《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》梁慧冰 孫炳達(dá) 1. 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述修改

1、第一章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1本章主要內(nèi)容1.1 狀態(tài)空間分析法1.2 狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖1.3 狀態(tài)空間描述的建立1.4 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述及其幾種標(biāo)準(zhǔn)形式1.5 由狀態(tài)空間求傳遞函數(shù)1.6 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.7 狀態(tài)矢量的線性變換2系統(tǒng)描述中常用的基本概念 系統(tǒng)的外部描述 傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的內(nèi)部描述 狀態(tài)空間描述3 1、外部描述 經(jīng)典控制理論中，系統(tǒng)一般可用常微分方程在時(shí)域內(nèi)描述，對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)要求解高階微分方程，這是相當(dāng)困難的。 經(jīng)典控制理論中采用拉氏變換法在復(fù)頻域內(nèi)描述系統(tǒng)，得到聯(lián)系輸入-輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)，基于傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)SISO系統(tǒng)極為有效，可從傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布得

2、出系統(tǒng)定性特性，并已建立起一整套圖解分析設(shè)計(jì)法，至今仍得到廣泛成功地應(yīng)用。 但傳遞函數(shù)對(duì)系統(tǒng)是一種外部描述，它不能描述處于系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)變量；且忽略了初始條件。因此傳遞函數(shù)不能包含系統(tǒng)的所有信息。 42、內(nèi)部描述 由于六十年代以來(lái)，控制工程向復(fù)雜化、高性能方向發(fā)展，所需利用的信息不局限于輸入量、輸出量、誤差等，還需要利用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變化規(guī)律，加之利用數(shù)字計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)及實(shí)時(shí)控制，因而可能處理復(fù)雜的時(shí)變、非線性、MIMO系統(tǒng)的問(wèn)題，但傳遞函數(shù)法在這新領(lǐng)域的應(yīng)用受到很大限制。于是需要用新的對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行描述的新方法：狀態(tài)空間分析法。51.1 狀態(tài)空間分析法狀態(tài)空間分析法例子狀態(tài)變量和狀態(tài)

3、矢量狀態(tài)空間和狀態(tài)空間描述6一、狀態(tài)空間分析法例子1、R-L-C電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 解：以 作為中間變量，列寫該回路的微分方程 選7 為系統(tǒng)兩狀態(tài)變量，則原方程可化成寫成矩陣方程： 8一、狀態(tài)空間分析法例子2、機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 外力 位移根據(jù)牛頓力學(xué)原理令-彈性系數(shù)阻尼系數(shù)9動(dòng)態(tài)方程如下10狀態(tài)空間描述為： 11二、狀態(tài)變量和狀態(tài)矢量狀態(tài)：指系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（可以是物理的或非物理的）。狀態(tài)可以理解為系統(tǒng)記憶，t=t0時(shí)刻的初始狀態(tài)能記憶系統(tǒng)在 t=t0時(shí)輸入的時(shí)間函數(shù) ，那么，系統(tǒng)在t=t0的任何瞬間的行為 就完全確定了。最小個(gè)數(shù)：意味著這組變量是互相獨(dú)立的。一個(gè)用n階微分方程描述的含有n個(gè)獨(dú)立變

4、量的系統(tǒng)，當(dāng)求得n個(gè)獨(dú)立變量隨時(shí)間變化的規(guī)律時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)可完全確定。若變量數(shù)目多于n，必有變量不獨(dú)立；若少于n，又不足以描述系統(tǒng)狀態(tài)。12 狀態(tài)變量的選取具有非唯一性，即可用某一組、也可用另一組數(shù)目最少的變量。狀態(tài)變量不一定要象系統(tǒng)輸出量那樣，在物理上是可測(cè)量或可觀察的量，但在實(shí)用上畢竟還是選擇容易測(cè)量的一些量，以便滿足實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋、改善系統(tǒng)性能的需要。13狀態(tài)矢量：把 這幾個(gè)狀態(tài)變量看成是矢量 的分量，則 稱為狀態(tài)矢量。記作：或：14狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維空間。在某一特定時(shí)刻t ，狀態(tài)向量 是狀態(tài)空間的一個(gè)點(diǎn)。狀態(tài)軌跡：以 為起點(diǎn)，隨著時(shí)間的推移， 在狀態(tài)空間繪出的一條軌

5、跡。三、狀態(tài)空間和狀態(tài)空間描述15狀態(tài)空間描述 用狀態(tài)變量構(gòu)成輸入、輸出與狀態(tài)之間的關(guān)系方程組即為狀態(tài)空間描述。狀態(tài)空間描述是狀態(tài)方程、輸出方程的組合： （1）狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入變量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為狀態(tài)方程。 （2）在指定輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量和輸入之間的函數(shù)關(guān)系稱為輸出方程。反映系統(tǒng)中輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系。 由于n階系統(tǒng)有n個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量，于是狀態(tài)方程是n個(gè)的一階微分方程或差分方程。由于狀態(tài)變量的選取具有非唯一性，所選取的狀態(tài)變量不同，狀態(tài)空間描述也不同，故系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也具有非唯一性。 16 在討論狀態(tài)方程時(shí)，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，先假設(shè)系統(tǒng)的輸入變

6、量為階躍函數(shù)，即u的導(dǎo)數(shù)為零。SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為 ，則一般形式的狀態(tài)空間描述寫作： (1-8) (1-9)式中常系數(shù) ； 與系統(tǒng)特性有關(guān)。 SISO線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：17方程（1-8）、（1-9）可寫成矩陣形式： 輸入矩陣，n1列矩陣。式中： n維狀態(tài)矢量系統(tǒng)矩陣，nn矩陣。 ：輸出矩陣，1n行矩陣），d為直接聯(lián)系輸入量、輸出量的前向傳遞（前饋）系數(shù)，又稱前饋系數(shù)。 18MIMO線性定常系統(tǒng)（r個(gè)輸入，m個(gè)輸出）的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述為：19寫成矩陣形式有：其中：2021常用符號(hào)：系統(tǒng)框圖：系統(tǒng)框圖：注:負(fù)反饋時(shí)為注：有幾個(gè)狀態(tài)變量，就建幾個(gè)積分器積分器比例器

7、加法器22線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述：其中：23241.2 狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間描述的結(jié)構(gòu)圖繪制步驟：畫(huà)出所有積分器；積分器的個(gè)數(shù)等于狀態(tài)變量數(shù)，每個(gè)積分器的輸出表示相應(yīng)的某個(gè)狀態(tài)變量。根據(jù)狀態(tài)方程和輸出方程，畫(huà)出相應(yīng)的加法器和比例器；用箭頭將這些元件連接起來(lái)。25例1-1 畫(huà)出一階微分方程的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖。狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖微分方程：26系統(tǒng)系統(tǒng)271.3 狀態(tài)空間描述的建立建立狀態(tài)空間描述的三個(gè)途徑：1、由系統(tǒng)框圖建立2、由系統(tǒng)物理或化學(xué)機(jī)理進(jìn)行推導(dǎo)3 、由微分方程或傳遞函數(shù)演化而得28一、由系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間描述例1-4：系統(tǒng)框圖如下：關(guān)鍵：將積分部分單獨(dú)表述出來(lái)，對(duì)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變換等效變換如下：2

8、9圖中有三個(gè)積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個(gè)狀態(tài)變量如上圖（選擇積分環(huán)節(jié)后的變量為狀態(tài)變量）：則有：寫成矩陣形式：30系統(tǒng)31二、由系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間描述步驟：1)根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理建立相應(yīng)的微分方程或差分方程；2)選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)變量；3)導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)式。32狀態(tài)變量的選取原則系統(tǒng)儲(chǔ)能元件的輸出系統(tǒng)輸出及其各階導(dǎo)數(shù)使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量（對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型）33電路如圖所示。建立該電路以電壓u1,u2為輸入量，uA為輸出量的狀態(tài)空間表達(dá)式。例1-6 圖L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1L1解：1) 選擇狀態(tài)變量 兩個(gè)儲(chǔ)能元件L1和L2，可以選擇i1和i2為狀態(tài)變

9、量，且兩者是獨(dú)立的。342）根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫2個(gè)回路的微分方程：整理得：353）狀態(tài)空間表達(dá)式為：36例1-7試列出在外力f作用下，以質(zhì)量 的位移 為輸出的狀態(tài)空間描述。解：該系統(tǒng)有四個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件。取狀態(tài)變量如下：質(zhì)量塊受力圖如下：37則有：及：將所選的狀態(tài)變量代入上式并整理出狀態(tài)方程得：輸出方程：狀態(tài)方程：38寫成矩陣形式：=432100100001xxxxy391.4 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述 及其幾種標(biāo)準(zhǔn)形式 對(duì)于給定的系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)，尋求對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述而不改變系統(tǒng)的輸入-輸出特性，稱此狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。由于所選狀態(tài)變量不同，其狀態(tài)空間

10、描述也不同，故其實(shí)現(xiàn)方法有多種。 為便于揭示系統(tǒng)內(nèi)部的重要結(jié)構(gòu)特性，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)最有意義，從傳遞函數(shù)組成上可分存在與不存在零、極點(diǎn)對(duì)消兩種情況，這里只研究不存在零、極點(diǎn)對(duì)消的情況，所求得的狀態(tài)空間描述中，狀態(tài)變量數(shù)量最少，各矩陣的維數(shù)最小，構(gòu)造硬件系統(tǒng)時(shí)所需的積分器個(gè)數(shù)最少，稱為最小實(shí)現(xiàn)。 本節(jié)先研究SISO系統(tǒng)。40線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為n階SISO控制系統(tǒng)的時(shí)域模型為：可實(shí)現(xiàn)的條件： mn系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：41當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)中m=n時(shí)，即應(yīng)用長(zhǎng)除法有42式中 是直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù)， 是嚴(yán)格有理真分式，其系數(shù)用綜合除法得其狀態(tài)空間描述為(1-44) (1-45) 式中A

11、、b、c由實(shí)現(xiàn)方式確定，其形式不變，唯輸出方程中需增加一項(xiàng) 43微分方程形式（微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）： 一、傳遞函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：441.）選擇狀態(tài)變量 若給定初始條件 則系統(tǒng)行為被完全確定，依此選擇一組狀態(tài)變量。即： 令:1、標(biāo)準(zhǔn)I型452.）化為向量矩陣形式： 狀態(tài)方程為: 輸出方程為:46注：狀態(tài)變量是輸出y及y的各階導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)矩陣A特點(diǎn)：主對(duì)角線上方的元素為1，最后一行為微分方程系數(shù)的負(fù)值，其它元素全為0，稱為友矩陣或相伴矩陣。3.）畫(huà)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖： 472、標(biāo)準(zhǔn)II型1.）選擇狀態(tài)變量 若給定初始條件 則系統(tǒng)行為被完全確定，依此選擇一組狀態(tài)變量。即： 令

12、:482.）化為向量矩陣形式： 狀態(tài)方程為: 輸出方程為:49注：標(biāo)準(zhǔn)I型的A、b陣和標(biāo)準(zhǔn)II型的A、c陣互為轉(zhuǎn)置的關(guān)系，即：50二、傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)不失一般性，微分方程形式：狀態(tài)變量選擇原則： 使導(dǎo)出的一階微分方程組右邊不出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。51設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：應(yīng)用長(zhǎng)除法有1、標(biāo)準(zhǔn)I型其中：52（1）能控I型引入中間變量z，以u(píng)作為輸入、z作為輸出的不含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的微分方程，即 (1-17)53定義如下一組狀態(tài)變量(1-18)可得狀態(tài)方程：54輸出方程為其向量-矩陣形式為式中55（2）能觀測(cè)I型1.）選擇狀態(tài)變量式中系數(shù) 是待定系數(shù).整理(2)式得:由結(jié)構(gòu)圖可以看出:56聯(lián)立(3)式和

13、(4)式，即可求得狀態(tài)空間表達(dá)式為：輸出方程:狀態(tài)方程:A仍然是友矩陣從中可以看出，狀態(tài)空間表達(dá)式中不含有u的各階導(dǎo)數(shù)了2.）求思路:由式(2)可以看出，將y表示成u的各階導(dǎo)數(shù)和x的形式，并代入 原始微分方程式(1)中 ，根據(jù)u及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則求解：57由式(2)可以得到下式：在結(jié)構(gòu)圖中增加一個(gè)中間變量：令由式(5)和式(6)可求得：(7)58將式(5)和式(7)代入原始微分方程式(1)中，根據(jù)左右等式中u及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則可得到：為便于記憶，將上式寫成：592、標(biāo)準(zhǔn)II型與標(biāo)準(zhǔn)I型相同，標(biāo)準(zhǔn)II型也分為能控II型和能觀II型。能觀II型與能控I型互為對(duì)偶。能控II型與能

14、觀I型互為對(duì)偶。603、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型不失一般性，討論此系統(tǒng)：也有一個(gè)q重極點(diǎn)：分析：既有互異極點(diǎn)：實(shí)現(xiàn)方法： 整理得61（1）對(duì)于互異極點(diǎn)部分：令拉氏反變換可得：系數(shù) 為待定系數(shù)，其中 ，采用留數(shù)定理計(jì)算：62（2）對(duì)于重極點(diǎn)部分：令則：聯(lián)立上兩式得：拉氏反變換可得：聯(lián)立(1)、(2)、(4)可得：63由(3)、(6)、(7)可得狀態(tài)空間描述為：64xnxq+1x11x12x1qy(t)u(t)+-1-q+1-n-1-1 c11 c12 c1qcq+1 cn約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖651.5 由狀態(tài)空間求傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)矩陣的引入：1）SISO系統(tǒng)，用傳遞函數(shù)G(s)描述，W(s)是一個(gè)元素；2）M

15、IMO系統(tǒng)，多個(gè)輸入對(duì)多個(gè)輸出，故引入傳遞函數(shù)矩陣W(s) ，W(s)是一個(gè)矩陣，可以表征多個(gè)輸入對(duì)系統(tǒng)輸出的影響；66狀態(tài)空間描述：一、求傳遞函數(shù)矩陣根據(jù)傳遞函數(shù)定義，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，并令 ，得式：整理上式得：67注意矩陣求逆定義傳遞函數(shù)矩陣：說(shuō)明：1）dim(W(s)=mr，其中dim()表示的維數(shù)。m是輸出維數(shù)，r是輸入維數(shù)。2）W(s)的每個(gè)元素的含義：表示第i個(gè)輸出中，由第j個(gè)輸入變量所引起的輸出和第j個(gè)輸入變量間的傳遞關(guān)系。3）同一系統(tǒng)，不同的狀態(tài)空間表達(dá)式對(duì)應(yīng)的W(s)是相同的。68例1 求由 所表述系統(tǒng)的W(s)解：根據(jù)矩陣求逆公式：由傳遞函數(shù)矩陣公式得：69求得：求得傳遞

16、函數(shù)陣為：701.6 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 完全離散的系統(tǒng)，其輸入量、中間傳遞的信號(hào)、輸出量等都是離散信息； 局部離散的系統(tǒng)，其輸入量、受控對(duì)象所傳送的信號(hào)、輸出量等都是連續(xù)信息。唯有系統(tǒng)中的計(jì)算機(jī)傳送處理離散信號(hào)，這時(shí)，連續(xù)部分在采樣點(diǎn)上的數(shù)據(jù)才是有用信息，故需將連續(xù)部分離散化； 為研究方便，不論完全或局部的離散系統(tǒng)，均假定采樣是等間隔的；在采樣間隔內(nèi)，其變量均保持常值。711、由差分方程或脈沖傳遞函數(shù)建立動(dòng)態(tài)方程 經(jīng)典控制理論中，線性離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程是用標(biāo)量差分方程或脈沖傳遞函數(shù)來(lái)描述的，這里先從單輸入-單輸出系統(tǒng)入手研究。SISO線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為：式中 表示

17、 時(shí)刻， 為采樣周期； 為 時(shí)刻的輸出量， 為時(shí)刻 的輸入量； 是與系統(tǒng)特性有關(guān)的常系數(shù)。(1) 72對(duì)式(1)進(jìn)行 變換，整理為 稱為脈沖傳遞函數(shù)。顯見(jiàn)式(2)與式(1-43)在形式上是相同的，故連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立方法，對(duì)離散系統(tǒng)是同樣適用的。例如，引入中間變量 ，則有(2) (3) 初始條件為零時(shí)，離散函數(shù)的 變換關(guān)系為73定義如下一組狀態(tài)變量：于是 (4) (5) (6) 74利用 反變換關(guān)系由式(4)式(6)可得動(dòng)態(tài)方程(8) (7) 75其矢量-矩陣形式為76簡(jiǎn)記為 式中 為友矩陣， ， 是可控標(biāo)準(zhǔn)形。由式(1-43)可見(jiàn)，離散系統(tǒng)狀態(tài)方程描述了 時(shí)刻的狀態(tài)與 時(shí)刻的狀態(tài)、輸入量

18、之間的關(guān)系；離散系統(tǒng)輸出方程描述了 時(shí)刻的輸出量與 時(shí)刻的狀態(tài)、輸入量之間的關(guān)系。 (1-43) 77線性定常離散系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)圖如圖1-26所示，圖中T為單位延遲器，其輸入為 時(shí)刻的狀態(tài)，其輸出為延遲一個(gè)采樣周期的 時(shí)刻的狀態(tài)。 (9) 與連續(xù)系統(tǒng)的情況相類似，單輸入-單輸出線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程的形式可推廣到多輸入-多輸出系統(tǒng)，有78例 1-10 離散系統(tǒng)的差分方程為試寫出該離散系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)空間描述 。解 由差分方程寫出相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù) ：于是直接寫出它的一個(gè)狀態(tài)空間描述（標(biāo)準(zhǔn)I型）為這里 ， ， ， ， 79含義：如果P是一個(gè)非奇異陣，則將 變換稱為線性非奇異變換。1.7 狀態(tài)矢

19、量的線性變換線性非奇異變換：特點(diǎn)：疊加原理齊次性條件用途：通過(guò)線性非奇異變換，可以將狀態(tài)方程變成對(duì)角線或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。80一、系統(tǒng)狀態(tài)方程的非唯一性含義：同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量可以通過(guò)線性變換 互相得到。兩組狀態(tài)變量的關(guān)系：其中：P不同則得到不同的 。81例1-12：關(guān)于非奇異變換陣和狀態(tài)方程的非唯一性考慮系統(tǒng) 為：非奇異變換后 1）若選擇非奇異變換陣P為： 結(jié)論：不同的非奇異變換陣，對(duì)應(yīng)不同的狀態(tài)方程，非唯一性2）若選擇非奇異變換陣P為： 對(duì)角線矩陣82對(duì)于系統(tǒng)矩陣A，若存在一非零向量 ，使得：二、系統(tǒng)特征值的不變性和特征矢量則：矩陣A的特征值（A特征方程的根）矩陣A的特征方程矩陣A的特征矩陣

20、矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值 的特征矢量矩陣A的特征多項(xiàng)式使 ，則稱 為A的對(duì)應(yīng)于 的特征矢量.設(shè) 為A的一個(gè)特征值，若存在某個(gè)n維非零向量 ， 由定義可知：831）一個(gè)n維系統(tǒng)的 方陣A，有且僅有 n 個(gè)獨(dú)立的特征值。特征值及傳遞函數(shù)陣的性質(zhì)：3）對(duì)系統(tǒng)作線性非奇異變換，其特征值和傳遞函數(shù)陣不變。2）A為實(shí)數(shù)方陣，則其n個(gè)特征值或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)對(duì)。 系統(tǒng)2: 特征多項(xiàng)式 ， 傳遞函數(shù)陣 系統(tǒng)1: 特征多項(xiàng)式 ， 傳遞函數(shù)陣 則： 且 其中： 845）若系統(tǒng)矩陣A具有形式：則其特征多項(xiàng)式為：特征方程為：4）設(shè) 為系統(tǒng)矩陣A的特征值, 是A屬于特征值的特征矢量。當(dāng) 兩兩相異時(shí)， 線性無(wú)關(guān)，因此由這些

21、特征矢量組成的矩陣P必是非奇異的。85特征矢量的計(jì)算：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）對(duì)于每個(gè)特征值，計(jì)算其特征矢量。 注意：對(duì)于每個(gè)特征值，其獨(dú)立特征矢量的個(gè)數(shù)為86 時(shí)特征矢量： 時(shí)特征矢量：例1-13： 求下列矩陣A的特征矢量。解：1)計(jì)算特征值 A的特征方程為：A的特征值： , ，2）計(jì)算特征矢量 時(shí)特征矢量：87三、狀態(tài)空間描述變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型1、A陣為任意形式（1）特征值無(wú)重根時(shí)狀態(tài)方程化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）對(duì)于每個(gè)特征值，計(jì)算其特征矢量。并由此組成非奇異變換陣T。 3）由變換矩陣P和矩陣A，B，C求出 ，其中對(duì)角陣 可以由特征值直接寫

22、出，只需求出 即可。 88定理1： 對(duì)于線性定常系統(tǒng) ，如果A特征值 互異，則必存在非奇異變換矩陣T，通過(guò)變換 ，將原狀態(tài)方程 化為對(duì)角線規(guī)范形式 。其中： 證明： 1）找非奇異變換陣由特征值性質(zhì) 4)知，由A特征矢量構(gòu)成的矩陣 是非奇異的，故可以選擇T為變換陣。892）求上式兩端左乘 得：證畢！特征值定義90例 線性定常系統(tǒng) ，其中： 將此狀態(tài)方程化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型.當(dāng) 時(shí)， 2)確定非奇異矩陣P 解:1)求其特征值:91取:當(dāng) 時(shí)，取:同理當(dāng) 時(shí)， 得:923）求對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型為：93（2）特征值有重根時(shí)1）、具有重特征根，但A獨(dú)立的特征矢量的個(gè)數(shù)仍然為n個(gè)：由線性代數(shù)矩陣的對(duì)角化可知，此時(shí)，

23、仍能變換成對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型。2）、具有重特征根，且A獨(dú)立的特征矢量的個(gè)數(shù)小于n個(gè)：這種情況下，不能變換成對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型。故引入約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。要進(jìn)行線性變換，需增加廣義特征矢量，構(gòu)成P變換陣注意：對(duì)于每個(gè)特征值，其獨(dú)立特征矢量的個(gè)數(shù)為943）、約當(dāng)矩陣定義：約當(dāng)塊：約當(dāng)矩陣： 由約當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角線矩陣。其中： 是約當(dāng)塊塊數(shù)，等于 獨(dú)立特征矢量的個(gè)數(shù)。 即每個(gè)約當(dāng)塊有且僅有一個(gè)線性獨(dú)立的特征矢量。說(shuō)明：由此可以看出，對(duì)角陣是一種特殊形式的約當(dāng)矩陣。95說(shuō)明：對(duì)角線矩陣：各狀態(tài)變量間是完全解耦的。約當(dāng)型矩陣：各狀態(tài)變量間最簡(jiǎn)單的耦合形式，每個(gè)變量之多和下一個(gè)變量有關(guān)聯(lián)。條件：約當(dāng)塊階數(shù) 等于特征值重?cái)?shù)的條件：對(duì)應(yīng)該重特征值的獨(dú)立特征矢量的個(gè)數(shù)為1個(gè)。每個(gè)獨(dú)立特征矢量對(duì)應(yīng)一個(gè)約當(dāng)塊。例如：當(dāng)某個(gè)重特征值的重?cái)?shù)為3，而對(duì)應(yīng)于該特征值的獨(dú)立特征矢量 數(shù)為2時(shí)，約當(dāng)塊塊數(shù)為2。 此時(shí)：說(shuō)明：某個(gè)重特征值可能對(duì)應(yīng)多個(gè)約當(dāng)塊。96其中：4）、變換矩陣Q的確定：討論的前提： 每個(gè)重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征矢量的情況，只有一個(gè)約當(dāng)塊。 假設(shè)系統(tǒng)有 個(gè)特征值。則：97關(guān)鍵：要確定T，必須推導(dǎo)出 ，目的是確