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機(jī)試驗的概率模型幾何概型.（a）設(shè)樣本空間是平面上某個區(qū)域, 它的面積記為;（b）向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點,這里“隨機(jī)投擲一點”的含義是指該點落入內(nèi)任何部分區(qū)域的可能性只與區(qū)域的面積成比例, 而與區(qū)域的位置和形狀無關(guān). 向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點, 該點落在區(qū)域的的事件仍記為，則概率為, 其中為常數(shù)，而，于是得，從而事件的概率為 幾何概率 注: 若樣本空間為一線段或一空間立體, 則向“投點”的相應(yīng)概率仍可用式確定, 但應(yīng)理解為長度或體積.例題選講：例1 一個袋子中裝有10個大小相同的球, 其中3個黑球, 7個白球, 求從袋子中任取一球, 這個球是黑球的概率

17、;從袋子中任取兩球, 剛好一個白球一個黑球的概率以及兩個球全是黑球的概率.例2將標(biāo)號為1, 2, 3, 4的四個球隨意地排成一行, 求下列各事件的概率:(1) 各球自左至右或自右至左恰好排成1, 2, 3, 4的順序;(2) 第1號球排在最右邊或最左邊;(3) 第1號球與第2號球相鄰;(4) 第1號球排在第2號球的右邊(不一定相鄰).例3 將3個球隨機(jī)放入4個杯子中, 問杯子中球的個數(shù)最多為1, 2, 3的概率各是多少?例4將15名新生(其中有3名優(yōu)秀生)隨機(jī)地分配到三個班級中, 其中一班4名, 二班5名, 三班6名, 求:每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率;3名優(yōu)秀生被分配到一個班級的概率.

18、例5 在12000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個數(shù), 問取到的整數(shù)既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少?例6 一個袋子中裝有個球，其中個黑球，個白球，隨意的每次從中取出一個球（不放回），求下列各事件的概率：（1）第次取到的是黑球；（2）第次才取到黑球;（3）前次中能取到黑球.幾何概型例7 某人午覺醒來,發(fā)覺表停了, 他打開收音機(jī),想聽電臺報時, 設(shè)電臺每正點是報時一次, 求他(她)等待時間短于10分鐘的概率.例8會面問題) 甲、乙兩人相約在7點到8點之間在某地會面, 先到者等候另一人20分鐘, 過時就離開. 如果每個人可在指定的一小時內(nèi)任意時刻到達(dá), 試計算二人能夠會面的概率.思考題1. 設(shè)有件

19、產(chǎn)品, 其中有件次品, 現(xiàn)從中任取件, 求其中有件次品的概率.第四節(jié) 條件概率先由一個簡單的例子引入條件概率的概念.一、 條件概率的概念在解決許多概率問題時,往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率. 如在事件發(fā)生的條件下,求事件發(fā)生的條件概率,記作.定義1 設(shè)是兩個事件, 且, 則稱 (1)為在事件發(fā)生的條件下,事件的條件概率.相應(yīng)地，把稱為無條件概率。一般地，.注: 1. 用維恩圖表達(dá)(1)式.若事件已發(fā)生,則為使也發(fā)生,試驗結(jié)果必須是既在中又在中的樣本點,即此點必屬于.因已知已發(fā)生,故成為計算條件概率新的樣本空間. 2. 計算條件概率有兩種方法:：a) 在縮減的樣本空間中求事件的概

20、率，就得到；b) 在樣本空間中，先求事件和，再按定義計算。二、乘法公式由條件概率的定義立即得到: (2)注意到, 及的對稱性可得到: (3)(2)和(3)式都稱為乘法公式, 利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率.三、全概率公式 全概率公式是概率論中的一個基本公式。它使一個復(fù)雜事件的概率計算問題，可化為在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題。定理1 設(shè)是一個完備事件組,且則對任一事件,有注: 全概率公式可用于計算較復(fù)雜事件的概率, 公式指出: 在復(fù)雜情況下直接計算不易時,可根據(jù)具體情況構(gòu)造一組完備事件, 使事件發(fā)生的概率是各事件發(fā)生條件下引起事件發(fā)生的概率的總和.四、貝葉

21、斯公式利用全概率公式,可通過綜合分析一事件發(fā)生的不同原因、情況或途徑及其可能性來求得該事件發(fā)生的概率.下面給出的貝葉斯公式則考慮與之完全相反的問題,即,一事件已經(jīng)發(fā)生,要考察該事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性. 例如,有三個放有不同數(shù)量和顏色的球的箱子,現(xiàn)從任一箱中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率.或問:該球取自哪號箱的可能性最大?定理2 設(shè)是一完備事件組,則對任一事件,有 貝葉斯公式注: 公式中,和分別稱為原因的驗前概率和驗后概率.是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件是否發(fā)生)的情況下諸事件發(fā)生的概率.當(dāng)獲得新的信息(知道發(fā)生),人們對諸事件發(fā)生的概率有了新的估計. 貝葉斯

22、公式從數(shù)量上刻劃了這種變化. 特別地,若取,并記, 則,于是公式成為例題選講：條件概率例1 一袋中裝有10個球, 其中3個黑球, 7個白球, 先后兩次從袋中各取一球(不放回)(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率;(2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率.例2 袋中有5個球, 其中3個紅球2個白球. 現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個. 已知第一次取得紅球時, 求第二次取得白球的概率.乘法公式例3一袋中裝10個球, 其中3個黑球、7個白球, 先后兩次從中隨意各取一球(不放回), 求兩次取到的均為黑球的概率.分析：這一概率, 我們曾用古典概型方法計算過, 這里

23、我們使用乘法公式來計算. 在本例中, 問題本身提供了兩步完成一個試驗的結(jié)構(gòu), 這恰恰與乘法公式的形式相應(yīng), 合理地利用問題本身的結(jié)構(gòu)來使用乘法公式往往是使問題得到簡化的關(guān)鍵.例4設(shè)袋中裝有只紅球, 只白球.每次自袋中任取一只球, 觀察其顏色然后放回, 并再放入只與所取出的那只球同色的球. 若在袋中連續(xù)取球四次, 試求第一, 二次取到紅球且第三, 四次取到白球的概率.例5設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時打破的概率為1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10, 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10. 試求透鏡落下三次而未打破的概率.例6)已知 ， 試求例

24、7一袋中裝有10個球, 其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率.全概率公式例8人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化, 往往會去分析影響股票價格的基本因素, 比如利率的變化. 現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為60%, 利率不變的概率為40%. 根據(jù)經(jīng)驗, 人們估計, 在利率下調(diào)的情況下, 該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下, 其價格上漲的概率為40%, 求該支股票將上漲的概率.例9 某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個，廢品率為0.06, 乙廠每箱裝120個, 廢品率為0.05, 求:

25、 (1)任取一箱，從中任取一個為廢品的概率；(2)若將所有產(chǎn)品開箱混放,求任取一個為廢品的概率.例10 在例7中，我們將“第二次取到的球為黑球”這一事件分解為兩種情況下發(fā)生，那里利用全概率公式算得“第二次取到的球為黑球”的概率. 現(xiàn)在的問題是,假設(shè)我們已經(jīng)觀察到“第二次取到的球為黑球”，但我們不知道是在第一次取到的球為黑球的情況下第二次取的是黑球的可能性大，還是在第一次取到的球為白球的情況下第二次取到的是黑球的可能性大，現(xiàn)求“第一次取到的是黑球”這種“情況”發(fā)生的概率.例11對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明, 當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時, 產(chǎn)品的合格率為98%, 而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時, 其合格率為55%. 每

26、天早上機(jī)器開動時, 機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%. 試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時, 機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少?例12設(shè)某批產(chǎn)品中, 甲, 乙, 丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%, 35%, 20%, 各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%, 2%, 5%, 現(xiàn)從中任取一件,(1) 求取到的是次品的概率;(2) 經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品, 求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率.例13 根據(jù)以上的臨床記錄，某種診斷癌癥的是眼睛有如下的效果:若以表示事件“試驗反應(yīng)為陽性”，以表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有現(xiàn)在對自然人群進(jìn)行普查, 設(shè)備試驗的人患有癌癥的概率為0.005, 即, 試求思考題1.設(shè)某種動物由出生算起活

27、到20年以上的概率為0.8, 活到25年以上的概率為0.4. 問現(xiàn)年20歲的這種動物, 它能活到25歲以上的概率是多少?第五節(jié) 事件的獨(dú)立性一、 兩個事件的獨(dú)立性定義 若兩事件,滿足 (1)則稱,獨(dú)立, 或稱,相互獨(dú)立.注: 當(dāng),時, ,相互獨(dú)立與,互不相容不能同時成立. 但與既相互獨(dú)立又互不相容(自證).定理1 設(shè),是兩事件, 且,若,相互獨(dú)立, 則. 反之亦然.定理2 設(shè)事件,相互獨(dú)立,則下列各對事件也相互獨(dú)立: 與,與,與.二、有限個事件的獨(dú)立性定義：為三個事件, 若滿足等式則稱事件相互獨(dú)立. 對個事件的獨(dú)立性, 可類似寫出其定義:定義 設(shè)是個事件, 若其中任意兩個事件之間均相互獨(dú)立,

28、則稱兩兩獨(dú)立.三、 相互獨(dú)立性的性質(zhì)性質(zhì)1 若事件相互獨(dú)立, 則其中任意個事件也相互獨(dú)立;由獨(dú)立性定義可直接推出.性質(zhì)2 若個事件相互獨(dú)立, 則將中任意個事件換成它們的對立事件, 所得的個事件仍相互獨(dú)立; 對時，定理2已作證明, 一般情況可利用數(shù)學(xué)歸納法證之，此處略.性質(zhì)3設(shè)是個隨機(jī)事件，則相互獨(dú)立 兩兩獨(dú)立。 即相互獨(dú)立性是比兩兩獨(dú)立性更強(qiáng)的性質(zhì), 四、伯努利概型設(shè)隨機(jī)試驗只有兩種可能的結(jié)果: 事件發(fā)生(記為) 或 事件不發(fā)生(記為), 則稱這樣的試驗為伯努利(Bermourlli)試驗. 設(shè)將伯努利試驗獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次, 稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗為重伯努利試驗, 或簡稱為伯努利概型.注: 重

29、伯努利試驗是一種很重要的數(shù)學(xué)模型, 在實際問題中具有廣泛的應(yīng)用.其特點是:事件在每次試驗中發(fā)生的概率均為,且不受其他各次試驗中是否發(fā)生的影響.定理3（伯努利定理） 設(shè)在一次試驗中,事件發(fā)生的概率為則在重貝努里試驗中,事件恰好發(fā)生次的概率為推論 設(shè)在一次試驗中,事件發(fā)生的概率為 則在重貝努里試驗中, 事件在第次試驗中的才首次發(fā)生的概率為注意到“事件第次試驗才首次發(fā)生”等價于在前次試驗組成的重伯努利試驗中“事件在前次試驗中均不發(fā)生而第次試驗中事件發(fā)生”,再由伯努利定理即推得.例題選講：兩個事件的獨(dú)立性例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張, 記抽到, 抽到的牌是黑色的, 問事件、是否獨(dú)立?注：從例

30、1可見, 判斷事件的獨(dú)立性, 可利用定義或通過計算條件概率來判斷. 但在實際應(yīng)用中, 常根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立. 相互獨(dú)立性的性質(zhì)例2 已知甲、乙兩袋中分別裝有編號為1, 2, 3, 4的四個球. 今從甲、乙兩袋中各取出一球, 設(shè)從甲袋中取出的是偶數(shù)號球, 從乙袋中取出的是奇數(shù)號球, 從兩袋中取出的都是偶數(shù)號球或都是奇數(shù)號球, 試證兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立.例3 加工某一零件共需經(jīng)過四道工序, 設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別是2%, 3%, 5%, 3%, 假定各道工序是互不影響的, 求加工出來的零件的次品率.例4如圖是一個串并聯(lián)電路系統(tǒng).都是電路中的元件. 它們下方的數(shù)字是

31、它們各自正常工作的概率. 求電路系統(tǒng)的可靠性.例5甲, 乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽, 每局甲勝的概率為p,p1/2. 問對甲而言,采用三局二勝制有利, 還是采用五局三勝制有利. 設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立.例6 某種小數(shù)移栽后的成活率為90%, 一居民小區(qū)移栽了20棵,求能成活18的概率.伯努利概型例7一條自動生產(chǎn)線上的產(chǎn)品, 次品率為4%, 求解以下兩個問題:(1) 從中任取10件, 求至少有兩件次品的概率;(2) 一次取1件, 無放回地抽取,求當(dāng)取到第二件次品時, 之前已取到8件正品的概率.例8一個醫(yī)生知道某種疾病患者自然痊愈率為0.25, 為試驗一種新藥是否有效,把它給10個病人服用, 且規(guī)定若10個

32、病人中至少有四個治好則認(rèn)為這種藥有效, 反之則認(rèn)為無效. 求（1）雖然新藥有效，且把痊愈率提高到0.35，但通過實驗卻被否定的概率.（2）新藥完全無效，但通過實驗卻被認(rèn)為有效的概率.例9 一個袋中裝有10個球，其中3個黑球，7個白球，每次從中隨意取出一球，取后放回.（1）如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.（2）如果未取到黑球就一直去下去，直到取到黑球為止，求恰好要取3次黑球的概率.例10 一輛飛機(jī)場的交通車載有25名乘客途經(jīng)9個站，每位乘客都等可能在這9站中任意一站下車（且不受其他乘客下車與否的影響），交通車只在有乘客下車時才停車，求交通車在第站停車的

33、概率以及在第站不停車的條件下第站的概率，并判斷“第站停車”與“第站停車”兩個事件是否獨(dú)立.例11 某型號高炮,每門炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率為0.6,現(xiàn)若干門炮同時各射一發(fā), (1)問:欲以99%的把握擊中一架來犯的敵機(jī)至少需配置幾門炮? (2)現(xiàn)有3門炮,欲以99%的把握擊中一架來犯的敵機(jī),問:每門炮的命中率應(yīng)提高到多少?思考題：1. 某工人一天出廢品的概率為0.2, 求在4天中:(1)都不出廢品的概率; (2)至少有一天出廢品的概率;(3)僅有一天出廢品的概率; (4)最多有一天出廢品的概率;(5)第一天出廢品, 其余各天不出廢品的概率.第二章 隨機(jī)變量及其分布在隨機(jī)試驗中，人們除對某些

34、特定事件發(fā)生的概率感興趣外，往往還關(guān)心某個與隨機(jī)試驗的結(jié)果相聯(lián)系的變量. 由于這一變量的取值依賴于隨機(jī)試驗結(jié)果，因而被稱為隨機(jī)變量. 與普通的變量不同，對于隨機(jī)變量，人們無法事先預(yù)知其確切取值，但可以研究其取值的統(tǒng)計規(guī)律性. 本章將介紹兩類隨機(jī)變量及描述隨機(jī)變量統(tǒng)計規(guī)律性的分布.【教學(xué)目的與要求】 通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解隨機(jī)變量的概念；理解分布函數(shù)的概念和性質(zhì)；掌握離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法；理解分布律與概率密度的概念和性質(zhì)。熟練掌握二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布；會利用概率分布計算有關(guān)事件的概率。會求簡單的隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布；【教學(xué)重點】 離散型隨機(jī)變量的分

35、布律與連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的概念和性質(zhì)；二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布；隨機(jī)變量的函數(shù)的分布?！窘虒W(xué)難點】連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布；【計劃課時】7【教學(xué)內(nèi)容】第一節(jié) 隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量概念的引入為全面研究隨機(jī)試驗的結(jié)果, 揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性, 需將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化，即把隨機(jī)試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來.1.在有些隨機(jī)試驗中, 試驗的結(jié)果本身就由數(shù)量來表示. 2.在另一些隨機(jī)試驗中, 試驗結(jié)果看起來與數(shù)量無關(guān),但可以指定一個數(shù)量來表示之.二、隨機(jī)變量的定義定義：設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為, 稱定義在樣本空間上的實值單值函數(shù)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的比較

36、:(1)都是實值函數(shù),但前者在試驗前只知道它可能取值的范圍,而不能預(yù)先肯定它將取哪個值;(2) 試驗結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率,故前者取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.三、引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的引入,使得隨機(jī)試驗中的各種事件可通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來. 由此可見,隨機(jī)事件這個概念實際上是包容在隨機(jī)變量這個更廣的概念內(nèi).也可以說,隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則以動態(tài)的觀點來研究之.其關(guān)系類似高等數(shù)學(xué)中常量與變量的關(guān)系. 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機(jī)變量后,對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律

37、的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機(jī)試驗的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.隨機(jī)變量因其取值方式不同, 通常分為離散型和非離散型兩類. 而非非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量. 今后，我們主要討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.例題選講：例1 在拋擲一枚硬幣進(jìn)行打賭時, 若規(guī)定出現(xiàn)正面時拋擲者贏1元錢, 出現(xiàn)反面時輸1元錢, 則其樣本空間為正面, 反面,記贏錢數(shù)為隨機(jī)變量, 則作為樣本空間的實值函數(shù)定義為 例2在將一枚硬幣拋擲三次, 觀察正面、反面出現(xiàn)情況的試驗中, 其樣本空間記每次試驗出現(xiàn)正面的總次數(shù)為隨機(jī)變量, 則作為樣本空間上的函數(shù)定義為易見, 使取值為的樣本點構(gòu)成的子集為故 類似地

38、，有例3 在測試燈泡壽命的試驗中, 每一個燈泡的實際使用壽命可能是中任何一個實數(shù), 若用表示燈泡的壽命（小時），則是定義在樣本空間上的函數(shù)，即，是隨機(jī)變量.思考題：. 一報童賣報, 每份0.15元,其成本為0.10元. 報館每天給報童1000份報, 并規(guī)定他不得把賣不出的報紙退回. 設(shè)為報童每天賣出的報紙份數(shù), 試將報童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為, 稱為的概率分布或分布律, 也稱概率函數(shù).常用表格形式來表示的概率分布: 二、常用離散分布 退化分布 兩點分布 個點上的均勻分布 二項分布

39、 幾何分布 超幾何分布泊松分布：泊松分布是概率論中最重要的幾個分布之一. 實際問題中許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從泊松分布.三、二項分布的泊松近似定理1 (泊松定理) 在重伯努利試驗中, 事件在每次試驗中發(fā)生的概率為(注意這與試驗的次數(shù)有關(guān)), 如果時, (為常數(shù)), 則對任意給定的, 有. 例題選講：離散型隨機(jī)變量及其概率分布例1某籃球運(yùn)動員投中籃圈的概率是0.9, 求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)的概率分布.例2設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為:.確定常數(shù).二項分布例3 已知100個產(chǎn)品中有5個次品, 現(xiàn)從中有放回地取3次, 每次任取1個, 求在所取的3個中恰有2個次品的概率.例4某人進(jìn)行射擊, 每次射擊的命

40、中率為0.02, 獨(dú)立射擊400次, 試求至少擊中兩次的概率.例5有80臺同類型設(shè)備, 各臺工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01, 且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理. 考慮兩種配備維修工人的方法, 其一由4人維護(hù), 每人負(fù)責(zé)20臺; 其二由3人共同維護(hù)80臺. 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.幾何分布例6某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊, 直到命中為止, 已知他每發(fā)命中的概率是, 求所需射擊發(fā)數(shù)的概率分布.泊松分布例7某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)的泊松分布, 求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率.二項分布的泊松近似例8某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品300件. 根據(jù)歷史

41、生產(chǎn)記錄知廢品率為0.01. 問現(xiàn)在這300件產(chǎn)品經(jīng)檢驗廢品數(shù)大于5的概率是多少?例9一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過去的銷售記錄知道, 某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來描述, 為了以95%以上的把握保證不脫銷, 問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件?例10自1875年至1955年中的某63年間, 上海市夏季(59月)共發(fā)生大暴雨180次, 試建立上海市夏季暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型.思考題1.某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率是0.2, 求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率.2.一汽車沿一街道行駛, 需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口, 每個信號燈為紅或綠與其

42、它信號燈為紅或綠相互獨(dú)立, 且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等. 以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù), 求的概率分布.第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)要描述一個隨機(jī)變量時，不僅要說明它能夠取哪些值，而且還要指出它取這些值的概率. 只有這樣，才能真正完整地刻畫一個隨機(jī)變量, 為此，我們引入隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念.一. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義 設(shè)是一個隨機(jī)變量, 稱為的分布函數(shù).有時記作或.分布函數(shù)的性質(zhì)：1. 單調(diào)非減. 若, 則；2. 3. 右連續(xù)性. 即二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為則的分布函數(shù)為.例題選講：隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1等可能地在數(shù)軸上的有界區(qū)間上投點,

43、 記為落點的位置(數(shù)軸上的坐標(biāo)) , 求隨機(jī)變量的分布函數(shù).例2判別下列函數(shù)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)例3設(shè) 求.例4 具有離散均勻分布, 即求的分布函數(shù).例5設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求的概率分布.思考題1設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為,求的的分布函數(shù)。 第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度一、 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義 如果對隨機(jī)變量的分布函數(shù),存在非負(fù)可積函數(shù),使得對于任意實數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱為的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度或密度函數(shù).關(guān)于概率密度的說明：1. 對一個連續(xù)型隨機(jī)變量,若已知其密度函數(shù),則根據(jù)定義,可求得其分布函數(shù), 同時, 還可求得的取值落在任

44、意區(qū)間上的概率:；2. 連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定值的概率為0；3. 若在點處連續(xù), 則 (1)二、常用連續(xù)型分布均勻分布定義 若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為則稱在區(qū)間上服從均勻分布, 記為.指數(shù)分布定義 若隨機(jī)變量的概率密度為則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布.簡記為正態(tài)分布定義 若隨機(jī)變量的概率密度為其中和都是常數(shù), 則稱服從參數(shù)為和的正態(tài)分布. 記為注: 正態(tài)分布是概率中最重要的連續(xù)型分布, 19世紀(jì)前葉由高斯加以推廣, 又稱高斯分布.一般來說，一個隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素的影響，而其中每一個因素都不起主導(dǎo)作用（作用微?。瑒t它服從正態(tài)分布. 這是正態(tài)分布在實踐中得以廣泛應(yīng)用的原因. 例如, 產(chǎn)品

45、的質(zhì)量指標(biāo), 元件的尺寸, 某地區(qū)成年男子的身高、體重, 測量誤差, 射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差, 信號噪聲、農(nóng)作物的產(chǎn)量等等, 都服從或近似服從正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布當(dāng)時稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 此時, 其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示: 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于, 任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理 設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用：（1）表中給出了時的數(shù)值, 當(dāng)時, 利用正態(tài)分布的對稱性, 易見有（2） 若則（3）若,則故的分布函數(shù)例題選講：連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度例1 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求其分布函數(shù).例2設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度例3設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求

46、(1) 概率; (2) X的密度函數(shù).常用連續(xù)型分布均勻分布例4某公共汽車站從上午7時起, 每15分鐘來一班車, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等時刻有汽車到達(dá)此站, 如果乘客到達(dá)此站時間是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.指數(shù)分布例5某元件的壽命服從指數(shù)分布, 已知其平均壽命為1000小時，求3個這樣的元件使用1000小時, 至少已有一個損壞的概率.正態(tài)分布例6設(shè), 求 例7 設(shè)某項競賽成績（65, 100），若按參賽人數(shù)的10%發(fā)獎，問獲獎分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少？例8將一溫度調(diào)節(jié)器放置在內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在，液體的溫度（以計）是一個隨機(jī)變量，且 (

47、1) 若 ，求小于89 的概率；(2) 若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問至少為多少？例9某企業(yè)準(zhǔn)備通過招聘考試招收300名職工,其中正式工280人, 臨時工20人; 報考的人數(shù)是1657人, 考試滿分是400分. 考試后得知, 考試總平均成績, 即分, 360分以上的高分考生31人. 某考生B得256分, 問他能否被錄取? 能否被聘為正式工?例10在電源電壓不超過200伏，在200240伏和超過240伏三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2. 假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布(220，25)，試求：(1) 該電子元件損壞的概率; (2) 該電子元件損壞

48、時，電源電壓在200240伏的概率.思考題1.已知，求(1) (2) ;(3) (4) 2.某種型號電池的壽命近似服從正態(tài)分布, 已知其壽命在250小時以上的概率和壽命不超過350小時的概率均為92.36%, 為使其壽命在和之間的概率不小于0.9, 至少為多少?第五節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、 隨機(jī)變量的函數(shù)定義 如果存在一個函數(shù), 使得隨機(jī)變量滿足,則稱隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的函數(shù).注: 在微積分中,我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時, 主要研究函數(shù)關(guān)系的確定性特征, 例如:導(dǎo)數(shù)、積分等.而在概率論中, 我們主要研究是隨機(jī)變量函數(shù)的隨機(jī)性特征, 即由自變量的統(tǒng)計規(guī)律性出發(fā)研究因變量的統(tǒng)計性規(guī)律.一般地,

49、對任意區(qū)間, 令, 則注: 隨機(jī)變量與的函數(shù)關(guān)系確定,為從的分布出發(fā)導(dǎo)出的分布提供了可能.二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為易見, 的函數(shù)顯然還是離散型隨機(jī)變量。如何由的概率分布出發(fā)導(dǎo)出的概率分布? 其一般方法是：先根據(jù)自變量的可能取值確定因變量的所有可能取值, 然后對的每一個可能取值確定相應(yīng)的從而求得的概率分布.三、 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般地, 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)不一定是連續(xù)型隨機(jī)變量, 但我們主要討論連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)還是連續(xù)型隨機(jī)變量的情形, 此時我們不僅希望求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù), 而且還希望求出其概率密度函數(shù).設(shè)已知的分布函數(shù)或概率密度函數(shù), 則隨

50、機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)可按如下方法求得:其中而常?？捎傻姆植己瘮?shù)來表達(dá)或用其概率密度函數(shù)的積分來表達(dá):進(jìn)而可通過的分布函數(shù), 求出的密度函數(shù).定理1 設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,又設(shè)處處可導(dǎo)且恒有(或恒有), 則是一個連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為 其中是的反函數(shù), 且例題選講：離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1設(shè)隨機(jī)變量具有以下的分布律, 試求的分布律連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2對一圓片直徑進(jìn)行測量, 其值在5, 6上均勻分布, 求圓片面積的概率分布密度.例3設(shè), 求的概率密度.例4 設(shè), 求的密度函數(shù).例5已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù), 證明服從上的均勻分布.例6也服從正態(tài)分布.例7設(shè)隨機(jī)

51、變量在上服從均勻分布, 求的概率密度.例8 (對數(shù)正態(tài)分布) 隨機(jī)變量稱為服從參數(shù)為的對數(shù)正態(tài)分布, 如果服從正態(tài)分布. 試求對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù).注： 在實際中, 通常用對數(shù)正態(tài)分布來描述價格的分布, 特別是在金融市場的理論研究中, 如著名的期權(quán)定價公式（BlackScholes公式）, 以及許多實證研究都用對數(shù)正態(tài)分布來描述金融資產(chǎn)的價格. 設(shè)某種資產(chǎn)當(dāng)前價格為, 考慮單期投資問題, 到期時該資產(chǎn)的價格為一個隨機(jī)變量, 記作, 設(shè)投資于該資產(chǎn)的連續(xù)復(fù)合收益率為, 則有從而注意到為當(dāng)前價格, 是已知常數(shù),因而假設(shè)價格服從對數(shù)正態(tài)分布實際上等價于假設(shè)連續(xù)復(fù)合收益率服從正態(tài)分布.例9設(shè)隨機(jī)變量

52、服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 求的分布函數(shù).思考題1. 設(shè)X的分布列為求: (1) 2X的分布列; (2) 的分布列.2. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度.第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 在實際應(yīng)用中, 有些隨機(jī)現(xiàn)象需要同時用兩個或兩個以上的隨機(jī)變量來描述. 例如, 研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況時, 就要同時抽查兒童的身高、體重, 這里, 和是定義在同一個樣本空間某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童上的兩個隨機(jī)變量. 又如, 考察某次射擊中彈著點的位置時，就要同時考察彈著點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo). 在這種情況下，我們不但要研究多個隨機(jī)變量各自的統(tǒng)計規(guī)律，而且還要研究它們之間的統(tǒng)計相依關(guān)系，因而還需考察它們的聯(lián)合取值

53、的統(tǒng)計規(guī)律，即多為隨機(jī)變量的分布. 由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難, 故我們重點討論二維隨機(jī)變量.【教學(xué)目的與要求】 通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解隨機(jī)向量（多維隨機(jī)變量）的概念；了解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合分布律、聯(lián)合分布密度的概念和性質(zhì)，并會計算有關(guān)事件的概率。掌握二維隨機(jī)變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系。理解隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念，并會應(yīng)用隨機(jī)變量的獨(dú)立性進(jìn)行概率計算。會求簡單的二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布?！窘虒W(xué)重點】 二維隨機(jī)變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系與計算；隨機(jī)變量的獨(dú)立性。【教學(xué)難點】條件分布；二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布；【計劃課時】5【教學(xué)內(nèi)容】第一節(jié) 多維隨機(jī)變量的分布一、 二維

54、隨機(jī)變量定義1 設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為, 為樣本點，而是定義在上的兩個隨機(jī)變量, 稱為定義在上的二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量.二、 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2 設(shè)是二維隨機(jī)變量, 對任意實數(shù), 二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)或稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù).聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì):（1） 且對任意固定的 對任意固定的(2) 關(guān)于和均為單調(diào)非減函數(shù), 即對任意固定的 當(dāng)對任意固定的 當(dāng)(3) 關(guān)于和均為右連續(xù), 即 三、 二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義3 若二維隨機(jī)變量只取有限個或可數(shù)個值, 則稱為二維離散型隨機(jī)變量.結(jié)論：為二維離散型隨機(jī)變量當(dāng)且僅當(dāng)均為離散型隨機(jī)變量.若二維離散型隨機(jī)變量所

55、有可能的取值為 則稱為二維離散型隨機(jī)變量的概率分布(分布律), 或的聯(lián)合概率分布(分布律).與一維情形類似,有時也將聯(lián)合概率分布用表格形式來表示, 并稱為聯(lián)合概率分布表: 注：對離散型隨機(jī)變量而言, 聯(lián)合概率分布不僅比聯(lián)合分布函數(shù)更加直觀, 而且能夠更加方便地確定取值于任何區(qū)域上的概率，即,特別地, 由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù):四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義 設(shè)為二維隨機(jī)變量,為其分布函數(shù), 若存在一個非負(fù)可積的二元函數(shù), 使對任意實數(shù), 有則稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量, 為的概率密度(密度函數(shù)), 或的聯(lián)合概率密度(聯(lián)合密度函數(shù)).概率密度函數(shù)的性質(zhì): (3) 設(shè)是平面上的區(qū)域,

56、點落入內(nèi)的概率為特別地, 邊緣分布函數(shù)上式表明: 是連續(xù)型隨機(jī)變量, 且其密度函數(shù)為:同理, 是連續(xù)型隨機(jī)變量, 且其密度函數(shù)為:,分別稱和為關(guān)于和的邊緣密度函數(shù).(4) 若在點連續(xù), 則有 進(jìn)一步, 根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義, 可推得:當(dāng)很小時, 有即, 落在區(qū)間上的概率近似等于五、二維均勻分布設(shè)是平面上的有界區(qū)域,其面積為.若二維隨機(jī)變量具有概率密度函數(shù)則稱在上服從均勻分布.六、二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量具有概率密度其中均為常數(shù),且,則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布.注：二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布，且都不依賴于參數(shù)，亦即對給定的，不同的對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，但它們的邊緣分布都是相

57、同的，因此僅由關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布，一般來說不能確定二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的例題選講：二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為(1) 試確定常數(shù) (2) 求事件的概率.二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布例2設(shè)隨機(jī)變量在1, 2, 3, 4四個整數(shù)中等可能地取一個值，另一個隨機(jī)變量在1中等可能地取一整數(shù)值，試求的分布律.例3把一枚均勻硬幣拋擲三次, 設(shè)為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù), 而為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值, 求的概率分布及關(guān)于的邊緣分布.例4 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為 YX010.30.10.110.050.2020.200.05求及二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

58、例5 的概率分布由表31B給出，求 表31B 0200.10.2010.20.050.120.1500.1例6 一整數(shù)等可能地在十值中取一個值. 設(shè)是能整除的正整數(shù)的個數(shù)，是能整除的素數(shù)的個數(shù)（注意1不是素數(shù)）. 試寫出和的聯(lián)合分布律.并求分布律.例7 (1) 求分布函數(shù) (2) 求概率例8設(shè)的概率密度是求 (1) 的值; (2) 兩個邊緣密度.二維均勻分布例9 設(shè)隨機(jī)變量和具有聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度.例10設(shè)服從單位圓域上的均勻分布, 求X和Y的邊緣概率密度.二維正態(tài)分布例11設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度試求關(guān)于的邊緣概率密度函數(shù).思考題1.將兩封信隨意地投入3個郵筒, 設(shè),分別表示投入第1

59、, 2號郵筒中信的數(shù)目, 求和的聯(lián)合概率分布及邊緣概率分布.2.設(shè)向量的密度函數(shù)的密度函數(shù)為求 (1) 參數(shù)的值；（2）的邊緣密度.第二節(jié) 條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、 條件分布的概念設(shè)是一個隨機(jī)變量, 其分布函數(shù)為若另外有一事件已經(jīng)發(fā)生, 并且的發(fā)生可能會對事件發(fā)生的概率產(chǎn)生影響, 則對任一給定的實數(shù), 記稱為在發(fā)生的條件下, 的條件分布函數(shù).二、 隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)是隨機(jī)變量所生成的事件: , 且, 則有.一般地, 由于隨機(jī)變量之間存在相互聯(lián)系,因而一個隨機(jī)變量的取值可能會影響另一個隨機(jī)變量的取值統(tǒng)計規(guī)律性. 在何種情況下, 隨機(jī)變量之間沒有上述影響, 而具有所謂的“獨(dú)立性”, 我們引入

60、如下定義.定義 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為, 邊緣分布函數(shù)為, 若對任意實數(shù),有即則稱隨機(jī)變量和相互獨(dú)立.關(guān)于隨機(jī)變量的獨(dú)立性, 有下列兩個定理.定理1 隨機(jī)變量與相互獨(dú)立的充要條件是所生成的任何事件與生成的任何事件獨(dú)立, 即, 對任意實數(shù)集, 有定理2如隨機(jī)變量與相互獨(dú)立, 則對任意函數(shù)均有相互獨(dú)立.三、離散型隨機(jī)變量的條件分布與獨(dú)立性設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量, 其概率分布為由條件概率公式, 當(dāng), 有稱其為在條件下隨機(jī)變量的條件概率分布.對離散型隨機(jī)變量, 其獨(dú)立性的定義等價于:若對的所有可能取值 有即則稱和相互獨(dú)立.四、 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度與獨(dú)立性定義 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為