2021-2022學年高二物理競賽課件：量子力學之散射

1、散射 具有確定動量的粒子從遠處而來，通過另一個粒子（稱為散射中心）附近，相互作用后而發(fā)生偏轉，又向遠處而去，這就是散射。量子力學中，散射又稱碰撞。在碰撞過程中，如果兩粒子內(nèi)部狀態(tài)均未發(fā)生改變，則稱為彈性散射；反之，稱為非彈性散射。 我們僅限于討論彈性散射。 為方便起見，采用質心坐標系，并假定散射中心的質量遠大于入射粒子的質量，即由碰撞引起的散射中心的運動可以略去。這樣，入射粒子發(fā)生彈性散射后，只有運動方向發(fā)生改變，動量大小并未發(fā)生改變。 另外，入射粒子與散射中心的相互作用只發(fā)生在很小的空間區(qū)域內(nèi)，在這小區(qū)域外，入射粒子（初態(tài)）及散射粒子（末態(tài)）均處于自由粒子狀態(tài)。 散射過程實際上是由于空間小區(qū)

2、域中的相互作用導致的粒子從一個自由態(tài)到另一自由態(tài)的躍遷。但是，這種躍遷的初末態(tài)能量是相同的，并且組成連續(xù)譜。本講主要討論的仍屬于躍遷概率問題，而中心問題是散射截面。散射截面的計算，主要通過兩種近似方法：分波法和玻恩近似法。1 散射截面1、1 入射 設自由粒子流沿著 軸向散射中心入射。首先，我們定義：單位時間內(nèi)穿過垂直于入射方向的單位面積的入射粒子數(shù)為入射粒子流強度，記為 。從波動理論出發(fā)，入射波取為 其中 ， 是約化質量， 是入射粒子動量， 是入射粒子的速度 （1） 入射波的概率流密度 其數(shù)量大小即給出入射粒子流強度， 。由此可見， 描述的是單位體積內(nèi)只有一個入射粒子的情況。1.2 散射 入射

3、粒子流受散射中心的作用而偏離原來的運動方 向，沿著不同的散射角 射出，單位時間內(nèi)散射到 方向上的面積元 上的粒子數(shù) 應由下面關系 （2） （3） 式中 是比例系數(shù)，與入射粒子的能量、散射中心的性質及粒子出射的方向 有關。實際上由 可以看出 （1） 表明單位時間內(nèi)沿不同角度 出射粒子數(shù) 目的多少，或出射粒子的概率的大小，所以稱它為 角分布。 （2）從量綱看， 具有面積的量綱，因此又稱它為 方向上的微分散射截面，而把 稱為總散射面積。（4） “截面”一詞，可作如下解釋：按著（3）式，在入射粒子流中，每單位時間穿過與入射 方向垂直的 面積的粒子數(shù)，即為單位時間被散射到立體角 中去的粒子數(shù) ，而單位時

4、間被散射的總粒子數(shù) 則等于單位時間穿過垂直于入射方向的面積 的入射粒子數(shù)。因此，對于入射粒子流來說，散射體的作用等效于一塊橫截面積，凡是打在這塊面積上的粒子，都被散射到各個方向上去。 及 都是可由實驗測定的量，需要討論的問題是：如何從薛定諤方程的解來計算散射截面，以便與實驗值相比較，從而來研究粒子間相互作用的性質及其它問題。所以說，散射截面是散射理論的核心問題。下面討論散射截面與散射粒子的波函數(shù)之間的關系。 受散射中心作用后，入射粒子將改變方向，動量不再守恒，從而出現(xiàn)散射波。而實驗上觀測都是在遠離散射中心的地方進行的，因此散射波應該是球面波 其中 是沿 方向向外傳播的散射波的振幅，稱為散射振幅

5、。由上式可得散射波的概率流密度它的數(shù)值即為單位時間內(nèi)穿過 方向上的單位面積的粒子數(shù) （5） （6） 因此穿過 面積的粒子數(shù)是 與（3）比較，可得即散射截面可由散射波的散射振幅決定。問題又轉化為對 散射波的研究。 （7） 2.分波法2.1薛定諤方程及其邊界條件 若入射粒子與散射中心之間的相互作用勢能用中心力 場 表示，并假定 ，則體系的薛定諤方程寫為令 ， ，且在中心力場情況下，勢能只與 大小有關，所以 （8） （9） 如前所述，實驗上觀測散射粒子都是在遠離散射中心的地方進行，所以我們總是關注波函數(shù)在 時的漸進行為。 而在無窮遠處，不但有平面波存在，而且有散射波存在，所以滿足（9）式的波函數(shù)應具

6、有如下的漸進行為（邊界條件） 綜上所述，中心力場中的散射問題，歸結為按不同的勢能函數(shù)求解薛定諤方程（9）式，并使其解得的波函數(shù)漸進行為滿足（10）式，這樣就得到散射振幅亦得到散射截面。 （10） 2.2薛定諤方程的漸近解 對于中心力場問題，我們已知對于確定的能量 ，方程 （9）的一般解可寫為 若選取粒子入射方向并通過散射中心的軸線為極軸，則中心力場的散射問題具有軸對稱性，波函數(shù)及散射振幅都與 無關，即 ，所以有式中的 ，對應的各項稱為 分波，每一個分波 都是方程（9）的解。 （11） 其中勒讓德多項式 為已知，所以我們只需討論滿足的徑向方程 令 得 滿足的方程這里， 的函數(shù)形式尚依賴于 的具體

7、形式，考查處的漸進形式，則上式簡化為 （12） （13） （14） 其一般解為因此， 的漸進形式是為了與入射波進行方便的比較引入 及將（15）式代入（11）式，得出散射波的漸近解為2.3散射波與入射波的比較 因為平面波 可以按著數(shù)理方程中的展開公式展開成一系列球面波的疊加（15） （16） 式中球貝塞耳函數(shù) 的漸近式為 所以入射波的漸近式為（17）式與（16）式比較可以看出，入射波被散射后，第 個分波 變成了 ，角度部分 保持不變，徑向部分多了一個相角 ，相角 稱為第 分波的相移。 （17） 入射波展開后，散射波函數(shù)的邊界條件變?yōu)?2.4 散射截面 薛定諤方程的漸近解（16）式一定滿足波函數(shù)的邊界條件（18）式，即 （18） （19） 由此可解出散射振幅微分散射截面的表達式為由此可以看出：求散射振幅 的問題歸結為求相移 ，而 的獲得需要根據(jù) 的具體情況解徑向方程求 ，然后取其漸