最優(yōu)控制綜述

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)最優(yōu)控制綜述摘要：本文主要闡述了關(guān)于最優(yōu)控制問題的基本概念。最優(yōu)控制理論是研究和解決從一切可能的控制方案中尋找最優(yōu)解的一門學(xué)科，解決最優(yōu)控制問題的主要方法有古典變分法、極大值原理和動態(tài)規(guī)劃，同時本文也介紹了最優(yōu)控制理論在幾個研究領(lǐng)域中的應(yīng)用，并對最優(yōu)控制理論做了一定的總結(jié)。關(guān)鍵字：最優(yōu)控制；最優(yōu)化；最優(yōu)控制理論Abstract: This article mainly elaborated on the basic concept of optimal control

2、problems. Optimal control theory is studied and solved from all possible solutions to find the optimal solution of a discipline, to solve optimal control problems of the main methods are classical variational method, with the maximum principle and dynamic programming principle. At the same time, thi

3、s paper also introduces the application of optimal control theory in several research fields, and a summary of optimal control theory.Key Words: Optimal control; optimization; optimal control theory1.引言最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的重要組成部分，它研究的主要問題是：在滿足一定約束條件下，尋求最優(yōu)控制策略，使得性能指標(biāo)取極大值或極小值。最優(yōu)控制是使控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的基本條件和綜合方法?？筛爬?/p>

4、為：對一個受控的動力學(xué)系統(tǒng)或運(yùn)動過程，從一類允許的控制方案中找出一個最優(yōu)的控制方案，使系統(tǒng)的運(yùn)動在由某個初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的目標(biāo)狀態(tài)的同時，其性能指標(biāo)值為最優(yōu)。最優(yōu)控制是最優(yōu)化方法的一個應(yīng)用。從數(shù)學(xué)意義上說，最優(yōu)化方法是一種求極值的方法，即在一組約束為等式或不等式的條件下，使系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值，即最大值或最小值。最優(yōu)控制理論是研究和解決從一切可能的控制方案中尋找最優(yōu)解的一門學(xué)科，基本內(nèi)容和常用方法包括動態(tài)規(guī)劃、最大值原理和變分法。這方面的開創(chuàng)性工作主要是由貝爾曼（R.E.Bellman）提出的“動態(tài)規(guī)劃”和龐特里亞金等人提出的“極大值原理”，到了60年代，卡爾曼（Kalman）等人又提出了

5、可控制性及可觀測性概念，建立了最優(yōu)估計(jì)理論。這方面的先期工作應(yīng)該追溯到維納（N.Wiener）等人奠基的控制論（Cybernetics）。最優(yōu)控制理論的實(shí)現(xiàn)離不開最優(yōu)化技術(shù)。控制系統(tǒng)最優(yōu)化問題，包括性能指標(biāo)的合理選擇以及最優(yōu)化控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，而性能指標(biāo)在很大程度上決定了最優(yōu)控制性能和最優(yōu)控制形式。最優(yōu)化技術(shù)就是研究和解決最優(yōu)化問題，主要包括兩個需要研究和解決的方面：一個是如何將最優(yōu)化問題表示為數(shù)學(xué)模型；另一個是如何根據(jù)數(shù)學(xué)模型盡快求出其最優(yōu)解。2.最優(yōu)控制問題的描述 控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題一般提法為：對于某個由動態(tài)方程描述的系統(tǒng)，在某初始和終端狀態(tài)條件下，從系統(tǒng)所允許的某控制系統(tǒng)集合中尋找一個

6、控制，使得給定的系統(tǒng)的性能目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。2.1系統(tǒng)狀態(tài)的始端條件和終端條件 始端和終端條件卻給出了系統(tǒng)狀態(tài)在系統(tǒng)控制開始和結(jié)束時刻的約束條件。端點(diǎn)條件一般有三種類型：固定端、自由端和可變端。固定端就是時間和狀態(tài)值都是固定的端點(diǎn)。例如初始時間及其初始狀態(tài)都固定就稱始端固定條件，而終端時間及其終端狀態(tài)都固定就稱終端固定條件。一般來說，兩端固定是最簡單的情況。自由端是指端點(diǎn)時間固定，但端點(diǎn)狀態(tài)值不受任何限制的端點(diǎn)。有始端自由和終端自由兩種?？勺兌司褪嵌它c(diǎn)時間及其狀態(tài)值都可變的端點(diǎn)。但一般它滿足一定條件，如滿足：初始狀態(tài)為：終端狀態(tài)x()可用如下約束條件表示或。2.2最優(yōu)控制問題的分類按狀態(tài)方程分

7、類：連續(xù)最優(yōu)化系統(tǒng)、離散最優(yōu)化系統(tǒng)。按控制作用實(shí)現(xiàn)方法分類：開環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)、閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)。按性能指標(biāo)分類：最小時間控制問題、最少燃料控制問題、線性二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制問題、非線性性能指標(biāo)最優(yōu)控制問題。按終端條件分類：固定終端最優(yōu)控制問題、自由終端（可變）最優(yōu)控制問題、終端時間固定最優(yōu)控制問題、終端時間可變最優(yōu)控制問題。按應(yīng)用領(lǐng)域來分：終端控制問題、調(diào)節(jié)器問題、跟蹤問題、伺服機(jī)構(gòu)問題、效果研究問題、最小時間問題、最少燃料問題。3.最優(yōu)控制的求解方法3.1變分法 變分法是求解泛函極值的一種經(jīng)典方法，也是解決最優(yōu)控制問題的本質(zhì)方法，是研究最優(yōu)控制問題的一種重要工具。掌握變分法的基本原理，還有

8、助于理解以最小值原理和動態(tài)規(guī)劃等最優(yōu)控制理論的思想和內(nèi)容。 對于沒有對泛函的極值函數(shù)附加任何條件的求解方法，即無約束條件下的求解方法，我們可以利用歐拉方程求解，在一般性情況下，我們可以利用一下步驟求解：求以下泛函極值問題：，其中是二階連續(xù)可微函數(shù)，滿足固定邊界條件，。其求解的歐拉方程為，也可以擴(kuò)展為如下歐拉方程：，由歐拉方程則可求得最優(yōu)控制曲線。 而對于有約束條件的泛函極值求解方法，可以通過Hamilton方程，將有約束的泛函極值求解轉(zhuǎn)化為無約束的泛函極值求解，從而解決最優(yōu)控制問題。其一般性情況下求解方法如下：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，體統(tǒng)的始端和終端滿足是可變的，系統(tǒng)的性能指標(biāo) 。Hamilton

9、 Function：。通過求解協(xié)態(tài)方程（costate equation）：極值條件（extremal condition）：邊界條件（boundary condition）：橫截條件（這是自由，末端約束的情況下得出的橫截條件，不同情況下橫截條件會不相同）來求解最優(yōu)控制問題。 通過上面一般性情況可以求解簡單的泛函極值問題，但是，變分法作為一種古典的求解最優(yōu)控制的方法，只有當(dāng)控制向量u（t）不受任何約束，其容許控制集合充滿整個m維控制空間，用古典變分法來處理等式約束條件下的最優(yōu)控制問題才是行之有效的。在許多實(shí)際控制問題中，控制函數(shù)的取值常常受到封閉性的邊界限制，如方向舵只能在兩個極限值范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動

10、，電動機(jī)的力矩只能在正負(fù)的最大值范圍內(nèi)產(chǎn)生等。因此，古典變分法對于解決許多重要的實(shí)際最優(yōu)控制問題，是無能為力的。3.2極小值原理 利用前面介紹的變分法求解最優(yōu)控制問題時在一給定的開集上，而不受其他約束。而在許多最優(yōu)控制問題中，控制函數(shù)卻會受到某些限制。例如控制量的各個分量不大于某些給定的值，即。當(dāng)控制量受到上述不等式約束并且最優(yōu)控制取值于閉集性約束的邊界時，則可以利用極小值原理進(jìn)行求解。 利用極小值原理求解最優(yōu)控制問題時，也是通過列出狀態(tài)方程、協(xié)態(tài)方程、邊界條件與橫截條件、極小值條件方程來求解。其中極小值條件方程與變分法中的極小值條件不同，為。在極小值原理中還有一個條件就是沿最有軌線哈密頓函數(shù)

11、變化率。 關(guān)于最小值原理的條件，有以下幾點(diǎn)說面：最小值原理是對經(jīng)典變分法的發(fā)展，最小值原理放寬了對控制函數(shù)的要求。1）最小值原理沒有提出哈密頓函數(shù)H對控制函數(shù)可微的要求，因此其應(yīng)用條件進(jìn)一步擴(kuò)寬了，并且最小值原理所求得的最優(yōu)控制使哈密頓函數(shù)H達(dá)到全局、絕對最大值。2）最小值原理是最優(yōu)控制問題的必要條件，并非充分條件。3）利用最小值原理和經(jīng)典變分法求解最優(yōu)控制問題時，除了控制方程的形式不同外，其余條件都是相同的。4）又最小值原理所得到的最優(yōu)控制和最優(yōu)控制軌線是一致的，只是協(xié)態(tài)變量是互為異號的。3.3 動態(tài)規(guī)劃 動態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策過程最優(yōu)化問題的一種方法，是由貝爾曼提出的一種非線性規(guī)劃方法，

12、它將多階段決策問題轉(zhuǎn)化成一系列簡單的最優(yōu)化問題。動態(tài)規(guī)劃首先將復(fù)雜的問題分解成相互聯(lián)系的若干階段，每一階段都是一個最優(yōu)化子問題，然后逐階段進(jìn)行決策（確定與下段的關(guān)系），當(dāng)所有階段決策丟確定了，整個問題的決策也就確定了。動態(tài)規(guī)劃法原理簡明，適用于計(jì)算機(jī)求解，在許多理論問題的研究中，都應(yīng)用到動態(tài)規(guī)劃的思路。在離散系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)劃中，其一般求解方法如下：設(shè)有離散動態(tài)系統(tǒng)，性能指標(biāo)在連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)劃中，其求解方法如下：給出被控系統(tǒng)狀態(tài)方程目標(biāo)函數(shù)為：，定義為狀態(tài),時間t時刻J的最優(yōu)解?？傻霉茴D-雅戈比-貝爾曼方程為：由該方程便可求得連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)劃最優(yōu)解。4. 三種方法之間的相互關(guān)系 動態(tài)規(guī)劃

13、法、極小值原理和變分法，都是求解最優(yōu)控制問題的重要方法。由動態(tài)規(guī)劃的哈密頓-雅克比方程，可以推得變分法中的歐拉方程和橫截條件：也可以推得極小值原理的必要條件。變分法對解決開集約束的最優(yōu)控制問題十分有效，但對于處理閉集性約束就無能為力了。變分法與極小值原理都可以解微分方程所描述的變分問題作為目標(biāo)，結(jié)果得出了一組常微分方程所表示的必要條件。這三種方法要求的條件不同，其中屬動態(tài)規(guī)劃要求最高。在所要求的條件都滿足的情況下，使用這三種方法所得結(jié)論相同。5. 應(yīng)用：隨著社會科技的不斷進(jìn)步,最優(yōu)控制理的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，如時間最短、能耗最小、線性二次型指標(biāo)最優(yōu)、跟蹤問題、調(diào)節(jié)問題和伺服機(jī)構(gòu)問題等。但它在理論

14、上還有不完善的地方，其中兩個重要的問題就是優(yōu)化算法中的魯棒性問題和最優(yōu)化算法的簡化和實(shí)用性問題。大體上說，在最優(yōu)化理論研究和應(yīng)用方面應(yīng)加強(qiáng)的課題主要有：（1）適合于解決工程上普遍問題的穩(wěn)定性最優(yōu)化方法的研究；（2）智能最優(yōu)化方法、最優(yōu)模糊控制器設(shè)計(jì)的研究；（3）簡單實(shí)用的優(yōu)化集成芯片及最優(yōu)化控制器的開發(fā)和推廣利用；（4）復(fù)雜系統(tǒng)、模糊動態(tài)模型的辯識與優(yōu)化方法的研究；相信隨著對這些問題的研究和探索的不斷深入，最優(yōu)控制技術(shù)將越來越成熟和實(shí)用，它也將給人們帶來不可限量的影響。6. 結(jié)束語 隨著工業(yè)自動化的不斷進(jìn)步，最優(yōu)控制在理論和實(shí)踐兩方面都得到了充分的發(fā)展。在理論方面，日前需要研究解決的兩個卞要問題就是優(yōu)化算法中的魯棒性問題和最優(yōu)化算法的簡化與實(shí)用性問題。關(guān)于最優(yōu)化算法的改進(jìn)將是今后研究的卞要方向之一。在應(yīng)用方面，最