大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件8-3

1、第三節(jié) 全 微 分一. 全微分的概念 由一元函數(shù)可微的定義知,若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可微,則對(duì)固定的x,自變量的增量x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量y=f(x+ x)-f(x)可表成: y=A x+o(x) 即因變量增量y看作x的函數(shù),它能用自變量增量x的線性函數(shù)A x(其中A=f (x)來(lái)近似代替,誤差為x的高階無(wú)窮小.HRRH 對(duì)于二元函數(shù),我們用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明例1 用鋼板制造一個(gè)園柱形無(wú)蓋容器,該容器底面的內(nèi)半徑為2米,內(nèi)側(cè)面高為5米,側(cè)壁厚為1厘米,底厚為1.5厘米,試計(jì)算所用鋼的重量.這表示二元函數(shù)的微分也可以象一元函數(shù)的微分一樣.下面我們把二元函數(shù)的微分用數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述: 一般地,設(shè)函數(shù)z=f

2、(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義,點(diǎn)p(x,y)D,當(dāng)自變量x取得增量x,自變量y取得增量y時(shí),得到p(x+x,y+y),假設(shè)pD,函數(shù)在點(diǎn)p與p處的函數(shù)值之差f(x+x,y+y)-f(x,y)稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)對(duì)應(yīng)于自變量增量x,y的全增量,記作z,即定義 如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量z可表示為 其中A,B不依賴于x,y而僅與x,y有關(guān),為點(diǎn)p到p的距離, 定義 如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量z可表示為而Ax+B y稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作dz,即 (1)下面我們看可微與連續(xù)的關(guān)系. dz=Ax+By知道,如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(

3、x,y)則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分.可微分,則當(dāng)0時(shí)(當(dāng)然同時(shí)有x0,y0得到即函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處連續(xù).因此如果函數(shù)在點(diǎn)P(x,y)處不連續(xù)(當(dāng)0時(shí), z不趨向0).則函數(shù)在該點(diǎn)一定不可微.這就是說(shuō),連續(xù)是可微的必要條件.)就有z0,于是由(2). 函數(shù)可微分與偏導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系 若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分,那么(3)式對(duì)于任意x和y成立令y=0,這時(shí)=|x|,(3)式變?yōu)?把上式兩邊除以x,再令x0取極限,得 由偏導(dǎo)數(shù)定義,知函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)存 如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分,那么函數(shù)z=f(x

4、,y)在點(diǎn) 從而函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y) 的全微分可寫為 上述結(jié)論的逆命題不成立.例如,在第二節(jié)中已經(jīng)知道,函數(shù)(全微分的必要條件)在,并且等于A,即.同樣可得(x,y)處的 偏導(dǎo)數(shù)必存在,并且這表示函數(shù)在(0,0)點(diǎn)存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)但在(0,0)處不可微.因?yàn)槿绻鹺在(0,0)處可微,則必有它不是的高階無(wú)窮小,因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)p(x,y)沿著x=y直線趨向(0,0)有 在點(diǎn)(0,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且fx( 0,0)=0,fy(0,0)=0.但函數(shù)在(0,0)處不連續(xù), 因此是不可微分的,從而全微分不存在.盡管這時(shí)能形式地寫出但它與z之差并不是高階無(wú)窮小.因而偏導(dǎo)數(shù)存在 只是全微分存在的

5、必要條件.但是,如果再假定函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則全微分一定存在.有下面定理. 定理2 如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù),則函數(shù)在該點(diǎn)可微. (全微分的充分條件) 在第一方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式,由于y+y不變,因而可看作是x的一元函數(shù)f(x,y+y)的增量,于是應(yīng)用拉格朗日中值定理,得到證明:因?yàn)槲覀冎幌抻谟懻撛谀骋粎^(qū)域內(nèi)有定義的函數(shù)(對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)也同樣),所以假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y)連續(xù),就含有偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必然存在的意思(以后凡說(shuō)到偏導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)都是這樣理解).設(shè)點(diǎn)(x+x,y+y)為這鄰域內(nèi)任意一點(diǎn),考察函數(shù)的全增量又依假設(shè),fx(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù),所

6、以上式可寫成其中1為x, y的函數(shù),且當(dāng)x0, y0時(shí), 10 同理可證明第二個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式可寫成其中2為y的函數(shù),且當(dāng)y0時(shí), 20 由(4),(5)式可見(jiàn),在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的假定下,全增量z表示為容易看出 它是隨著(x,y)(0,0)即 0而趨于零的.這就證明了z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)是可微分的 以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的必要條件和充分條件可以完全類似地推廣到三元和三元以上的多元函數(shù). 習(xí)慣上,我們把自變量的增量x,y分別記為dx,dy,并稱為自變量x,y的微分, 這樣函數(shù)z=f(x,y)的全微分可寫成 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理.而疊加原理也適合于三元以上的函數(shù).例2 求函數(shù)z=xsin(x+y)的全微分.解:例3 求z=x2y2+xy3-2y4.在點(diǎn)(3,1)處的全微分.例4 求函數(shù)u=cos(x+y)+exz的全微分.解:這幾個(gè)函數(shù)的全微分并不難求,可作為公式記憶,在以后的微分方程中給我們帶來(lái)方便. 二元函數(shù)的極限,連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)和可微,它們之間的關(guān)系是:二.全微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用 由上面討論知道,可微函數(shù)z=f(x,y)的全增量可以表示為解題步驟是: (1)選函數(shù) (2)選(x0,y0) (3)