數(shù)學必修一講義精編版

1、最新資料推薦 最新資料推薦 第一講集合集合的有關概念某些指定的對象集在一起就成為一個集合，這些研究對象叫做元素。確定性：集合中的元素 必須是確定的集合中元素的特性：J互異性：集合中任兩個 元素是互不相同的，無序性：集合與組成它的元素順序無關注意：這三條性質對于研究集合有著很重要的意義，經(jīng)常會滲透到集合的各種題目中，同學們應當重視。元素與集合的關系：如果 a是集合A的元素，就說a屬于A,記作：aw A如果a不是集合 A的元素，就說a不屬于A,記作：a走A（注意：屬于或不屬于（w產(chǎn)）一定是用在表示元素與集合間的關系上）集合的分類：集合的種類通常分為：有限集（集合含有有限個元素）、無限集（集合含有無

2、限個元素）、空集（不含任何元素的集合，用記號 0表示）集合的表示：集合的表示方法：列舉法：把集合中的元素一一列舉出來， 并用花括號”括起來的表示方法。例：A =11,2描述法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合一般元素的符號及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。例：B = xx 4）（如果元素的取值范圍是全體實數(shù)，范圍可省略不寫）。圖示法（即維恩圖法）：用平面內(nèi)一條封閉曲線的內(nèi)部表示一個集合。特定集合的表不：自然數(shù)集（非負整數(shù)集）記作 N ;正整數(shù)集記作 N（N+）；整數(shù)集記作Z ;有理數(shù)集記作Q ;實數(shù)集記作R。（這些特定集合外面不用加 ）高考要求：理解集合的概念，

3、了解屬于關系的意義，掌握相關的術語符號，會表示一些簡單集合。例題講解：夯實基礎一、判斷下列語句是否正確1）大于5的自然數(shù)集可以構成一個集合。正確（x亡N x5）2）由1, 2, 3, 2, 1構成一個集合，這個集合共有 5個元素。錯誤3）所有的偶數(shù)構成的集合是無限集。正確4）集合A = ,b,c;B =c,a,b則集合A和集合B是兩個不同的集合。 錯誤 二、用符號w或更填空。1） 0_N2） 3.14 Z3） Q4）若 A =x2 =2xt 則一2 A5）若 B = kx2 _ 2x3 = 01則 3 B三、用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑弦?一 1次函數(shù)y =2x +1與y = x +4的父點組成的

4、集合26 17 15，-56 17、L5行區(qū)別是什么?2）絕對值等于3的全體實數(shù)構成的集合。：3,-3：3)大于 0的偶數(shù)。xx= 2n,nw N * 12,4,6,8，能力提升1)集合A = 9x,y )x + 2y = 7,x, y w nL用列舉法表示集合 A。解：；x, y N x - 0 y - 0當x=1 y=3當x=3 y=2c5 -，3x=2 y= N x=4 y= N22x=5 y=1二 (1,3) ,(3,2),(5,1)2)集合A = 1x ax2 + 2x + 1 = 0)中只有一個元素，求a的值。,解：當a=0 方程：2x+1=0 x=- 一合題息當a = 0 ax

5、2 2x 1 = 0當=4-4 a 1=0a=13)用描述法可將集合 4-3,5,-7,9,-11，表示成解:x x =(-1 )n+1(2n-1 ) ,n w N*知識要點二：集合與集合之間的關系子集一般地，如果集合 A中的任何元素都是集合 B中的元素，那么集合 A叫做集合B的子集 記作A三B ( A包含于B )或B3A( B包含A)即：對任意xw An xw B ,則AC B。顯然AQ A,對于任一集合 A,規(guī)定4 A。真子集：如果集合 A QB,但存在元素xw B,xF A,我們稱集合 A是集合B的真子集，記作A ? B。u集合是任意非空集合的真子集。集合的相等集合A,B如果A B,同時

6、BQ A,則稱A = B。嚴格區(qū)分，正確使用“ 要,三產(chǎn),？ ”等符號。前兩個是用在元素與集合的關系上，后三個是用在集合與集合的關系上，一定注意區(qū)分。集合關系與其特征性質之間的關系一般地，設 A = 3B= ixx2)若A B 當x 3= x 2于是x具有性質p(xA x具有性質q(x)p(x戶qx()。當x3=x2我們說定是B的子集。反之，如果p(x戶q(x),則A一定是B的子集。集合的運算交集一般地，對于兩個給定的集合 A, B,由屬于A又屬于B的所有元素構成的集合，叫做 A, B的交集，記作Ac B ,讀作“ A交B”由定義容易知道：Ac B = Bc A;Ac A = A ；A，f0

7、=0c a = 0 ；如果 AG B,則 Ac B = A。并集一般地，對于兩個給定的集合A,B,由A, B兩個集合的所有元素構成的集合，叫做A, B的并集，記作A，j B ,讀作“ A并B”由定義容易知道AuB = B= A;Au A = A;A=0 =0u A = A如果A三B,則A=B = B。補集全集：如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集，通常用U來表示。補集：如果給定集合 A是全集U的一個子集，由U中不屬于A的所有元素構成的集合，叫做A在U中的補集，記作eU A ,讀作“ A在U中的補集”。高考要求：理解子集、補集、交集、并集的概念。了解全集的意義，了

8、解包含、相等關 系得意義，掌握相關的術語、符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合。例題講解：夯實基礎一、用適當?shù)姆柼羁?) 2 七,2,32) a_Ja,b3)匕a,b,c4) 0 _。5) 1,4,77,1,46) 。,1 N 7) 0 xWRx2 = 仆二、已知集合 A=2,0,仆，那么A的非空真子集有 個。解：A的非空真子集指的是，除 A集合本身與中后所有子集含有1個元素的一2：0。1含有2個元素的1-2,0)1-2,1H 1,0)給出計算子集的公式，全部子集個數(shù)=2n, n表示元素個數(shù)。三、求下列四個集合間的關系，并用維恩圖表示。CU AA = xx是平行四邊形, B=xx是菱形,C

9、=xx是矩形, 口=卜乂是正方形解：B A,C A,D A,D=B C四、已知 U =1,2,3,4, |,10, A = 2, 4, 6, 8, 10, B1,2,3,4, 求AcB,(Cu A)C(CuB)。解：A - B =12,4)C U A = ：1,3,5,7,9)C UB =石,6,7,8,9,101CuA - CuB =15,7,91能力提升一、若集合X滿足01 三X=-2,-101 ,2,則X的個數(shù)有幾個？解：X中至少要含有0,1兩個元素。比；0,1多一個元素的有3個：-2,0,1 M -1,0,1此,01比；. 0,1 多 2個人元素的有 3個(-2, - 1,0,1122

10、0120,11比0,1多3個元素的；2, - 1,0, 1 2二、如右圖U是全集，M,P,S是U的三個子集，則陰影部分所表示的集合是()A. M - P - CU SB. M P . CU SC. M - P - SD. M - P 一 S解：先看M cp如圖所示而Cu為圖S以外部分以上兩部分公共區(qū)域顯然為圖中陰影三、已知集合 A=-4,2a1,a2,B =Q5,1 a,9,AcB=9L 試求實數(shù) a。解：對于集合A*講(1)令 2a-1=9a=5. A=-4,9,25 B=0,-4,9.AcB=-4, 9與已知不符。a=5舍去A - B =99 A令a2 =9a =3或a - -3a =3時

11、，A=M,5,9 B=-2 ,-2,9不符合集合的互異性，a=3舍去(3)當a=-3A=-4,-7,9 B=-8,4,9與A c B=9相符a =-3 A_. B - -4,4,-8,-7,9四、已知集合 A =x2 +(p +2 )x+1 =0, p,xw R,且Ac R+ = 0 ,求實數(shù)p的取值范圍。解：若 A - R = 等價于A=或方程x2 ( p 2)x 1 = 0有兩個非正根,若AH則.k(p+2)2 -4 1 1 0p 2 4P 0-4 p 0 p -2x1 x2 =1 0解彳qpup-A p 0綜上p的取值范圍(-4, +c)注意：Acr + = 0的條件之一就是A = 0

12、,這是十分容易遺漏的，另外對A = x x2 +( p +2 )x +1 = 0, p, xW r的正確理解應是二次方程x2 +( p + 2 )x + 1 = 0 的根組成的集合。那么應該有三種情況：兩個不等實根、兩個相等實根、無實根。而無實根就 是使得A為空集的情況。最新資料推薦 最新資料推薦 最新資料推薦 第二講函數(shù)及其性質知識要點一:函數(shù)及其相關概念映射：設A, B是兩個非空集合，如果按照某種對應法則f ,對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素與它對應，這樣的對應關系叫做從集合 A到集合B的映射。記作：f ： At Bo象與原象：給定一個集合 A到集合B的映射，且aw A

13、,bw B,如果a, b對應那么元素b 叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。一一映射：設 A, B是兩個非空集合，f :At B是集合A到集合B的映射，并且對于集合B中的任意一個元素，在集合 A中都有且只有一個原象，把這個映射叫做從集合A到集合B的一一映射。函數(shù)：設集合 A是一個非空數(shù)集，對A中的任意數(shù)x,按照確定的法則 f ,都有唯一確定的數(shù)y與它對應，則這種對應關系叫做集合A上的一個函數(shù)，記作： y= f （x）,xw A這里x叫自變量，自變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的 定義域，所有函數(shù)值構成的集合，叫做這個函數(shù)的值域。這里可以看出一旦一個函數(shù)的定義域與對應法則確定，則函數(shù)的值域也被確定

14、，所以 決定一個函數(shù)的兩個條件是：定義域和對應法則。函數(shù)的表示方法：解析法、圖像法、列表法。區(qū)間：定 義名稱符 號x a Ex Wb閉區(qū)間b,blxaxb開區(qū)間（a，b）xaWxcb半開半閉區(qū)間b,b）txa x b）半開半閉區(qū)間（a,b】閉區(qū)間是包括端點，開區(qū)間不包括端點。實數(shù)集R可以表示為已產(chǎn)）,“的”讀作“無窮大”，例如：x23可以表示為 b, “ x -4”可以表示為（-,一4）。高考要求:了解映射的概念，理解函數(shù)的有關概念，掌握對應法則圖像等性質，能夠熟練求解函 數(shù)的定義域、值域。例題講解：夯實基礎一、判斷下列關系哪些是映射。A = Z, B=Z, f :平方；A = R,B =R

15、f :平方；A = x 1 Mx1；當n為偶數(shù)時，n- 0 ；5) A = CZZ 1B = fcE奇數(shù), f : nT m = 2n -1,其中 n w A,m w B ;2x 3 ,一 一 一、已知 f(x)=nr，求 f (t ), f (x+2 x-二 x 1 -x T解:f(t) =2t 32x2 3x一2二 12x 7x 1三、求下列函數(shù)的定義域。1、y 二x2+2x32)y =49 -x2布軍：x2 2x- 3: 0(x 3M- 1) 0 x= 3且 x = 13) V0 x = - 1解： 1一 x - 0= x 1Vl - x -1=0 x # 0， x x E 1且 x #

16、 1且 x 0四、求函數(shù)解析式：22)已知 f (3x + 1) = 9x 6x + 5,1)已知 f(l) = 一二，求 f(x)。x 1 - x求 f (x)。1解：7 f (-) xf (x)f (x)解：3x 1 = tx1 - x21二 1x xxx2 - 1t - 1x= 3(t - 1)2f (x) = 969= t2 - 2t 1 - 2tt - 1532 5t2 - 4t 8x2 - 4x 83)已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f (0) =1, f (x+ 1) f (x) = 2x,求 f(x)。解：設 ax2 - bx c(a 二 0)f(0) =1 = C22a (x

17、1) - b(x 1) c - ax -bx-c = 2x2a x bx a b - bx = 2xa =1 b- -1f (x) = x2 - x 14)若函數(shù)f(X)滿足方程 TOC o 1-5 h z 1-af (x)+ f (一) = ax,xe R, x# 0,a 為常數(shù)，且 a#l ,求 xf (x)。i 11af (-)f (x) = a (1)解：xx212a f (x) af () = a x (2)x(a2 -1 ) f(x)=a2x- af (x)=(a 2 -1 ) x注意：求函數(shù)的解析式大致有如下幾種方法：拼湊法；換元法；待定系數(shù)法；解析法。注意因題型而選擇方法。小結

18、：求函數(shù)的定義域，就是求使得該函數(shù)表達式有意義自變量的范圍，大致有如下幾種方法：一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)；函數(shù)表達式形式是分式的，分母不為0;函數(shù)表達式形式是根式的，如果開偶次方根，被開方式要大于等于零；如果開奇次方根，被開方式可以取全體實數(shù)；零指數(shù)哥與分數(shù)指數(shù)哥的底數(shù)不能為零；在有實際意義的解析式中，一定要由實際問題決定其定義域；多個限制條件取交集。五、求下列函數(shù)的值域f(x) = -4x 1 T 三 x 3解：f (一1)= -4-11 = 5f (3) = -4 3 1 = -112f(x)=2x2-4x12 MxM 3 TOC o 1-5 h z “4角牛： x = = 1

19、222f (2)= 22 2 - 421 = 1- -一一 2一f (3)= 2 3- 4 31 = 7y 11 , 7 13)y = J-x2 + 2x + 3解： y = J-( x2 - 2x + 1) +4=-( x - 1)2 40 三 y Y 24)y = x - Ji - x解：設，1 - x = t _ 0 TOC o 1-5 h z 221 25.1 - x = t2x=1- t2 = 一(t )2 - HYPERLINK l bookmark97 o Current Document 24/22,21、5y = 1 - t - t - -1 - t 1 - - (t - t

20、 -)-445，y y 4注意：函數(shù)的值域一定是在其定義域下控制的值域，隨著所給函數(shù)定義域的不同，相同表 達式的函數(shù)的值域也互不相同。在今后我們將會學習更多的新的函數(shù)和相關性質，也會對 其定義域和值域在進一步探討。知識要點二：函數(shù)性質函數(shù)的單調性：定義：一般地，設 f (x )的定義域為I :如果對于定義域 I內(nèi)某個區(qū)間 D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1x2時，都有f (x1) f (x2 ),那么就說函數(shù) f (x )在區(qū)間D上是增函數(shù)；區(qū)間 D稱為單調遞增區(qū)間。如果對于定義域 I內(nèi)某個區(qū)間 D上的任意兩個自變量的值x1,x2 ,當x1 f (x2 )，那么就說函數(shù)f (x )在區(qū)

21、間D上是減函數(shù)；區(qū)間 D稱為單調遞減區(qū)間。復合函數(shù)的單調性：同增異減函數(shù)的奇偶性設函數(shù)y = f(x )的定義域為D ,如果對D內(nèi)的任意一個x ,都有xw D ,且f (-x)=-f (x ),則這個函數(shù)叫奇函數(shù)。(如果已知函數(shù)是奇函數(shù)，當函數(shù)的定義域中有0時，我們可以得出 f(0)=0)設函數(shù)y = g(x )的定義域為D ,如果對D內(nèi)的任意一個x ,都有-xW D ,若g ( _x )= g (x則這個函數(shù)叫偶函數(shù)。從定義我們可以看出，討論一個函數(shù)的奇、偶性應先對函數(shù)的定義域進行判斷，看其定義域是否關于原點對稱。也就是說當x在其定義域內(nèi)時，-X也應在其定義域內(nèi)有意義。圖像特征如果一個函數(shù)是

22、奇函數(shù) U這個函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱。如果一個函數(shù)是偶函數(shù) U這個函數(shù)的圖象關于 y軸對稱。復合函數(shù)的奇偶性：同偶異奇。高考要求：掌握函數(shù)的單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調性、奇偶 性的方法。命題趨向：這一部分歷來是考試重點，在函數(shù)的對應法則、定義域、值域，判斷函數(shù)的單調性，奇、偶性考查較多，而且對這部分知識的考查有深度有力度， 在客觀題中主要考查 一、兩個性質，解答題中的綜合運用往往是學生解題能力的體現(xiàn)， 在這里也容易拉開學生的 檔次。例題講解：夯實基礎一、判斷下列函數(shù)的單調性。11)y =當 x = (0, + 如 X證明：任取x1,x2 (0,二)x1 x2f (x1

23、) - f (x2)11 _ x2 -x1:0 xix2gf (x1) f (x2)y=是 Jxf (x )= -Jx +1 當 xW 1, f )證明：任取 x1, x2 I -1, :) x1x2 - -1x2 一 x1fx1- f x2- - . x11. x21 =f x1- - x11 f x2- - 1 x21.x T . x2 , 1Vx2 - x1 Y0JX1 1Jx21Ao二 f (x1 )- f (x2 ) 0 f (x)在 1-1, +8)是 J-3xf (x)=在(1x1)x -1二、判斷下列函數(shù)的奇、偶性。31) y = -3x + x奇函數(shù)2)f x = x -11

24、 x 01 - x = 01 - x-1 W x Y 1關于原點不對稱.3) f(x) = 0既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)-24)f(x)=0 -x0f(x)=-xf(x)=f(-x) f(0)=0 x0f(x)=x2 +x f(-x)=x2 +x f(-x)=-x-x-xf(-x)=-f(x)5)解： ：1-x 2 至 0 x + 2 - 2 # 0-1 M x 三 1 x =-4 x = 0f xxxf ( x )為奇函數(shù)結論：函數(shù)就奇、偶性來劃分可以分成奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、既是奇函數(shù)也是 偶函數(shù)。f (x)得三、已知y = f(x)是奇函數(shù)，當x0時，f (x )=2x2x+1,求當

25、x0時,解析式。解：設x 0;當 x0時，f(x ) = 2x2 -x+1.22f -x =2 -x - -x1=2x x 1y = f (x)是奇函數(shù),2._ 2二 f (x )= f (x )= (2x + x+1)=2x x1 為所求 x 0 時 y = f (x)的解析式。能力提升，一一1、已知函數(shù)f(x)=a下;，若f(x)為奇函數(shù)，求實數(shù) a的取值。解：首先考慮定義域，知 x w R,由奇函數(shù)的定義 f( -x產(chǎn)-f( x)建立等式求解計算起來就比較麻煩，我們還知道已知函數(shù)是奇函數(shù)，當函數(shù)的定義域中有0時，我們可以得出1f(0)=0,二 f(0)=0易得 a = 1二、已知f (x

26、謖偶函數(shù)，g(x )是奇函數(shù)，且f (x )+g(x )=,試求f (x)與g(x)的x -1表達式。解：令 f x g x =1x -1的 x 取 _x 得 f (x )+g(x )=1-x -1f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),f -x = f x ,g -x = -g x ,f x - g x=f x g x=-x -11x -1, r -11兩式相加得2fx二x 1 x-11 -x x 1x2 -1兩式相減得2gx =1x -1T _ x 1 x -1 x 1x2 -12x2 -1,2x2，x -11x2 -1xx2 -1、設y = f (x )的定義域是R ,對于任意x, y都有f

27、 (x + y )= f (x )+ f (y )x a 0時f(x ) x2Hx1 -x2 0f (x1 -x2):二 0又f (x)是奇函數(shù)f ( -x2 ) = - f (x2 ) f (x1 - x2 ) = f (x1) - f (x2) : 0 f(xi)：二 f(x2) xi x2工f (x)在R上是單調遞減第三講基本初等函數(shù)知識要點:一次函數(shù)與二次函數(shù)知識點的回顧一次函數(shù)y = kx十b定義域值域相關概念性 質RRk叫做直線的斜率b叫做直線在y軸上的截距1） k0,是增函數(shù)，k0, ymin =，4a .、一b圖像開口向上，對稱軸萬程 x = ,頂點2a單調性：在對稱軸左側遞減

28、右側遞增。b 4acb2”, 12a4al,4ac-b2a 0,m,n = N,n 1 )； a n =m(a0, m,n=N,n1) an注意：0的正分數(shù)指數(shù)哥等與 0,負分數(shù)指數(shù)哥沒有意義。有理數(shù)指數(shù)哥的運算性質：a 0,b 0,r,s Qr sr *sr s rsr r raa =a(a) =a(ab)=ab指數(shù)函數(shù)及其性質一般地，函數(shù)y =ax(a 0,且a =1 )叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為 R。通過描點我們得到指數(shù)函數(shù)在底數(shù)取不同范圍時的大致圖象，現(xiàn)將函數(shù)性質總結如下：0 a 1要求的，那么在這里給同學們一點建議，準確掌握函數(shù)的基本圖象，從圖象中挖掘函數(shù)的相關性質

29、。對數(shù)與對數(shù)函數(shù)一般地，如果 ax =N（a0,且a/1）,那么數(shù) x叫做以a為底N的對數(shù)，記作:x =loga N其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。根據(jù)對數(shù)的定義我們可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關系：當 a 0,a = 1時,ax = N t x = loga N這時我們可以看出負數(shù)和零沒有指數(shù)，且loga1 = 0,log a a =1。對數(shù)的運算性質：如果 a 0,且a #1,M 0,N 0,那么loga M *N =loga M loga N；logaM =logaM -loga N； Nloga M n = nloga M指數(shù)函數(shù)及其性質 y = log a x一般地，函數(shù) y=logax

30、（a A0,且a#1 ）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域（0,也）。通過描點我們得到對數(shù)函數(shù)在底數(shù)取不同范圍時的大致圖象，現(xiàn)將函數(shù)性質總結如下：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是高中階段的兩個很重要的函數(shù)，在高考中歷來都有題目出現(xiàn)對 這兩個的函數(shù)性質要做到掌握精準，運用熟練。高考要求:1）理解分數(shù)指數(shù)哥的概念，掌握有理指數(shù)哥的運算性質，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和運算性質。2）理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質和對數(shù)函數(shù)的性質和圖象。3）能夠利用函數(shù)的性質、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質解決某些簡單的實際問 題。例題講解夯實基礎一、選擇題1)集合 A=y y =x22x+3,xWR,B = y y=2x23x + 1,xW r則 Ac B 等于(B.y y 主2_1Cy y I 8J2）若函數(shù)f （x戶3 . x 12ax 3ax 4的定義域為 R,則a的取值范圍為（ C ）A.最新資料推薦 最新資料推薦2 最新資料推薦3 、計算1) ab3(Tab )2)(ab3 ab 2 )519a2b10 x -y21 -12x3 x3y3 y3112112_(x3 - y3)(x3 x3y3 y3)21 1x3x3y312y31)已知1.