隨機(jī)變量及其分布公式

1、隨機(jī)變量及其分布一，離散型隨機(jī)變量試驗：凡是對現(xiàn)象的觀察或為此而進(jìn)行的實驗，都稱之為試驗。隨機(jī)試驗：一個試驗如果滿足(1)試驗可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且 不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果，那么， 這個試驗就叫做隨機(jī)試驗。隨機(jī)變量：隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，隨機(jī)變量常用字母X, F,&,門表示。例如拋篩子、擲硬幣離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量二，離散型隨機(jī)變量的分布列要掌握一個離散型隨機(jī)變量X的取值規(guī)律，必須知

2、道:1，X所有可能取的值氣,X 2,七；2，X取每一個值x的概率p , p ,pi12n分布列：XXX X XP2 ip.i np n我們稱這個表為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列。3,離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)：(1)p 0,i e N* ； (2)P1+ P 2+P 3+ + Pn = 1X01P1 - pp三，兩點分布與超幾何分布1，兩點分布若隨機(jī)變量X的分布列為則稱X的分布列為兩點分布列。如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布，并稱p = P(x = 1)為成功概率2，超幾何分布：P( X = k ) = C MfC NMCnN一般的，在含有M

3、件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件& =上發(fā)生的概率為(k = 0,1,2,m)，其中 m = minM, nJ,且n N, M N, n, M, N e N*，稱X01 mPCMCnmCnNCM %-MCnN C m C n - m MN - MCnN為超幾何分布列，如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布四，獨立重復(fù)試驗與二項分布1，獨立重復(fù)試驗：一般的，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗。2,獨立重復(fù)試驗事件A恰有k次發(fā)生的概率：一般的，如果在1次實驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率P

4、(k) = Ckpk (1 - p)nk，( k = 0,1,2,n)3,二項分布：一般的，在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為：P(X = k) = Ckpk (1 - p)z，( k = 0,1,2,n) n此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X B(n, p)，并稱p為成功概率五，離散型隨機(jī)變量的均值1，一般的，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xxx x xP2 iP. i pn則稱：E(x) = x p + x p + + x p + x p為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值

5、的112 2i in n平均水平。2,均值的性質(zhì)：若y = aX + b，其中a,b是常數(shù)(X是隨機(jī)變量)，則y也是隨機(jī)變量，且有E(aX + b) = aE(x) + b3，常用分布的均值(1)兩點分布：E(x) = 1x p + 0 x (1 - p) = p二項分布：E(x) = np. nM超幾何分布：E(x)=N六，離散型隨機(jī)變量的方差Xx1x 2 x xP4 p.i p n1，離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為則(xi - E(X)2描述了 x (i = 1,2,3,n)相對于均值E(X)的偏離程度，而D(X)=切(x, - E(X)2 p,為這些偏離 i

6、=1程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(x)的平均偏離程度，我們稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，其算數(shù)平方根3(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記作CX。隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反應(yīng)的隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值 的平均程度越小。2，方差的性質(zhì)a,b是常數(shù)時，隨機(jī)變量函數(shù)門=a& + b的方差D(n) = D(aR + b) = a2D仁)當(dāng)a = 0時，D(b) = 0，即常數(shù)的方差等于0；當(dāng)a = 1時，D&+ b) = D&)，即隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于這個隨機(jī)變量的方差本身；當(dāng)b = 0時，D(a；) = a2D(g)，即隨機(jī)變量與常數(shù)之

7、積的方差，等于這個常數(shù)的平方與這個隨機(jī)變量方差的積七，常用分布的方差：1，兩點分布：若X服從兩點分布，則D(X) = p(1 - p)2，二項分布：若 X B(n, p)，則 D(X) = np(1 - p).一 ,_ . . nM _ M N - n3，超幾何分布：若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，即X H(N, M, n)，則D(X) =(1 -)-N N N -1八，正態(tài)分布1,正態(tài)曲線1f*-)2函數(shù)中(X)= e 2c2 , X e R的圖像(其中實數(shù)日和c為參數(shù))稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線隨機(jī)變量X落在區(qū)間(a, b的概率為P(a x b) J tpa A，。的面積，就是X落在區(qū)

8、間(a,b的概率的近似值，如圖：( x ) dx，即由正態(tài)曲線，x = a,x = b及x軸所圍成的平面圖形巨，c偵2兀c(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交;2，正態(tài)分布一般的，如果對于任何實數(shù)a b，隨機(jī)變量X滿足P(a x b) = J%。(x)dx，則稱X的分布為正態(tài)分布。正態(tài)分布完全由參數(shù)日和c確定，因此正態(tài)分布常記作N(,c 2)，如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記作X N(Ac 2)3，正態(tài)曲線的性質(zhì)A = 21(x A)2正態(tài)曲線P(x) = e 2c2，xe R有以下性質(zhì)A，c面-c(2)(3)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=A對稱;曲線在x = A處達(dá)到峰值；c2 兀曲線與x軸之間的面積為1；當(dāng)c 一定時，曲線隨著A的變化而沿x軸平移;當(dāng)A 一定時，曲線的形狀由c確定，c越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；c越大，曲線越“矮胖”表示總體的分布越分散4，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：若隨