2021-2022學(xué)年高二物理競(jìng)賽課件：定態(tài)問題的常用近似方法

1、定態(tài)問題的常用近似方法2定態(tài)問題的常用近似方法一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)定態(tài)非簡(jiǎn)并微擾論令 ，且能級(jí) 非簡(jiǎn)并，則3其中關(guān)鍵是求 ，并知道 的精確解2、定態(tài)簡(jiǎn)并微擾論令 ， 的本征能量為 ，本征函數(shù)為 ，設(shè) 時(shí) 是 重簡(jiǎn)并的：那么與 對(duì)應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)選哪一個(gè)？選哪一個(gè)也不合適！最好的方法是選取其線性組合，即4實(shí)際上在考慮微擾后 要分裂，每一個(gè)分裂的能級(jí)都應(yīng)對(duì)一個(gè)新的0級(jí)波函數(shù)，并由上式給出。將上式代入一級(jí)近似方程可得系數(shù) 滿足方程由久期方程可得 ，并分別代入上式可得一組系數(shù) 從而給出 所對(duì)應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)： 5相應(yīng)的一級(jí)近似能量為如果 有重根，則某個(gè)能態(tài)仍是簡(jiǎn)并的，相應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)仍不能確定。因而求

2、解一級(jí)近似能量和0級(jí)近似波函數(shù)的關(guān)鍵仍是求 在簡(jiǎn)并態(tài) 中的矩陣元如果此時(shí) 中所有非對(duì)角元素均為0，即則 就是0級(jí)近似波函數(shù)，此時(shí)每一個(gè)分裂能級(jí)對(duì)應(yīng)一個(gè) 。為什么？6因?yàn)槲覀円呀?jīng)證明：在利用上述程序給出的新的0級(jí)波函數(shù)中 是對(duì)角化的，故可以選 為0近似波函數(shù)。注意：求解簡(jiǎn)并微擾問題的基本思想是：一般 態(tài)中 是非對(duì)角化的。我們令 使 在新的 中是對(duì)角化的，這等于將 作個(gè)幺正變換，使之變成 。在這個(gè)新的基矢下， （從而 ）是對(duì)角化的。而幺正變換矩陣就由展開系數(shù) 給出。關(guān)鍵是求這個(gè)幺正變換矩陣。這個(gè)幺正矩陣可以將一組不能使H對(duì)角化的基矢變成可以讓其對(duì)角化的基矢。7a.根據(jù)體系Hamilton量形式和對(duì)

3、稱性b.滿足問題的邊界條件3、變分法1) 確定試探波函數(shù)原則：c.應(yīng)包含一個(gè)或多個(gè)變分參數(shù)2) 求Hamilton在試探波函數(shù)中的平均值3) 求此平均值對(duì)變分參數(shù)的極值4) 求出并由此得到基態(tài)能量和波函數(shù)8二、例題5.2 已知體系的哈密頓量在某力學(xué)量表象中表示為其中試用微擾方法求二級(jí)近似能量和一級(jí)近似態(tài)矢提示：需要思考兩個(gè)問題解：按照微擾論的思想，可將哈密頓寫為1.是否H0表象？2.是否簡(jiǎn)并？如不是H0表象,如何給出 的矩陣元？9其中顯然不是H0表象。但由H0的矩陣表示可以求出零級(jí)近似能量和相應(yīng)態(tài)矢。二級(jí)近似能量和一級(jí)近似態(tài)矢為顯然這是屬于非簡(jiǎn)并微擾論的內(nèi)容。10其中將上述矩陣元代入近似能量和態(tài)矢表達(dá)式，有11類似計(jì)算得到125.3 在表象中的矩陣為其中為實(shí)數(shù)，且比小得多，試用微擾論求能量到二級(jí)近似分析：這顯