2022年上海數(shù)高二知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、數(shù)列： 1. 數(shù)列的有關(guān)概念： （ 1） （ 2） （ 3） 數(shù)列： 依據(jù)確定次序排列的一列數(shù)； 數(shù)列是有序的； 數(shù)列是定義在自然數(shù) N*或它的有限子集 1,2,3, ,n 上的函數(shù)； 通項(xiàng)公式： 數(shù)列的第 n項(xiàng) an與 n之間的函數(shù)關(guān)系用一個(gè)公式來表示, 這個(gè)公式即是該數(shù)列的 通項(xiàng)公式；如 : a n2 2n 1 ； 遞推公式：已知數(shù)列 an 的第 1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）,且任一項(xiàng) an與他的前一項(xiàng) an-1（或前幾項(xiàng)） 可以用一個(gè)公式來表示,這個(gè)公式即是該數(shù)列的遞推公式； 如: a1 1, a2 2, an an 1an 2 n 2； 2數(shù)列的表示方法： （1） 列舉法：如 1, 3, 5,7,

2、9, （2）圖象法：用（ n, an）孤立點(diǎn)表示； 2 n （3） 解析法：用通項(xiàng)公式表示； （ 4）遞推法：用遞推公式表示； 3數(shù)列的分類： 有窮數(shù)列 按單調(diào)性 常數(shù)列 : a n an22 n 21, a n按項(xiàng)數(shù) 遞增數(shù)列 : 無窮數(shù)列 遞減數(shù)列 : an n14數(shù)列 an 及前 n項(xiàng)和之間的關(guān)系 : 搖擺數(shù)列 : an n 1 2 n Sn a1 a2 a3 an anS1 , n 1 2 n 1 , n Sn S 5等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)比小結(jié)： 一,定 等差數(shù)列 等比數(shù)列 ）, an an 1d n 2 a n q n 2 義 a n 1二,公 1 an a1 n1d1 an n 1

3、 a1 q an am nm d , nman n m am q , n m 式 2 Sn n a1 an na1 nn1d2 Sn na 1 qq1a1 a n qq1a1 1 n22三,性 1 a, b, c 成等 2b a c , 稱 b 為 a 與 c 的等差中 差 *）, 1q1q 1 a,b, c 成等b 2 ac , 稱 b 為 a 與 c 的等比中項(xiàng) 比 *質(zhì) 2如 項(xiàng) mnpq（ m ,n ,p ,q 2如 m npq（ m ,n ,p ,q 就 am anap aq Sn , S3 n S2n 成等差數(shù)列 就 am an 3 Sn , S2 n ap aq Sn , S3n

4、 S2n 成等比數(shù)列 3 Sn , S2n （三）不等式 1, a b0ab ； a b0ab ； a b0ab baac bc ； 2,不等式的性質(zhì)： a bba ； a b,b c ac ； a a b, c 0acbc , ab,c 0ac bbc ； a n0 ab, c n bdc bd； a 1； a b0, c d 0acbd ； n, n a b 0nanbn , n 1 小結(jié)：代數(shù)式的大小比較或證明通常用作差比較法：作差,化積（商）,判定,結(jié)論； 在字母比較的選擇或填空題中,常接受特值法驗(yàn)證； 1第 1 頁,共 12 頁3,一元二次不等式解法： （1）化成標(biāo)準(zhǔn)式： ax 2b

5、x c 0, a 0 ；（ 2）求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根； （3）畫出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象； 線性規(guī)劃問題： （4）依據(jù)不等號(hào)方向取出相應(yīng)的解集； 1明白線性約束條件,目標(biāo)函數(shù),可行域,可行解,最優(yōu)解 2線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題 3解線性規(guī)劃實(shí)際問題的步驟： （1）將數(shù)據(jù)列成表格；（ 2）列出約束條件與目標(biāo)函數(shù)；（ 3）依據(jù)求最值方法：畫：畫可行域；移： ； 移與目標(biāo)函數(shù)一樣的平行直線；求：求最值點(diǎn)坐標(biāo)；答；求最值； （ 4）驗(yàn)證； 兩類主要的目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 : z ax by - 直線的截距； z x a2 y b2 - 兩點(diǎn)的距離或圓的半徑；

6、4,均值定理： 如 a 0 , b 0 ,就 ab2ab ,即 abab ab ab2a0,b 022ab稱為正數(shù) a , b 的算術(shù)平均數(shù), ab 稱為正數(shù) a , b 的幾何平均數(shù) 25,均值定理的應(yīng)用：設(shè) x , y 都為正數(shù),就有 如 x y s （和為定值）,就當(dāng) x y 時(shí),積 xy 取得最大值 2 s 4如 xy p （積為定值）,就當(dāng) x y 時(shí),和 x y 取得最小值 2p 留意：在應(yīng)用的時(shí)候,必需留意“一正二定三等”三個(gè)條件同時(shí)成立； 向量既有大小又有方向的量 在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動(dòng)而不轉(zhuǎn)變； （6）并線向量（平行向量）方向相同或相反的向量； 規(guī)定零向量

7、與任意向量平行； （7）向量的加,減法如圖： 2第 2 頁,共 12 頁（8）平面對(duì)量基本定理（向量的分解定理） 的一組基底； （9）向量的坐標(biāo)表示 表示； 3第 3 頁,共 12 頁平面對(duì)量的數(shù)量積 數(shù)量積的幾何意義： （2）數(shù)量積的運(yùn)算法就 練習(xí) 答案： 4第 4 頁,共 12 頁答案： 2 答案： 線段的定比分點(diǎn) 直線與方程 直線的傾斜角和斜率 傾斜角和斜率 1,直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線 l 與 x 軸相交時(shí) , 取 x 軸作為基準(zhǔn) , x 軸正向與直線 l 向上方向之間所成 的角 叫做直 l 的傾斜角 . 特別地 , 當(dāng)直線 l 與 x 軸平行或重合時(shí) , 規(guī)定 = 線 0 . 2,

8、 傾斜角 的取值范 0 180. 當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí) , = 90 . 疇： k 表示 , 也就是 k 3,直線的斜率 : 90 的正切值叫做這條直線的斜率 , 斜率常用小寫字母 一條直線的傾斜角 = tan 當(dāng)直線 l 與 x 軸平行或重合時(shí) , =0 , k = tan0 =0; 當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí) , = 90 , k 不存在 . 由此可知 , 一條直線 l 的傾斜角 確定存, 但是斜率 k 不愿定存在 . 4, 直線的斜率公式 在 : 給定兩點(diǎn) P1x1,y1,P2x2,y2,x1 x2, 用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示直線 P1P2 的斜率： 斜率公式 : k=y2-y1/x

9、2-x1 5第 5 頁,共 12 頁3.1.2 兩條直線的平行與垂直 1,兩條直線都有斜率而且不重合,假如它們平行,那么它們的斜率相等；反之,假如它們的斜率相等,那 么它們平行,即 留意 : 上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少這個(gè)前提,結(jié)論并不成立即 假如 k1=k2, 那么確定有 L1L2 2,兩條直線 P1P2x2 x2 2y2 y1 2都有斜率,假如它們相互垂直,那么它們的斜率互 為負(fù)倒數(shù)； 反之,假如它們的斜率互為負(fù)倒數(shù),那么它們相互 垂直,即 直線的點(diǎn)斜式方程 1, 直線的 點(diǎn)斜式 方程：直線 l經(jīng)過點(diǎn) P0 x0, y0 ,且斜率為 k y y0y k x

10、 x0 2,直線的 斜截式 方程：已知直線 l的斜率為 k ,且與 y 軸的交點(diǎn)為 0, b kx b直線的兩點(diǎn)式方程 1 , 直 線 的 兩 點(diǎn) 式 方 程 ： 已 知 兩 點(diǎn) P1x1, x2, P2 x2, y2 其 中 x1x2, y1y2 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2,直線的截距式方程：已知直線 l與 x 軸的交點(diǎn)為 A a,0 ,與 y 軸的交點(diǎn)為 B 0, b ,其中 a0,b 0直線的一般式方程 1,直線的一般式方程：關(guān)于 x, y 的二元一次方程 Ax By C0（ A,B 不同時(shí)0） 2,各種直線方程之間的互化； 為 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 3.3.1 兩直

11、線的交點(diǎn)坐標(biāo) 1,給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo) L1 ：3x+4y-2=0 L1 ：2x+y +2=0 3x 4y 20得 解 ： 解 方 程 組 x=-2 , 2x 2 y 20y=2 所以 L1 與 L2 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 M（-2 ,2） 3.3.2 兩點(diǎn)間距離 兩點(diǎn)間的距離公式 3.3.3 點(diǎn)到直線的距離公式 1點(diǎn)到直線距離公式： 點(diǎn) P x0 , y0 到直線 l : Ax By C0 的距離為： dAx0 By0 C2 A 2 B 6第 6 頁,共 12 頁2, 兩平行線間的距離公式： 已知兩條平行線直線 l1 和 l 2 的一般式方程為 l1 ： Ax By C1 0 , l 2 ： A

12、x By C 2 0,就 l1 與 l 2 的距離為 dC1 C2 2 A 2 B 第四章 圓與方程 4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 2 x a 2 y b r2圓心為 Aa,b, 半徑為 r 的圓的方程 2,點(diǎn) M x0 , y0 與圓 x a 22 y b r2的關(guān)系的判定方法： 2 2b = r ,點(diǎn)在圓上 （1） x0 2 a y0 2 2b r ,點(diǎn)在圓外 （ 2） x0 2 a y0 （3） x0 2 a y0 2 2b r ,點(diǎn)在圓內(nèi) 圓的一般方程 1,圓的一般方程： 2 x 2 y Dx Ey F 02,圓的一般方程的特點(diǎn)： 1 x2 和 y2 的系數(shù)相同,不等于

13、 2 圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù) 0 沒有 xy 這樣的二次項(xiàng) D,E,F,因之只要求出這三個(gè)系數(shù),圓的方程就確定了 3 ,與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特別的二元二次方程,代數(shù)特點(diǎn)明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就指 出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特點(diǎn)較明顯； 4.2.1 圓與圓的位置關(guān)系 1,用點(diǎn)到直線的距離來判定直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)直線 l ：ax by c 0 ,圓 C ：x 2 y 2 Dx Ey F 0 ,圓的半徑為 r ,圓心 D, E 22到直線的距離為 d ,就判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)： （1）當(dāng) dr時(shí),直線 與圓 C 相離；（ 2）當(dāng) dr時(shí),直線 與圓 C 相切；

14、（3）當(dāng) dr 時(shí),直線 l與圓 C 相交； 圓與圓的位置關(guān)系 兩圓的位置關(guān)系 設(shè)兩圓的連心線長(zhǎng)為 l ,就判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)： （1）當(dāng) lr1 r 2 時(shí),圓 C1 與圓 C2 相離；（ 2）當(dāng) l r1 r2 時(shí),圓 C1 與圓 C2 外切； （3）當(dāng) | r1 r 2 | l r1 r 2 時(shí),圓 C1 與圓 C2 相交； | r1 r2 | 時(shí),圓 C1 與圓 C2 內(nèi)含； （4）當(dāng) l| r1 r2 | 時(shí),圓 C1 與圓 C 2 內(nèi)切；（ 5）當(dāng) l 7第 7 頁,共 12 頁直線與圓的方程的應(yīng)用 1,利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系； 2,過程與方法

15、用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟： 第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為 代數(shù)問題； 其次步：通過代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問題； 第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論 4.3.1 空間直角坐標(biāo)系 1,點(diǎn) M 對(duì)應(yīng)著唯獨(dú)確定的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z , x , y , z 分別是 P, Q,R 在 x , y , z 軸上的坐標(biāo) x, y, z ,對(duì)應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn) M 在此空間直角坐標(biāo)系 中 M 的豎坐 標(biāo)； 2,有序?qū)崝?shù)組 3,空間中任意點(diǎn) M 的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)x, y, z 來表示,該數(shù)組叫做點(diǎn) 組 的坐標(biāo),記 M x, y,

16、 z , x 叫做點(diǎn) M 的橫坐標(biāo), y 叫做點(diǎn) M 的縱坐z 叫做標(biāo), 點(diǎn) 4.3.2 空間兩點(diǎn)間的距離公式 1,空間中任意一點(diǎn) P1 x1 , y1 , z1 到點(diǎn) P2 x2 , y2 , z2 之間的距離公式 2 z2 P1 P2 x1 2 x2 y1 2 y2 z1 圓錐曲線 8第 8 頁,共 12 頁1,平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F 1 , F 2 的距離之和等于常數(shù)（大于 即： | MF1 | | MF 2 | 2a, 2a | F1 F2 | ； F 1 F 2 ）的點(diǎn)的軌跡稱為 橢圓 這兩個(gè)定點(diǎn)稱為 橢圓的焦點(diǎn) , 兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距 焦點(diǎn)在 y 軸上 2, 橢圓的幾何性質(zhì)

17、： 焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在 x 軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 2 x 2 y 1 a b02 y 2 x 1ab0a2b2a2b2范疇 a1x a 且 b2y bb1x b 且 a2y a a,0 , a,0 0, a, 0,a 頂點(diǎn) 軸長(zhǎng) 焦點(diǎn) 焦距 對(duì)稱性 離心率 3,平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 10, b, 20,b 1b,0 , 2b,0 短軸的長(zhǎng) 2b 長(zhǎng)軸的長(zhǎng) 2a F1 c,0 , F2 c,0 F1 0, c , F2 0,c F1 F2 2 2c c a2b2關(guān)于 x 軸, y 軸,原點(diǎn)對(duì)稱 ec 1b20e1a2 aF1 , F 2 的距離之差的確定值等于常數(shù)（小于 F 1 F 2 ）的點(diǎn)的軌跡

18、 稱為 雙曲線 即： | MF1 | | MF2 | 2a, 2a | F1 F2 |；這兩個(gè)定點(diǎn)稱為 雙曲線的焦點(diǎn) ,兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距 4, 雙曲線的幾何性質(zhì) ： 焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在 x 軸上 焦點(diǎn)在 y 軸上 圖形 9第 9 頁,共 12 頁標(biāo)準(zhǔn)方程 2 x 2 y 1a0, b 02 y 2 x 1a0,b 0稱為 a22 ba2b2范疇 x a 或 x a , y Ry a 或 y a , x R頂點(diǎn) 1a,0 , 2a,0 10, a, 20,a 軸長(zhǎng) 虛軸的長(zhǎng) 2b 實(shí)軸的長(zhǎng) 2a 焦點(diǎn) F1 c,0 , F2 c,0 F1 0, c , F2 0,c 焦距 F1 F2

19、 2 2c c a2b2對(duì)稱性 關(guān)于 x 軸, y 軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱 離心率 ec 1b2e1aa2漸近線方程 y bx y ax ab5,實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為 等軸雙曲線 6,平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F 和一條定直線 l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為 拋物線 定點(diǎn) F 拋物線的焦點(diǎn) ,定直線 l稱為拋物線的準(zhǔn)線 7,拋物線的幾何性質(zhì)： 2 y 2 px 2 y 2 px 2 x 2 py 2 x 2 py 標(biāo)準(zhǔn)方程 p0p0p0p0圖形 頂點(diǎn) 0,0 對(duì)稱軸 x 軸 y 軸 焦點(diǎn) F p, 0 F x p 2, 0 e1F 0, pF 0, p222準(zhǔn)線方程 x ppy py p2222離心率 10 第 10 頁,共 12 頁范疇 x 0 x 0y 0y 0, 兩點(diǎn)的線段 ,稱為拋物線的 “ 通 8,過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸且交拋物線于 徑” ,即 2 p 9, 焦半徑公式 ： 如點(diǎn) x0 , y0 在拋物線 2 y 2 px p 0 上,焦點(diǎn)為 F ,就 F x0 p； 2如點(diǎn) 2 x0 , y0 在拋物線 x 2 py p 0 上,焦點(diǎn)為 F ,就 F y0 p； 2復(fù)數(shù) 1概念： 21 z=a+bi R b=0 a,b R z= z z 0； 2 z=a+bi 是虛數(shù) b0 a, b R ； 3 z=a