高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)教材分析

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第四章三角函數(shù)教材分析三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.由于角的概念由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的推廣，它的研究由幾何中的相似形和圓的靜態(tài)的關(guān)系拓展到代數(shù)變形和圖象分析的動(dòng)態(tài)變換，因此三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)了，本章所介紹的知識(shí)，既是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，又是學(xué)習(xí)中學(xué)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。一、內(nèi)容與要求25743511322632366323622(一)本章主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求角等。(二)第一大節(jié)是“任意角的三角函數(shù)”。教科書(shū)首先推

2、廣了角的概念，介紹了弧度制，接著把三角函數(shù)的概念由銳角直接推廣到任意角(都用坐標(biāo)定義)，然后導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式及正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。教科書(shū)在本大節(jié)的各小節(jié)中，都安排了許多實(shí)例以及知識(shí)的應(yīng)用。第二大節(jié)是“兩角和與差的三角函數(shù)”。教科書(shū)先引入平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式(只通過(guò)畫(huà)圖說(shuō)明公式的正確性，不予嚴(yán)格證明)，用距離公式推出余弦的和角公式，然后順次推出(盡量用啟發(fā)式)其他公式，同時(shí)安排了這些公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用，包括解決引言中的實(shí)際問(wèn)題，引出半角公式、和差化積及積化和差公式讓學(xué)生有所了解。第三大節(jié)是“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”。教科書(shū)先利用正弦線畫(huà)出函數(shù)ysinx，x0,2的圖象，并根

3、據(jù)“終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值”把這一圖象向左、右平行移動(dòng)，得到正弦曲線；在此基礎(chǔ)上，利用誘導(dǎo)公式，把正弦曲線向左平行移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到余弦曲線。接著根據(jù)這兩種曲線的形狀和特點(diǎn)，研究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，然后又研究了正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖的畫(huà)法，簡(jiǎn)要地介紹了利用正切線畫(huà)出正切函數(shù)的圖象以及正切函數(shù)的性質(zhì)。最后講述了如何由已知三角函數(shù)值求角，并引進(jìn)了arcsinx、arccosx、arctanx等記號(hào)，以供在后續(xù)章節(jié)中遇到求角問(wèn)題時(shí)用來(lái)表示答案。(三)本章的教學(xué)要求是：1使學(xué)生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算。2使學(xué)生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割

4、、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。3使學(xué)生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。通過(guò)公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力。4使學(xué)生能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。5使學(xué)生會(huì)用單位圓中的三角函數(shù)線畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過(guò)它們的圖象理解這正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡(jiǎn)圖，理解A、的

5、物理意義。6使學(xué)生會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx、arccosx、arctanx表示。二、考點(diǎn)要求1理解弧度的定義，并能正確地進(jìn)行弧度和角度的換算。2掌握任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號(hào)、同角三角函數(shù)的關(guān)系式與誘導(dǎo)公式，了解周期學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)和最小正周期的意義，會(huì)求yAsin(x)的周期，或者經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的恒等變形可以化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期。能運(yùn)用上述三角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，求任意角的三角函數(shù)值與證明較簡(jiǎn)單的三角恒等式。3了解正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的畫(huà)法，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦、余弦函數(shù)和函數(shù)yAsin(x)的簡(jiǎn)圖，并能解決正弦、曲線有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。4能

6、推導(dǎo)并掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式。5了解三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式。6能正確地運(yùn)用上述公式簡(jiǎn)化三角函數(shù)式、求某些角的三角函數(shù)值。證明較簡(jiǎn)單的三角恒等式以及解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。7掌握余弦定理、正弦定理及其推導(dǎo)過(guò)程、并能運(yùn)用它們解斜三角形。三、考點(diǎn)分析三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，由于其特殊的性質(zhì)以及與其他代數(shù)、幾何知識(shí)的密切聯(lián)系，它既是研究其他各部分知識(shí)的重要工具，又是高考考查雙基的重要內(nèi)容之一。本章分兩部分，第一部分是三角函數(shù)部分的基礎(chǔ)，不要求引入難度過(guò)高，計(jì)算過(guò)繁，技巧性過(guò)強(qiáng)的題目，重點(diǎn)應(yīng)放在結(jié)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、熟練性和靈活性上。試題以選擇題、填空題形式

7、居多，試題難度不高，常與其他知識(shí)結(jié)合考查。復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)把握好以下幾點(diǎn)：1理解弧度制表示角的優(yōu)點(diǎn)在于把角的集合與實(shí)數(shù)集一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，二是就可把三角函數(shù)看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)。2要區(qū)別正角、負(fù)角、零角、銳角、鈍角、區(qū)間角、象限角、終邊相同角的概念。3在已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意題設(shè)中角的范圍，并對(duì)不同的象限分別求出相應(yīng)的值。在應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡(jiǎn)、求值時(shí)，應(yīng)注意公式中符號(hào)的選取。4單位圓中的三角函數(shù)線，是三角函數(shù)的一種幾何表示，用三角函數(shù)線的數(shù)值來(lái)代替三角函數(shù)值，比由三角函數(shù)定義所規(guī)定的比值所得出三角函數(shù)值優(yōu)越得多，因此，三角函數(shù)是討論三角函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)強(qiáng)有力

8、的工具。5要善于將三角函數(shù)式盡可能化為只含一個(gè)三角函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)式”，進(jìn)而可求得某些復(fù)合三角函數(shù)的最值、最小正周期、單調(diào)性等。對(duì)函數(shù)式作恒等變形時(shí)需特別注意保持定義域的不變性。6函數(shù)的單調(diào)性是在給定的區(qū)間上考慮的，只有屬于同一單調(diào)敬意的同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值才能由它的單調(diào)性來(lái)比較大小。7對(duì)于具有周期性的函數(shù)，在作圖時(shí)只要先作它在一個(gè)周期中的圖象，然后利用周期性就可作出整個(gè)函數(shù)的圖象。8對(duì)于sin3cos3，sin4cos4，sin6cos6等表達(dá)式，要會(huì)進(jìn)行熟練的變形，并利用sin2cos21等三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)。3本章第二部分是兩角和與差的三角函數(shù)，考查的知識(shí)共7個(gè)，高考中在選擇題、填空題和解答題

9、三種題型中都考查過(guò)本章知識(shí)，題目多為求值題，有直接求某個(gè)三角函數(shù)值的，也有通過(guò)三角變換求函數(shù)的變量范圍，周期，最小、大值和討論其他性質(zhì)；以及少量的化簡(jiǎn)，證明題。考查的題量一般為4個(gè)，分值在1222分，都是容易題和中等題，重點(diǎn)考查內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦及正切公式，和差化積、各積化和差公式。考生丟分的原因主要有以下兩點(diǎn)：一是公式不熟，二是運(yùn)算不過(guò)關(guān)，因此復(fù)習(xí)時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：學(xué)習(xí)必備歡迎下載1熟練掌握和、差、倍、半角的三角函數(shù)公式。復(fù)習(xí)中注意掌握以下幾個(gè)三角恒等變形的常用方法和簡(jiǎn)單技巧。常值代換，特別是“1”的代換，如：1tancot，1sin2cos2，1csc2cot2，1sec2tan

10、2等等。項(xiàng)的分拆與角的配湊。降次與升次。萬(wàn)能代換另外，注意理解兩角和、差、倍、半角公式中角的實(shí)質(zhì)，可以把公式中的角看成一種整體形式，可以錦成其他變量或函數(shù)，這樣可加大公式的應(yīng)用范圍和力度。2要會(huì)運(yùn)用和差化積與積化和差公式。對(duì)三角函數(shù)和差式，要善于轉(zhuǎn)化為積的形式，反之亦然，對(duì)于形如asinbcos的式子，要引入輔助角并化成a2b2sin()的形式，這里輔助角所在的象限由a,b的符號(hào)決定，角的值由tgba確定。對(duì)這種思想，務(wù)必強(qiáng)化訓(xùn)練，加深認(rèn)識(shí)。3歸納總結(jié)并熟練掌握好三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值的常用方法和技巧。三角函數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)，在題設(shè)的要求下，首先應(yīng)合理利用有關(guān)公式，還要盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)

11、種數(shù)，盡量化同角、化同名等。其他思想還有：異次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差為乘積、化乘積為和差、特殊角三角函數(shù)與特殊值互化等。三角函數(shù)的求值問(wèn)題，主要有兩種類型。一關(guān)是給角求值問(wèn)題；另一類是給值求角問(wèn)題。它們都是通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖儞Q，設(shè)法再與求值的三角函數(shù)式、特殊角的三角函數(shù)式、已知某值的三角函數(shù)式之間建立起聯(lián)系。選用公式時(shí)應(yīng)注意方向性、靈活性，以造成消項(xiàng)或約項(xiàng)的機(jī)會(huì)，簡(jiǎn)化問(wèn)題。4關(guān)于三角函數(shù)式的簡(jiǎn)單證明。三角恒等證明分不附加條件和附加條件兩種，證明方法靈活多樣。一般規(guī)律是從化簡(jiǎn)入手，適當(dāng)變換，化繁為簡(jiǎn)，不過(guò)這里的變換目標(biāo)要由所證恒等式的特點(diǎn)來(lái)決定。不附加條件的三角恒等式證明：多用綜合法、分析法、在特定的條件下，也可使用數(shù)學(xué)歸納法。附加條件的三角恒等式證明：關(guān)鍵在于恰當(dāng)而適時(shí)地使用所附加的條件，也就是要仔細(xì)地尋找所附加條件和要證明的等式之間的內(nèi)在聯(lián)系。常用的方法是代入法和消元法。三角恒等證明中要重點(diǎn)會(huì)用和差與積的互化公式，掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和變量代換的方法。證明的關(guān)鍵是：發(fā)現(xiàn)差異觀察等式兩邊角、函數(shù)、運(yùn)算間的差異；尋找聯(lián)系選擇恰當(dāng)公式，找出差異間的聯(lián)系；合理轉(zhuǎn)化促進(jìn)聯(lián)系，創(chuàng)造性地應(yīng)用基本公式。而關(guān)于角的恒等式或條件恒等式的證明，一般來(lái)說(shuō)，要證，先證明,的同名三角函數(shù)值相等，即f()f()，再證明,在三角函數(shù)yf(x)