共線向量基本定理的引申及其應(yīng)用

1、PAGE PAGE - 6 -共線向量基本定理的引申及其應(yīng)用一問題提出共線向量基本定理的內(nèi)容是：平面內(nèi)兩個向量和，若存在唯一實數(shù)，使得則和共線。利用這一定理可以證明三點A,B,C共線，即存在唯一實數(shù)，使得且與同過始點A,，則A,B,C三點共直線。ACBO在此基礎(chǔ)上，我們提出下面兩個問題：問題1：已知A,B,C共直線l,O為直線外一點，且。求證：證明：A,B,C三點共線l,且則問題2：已知A,B,C共直線l,O為直線l外一點，且有（和為實數(shù)）。求證：+=1證明：A,B,C三點共線l ，則則令=1-則則+=1通過以上兩個互逆命題的得證，我們完全可以得出以下定理：定理：在平面內(nèi)，A,B,C共線的充要

2、條件是：(O為平面上任意一點)，其中+=1。特殊地，當(dāng)B為AC中點時，利用以上定理，能比較方便的解決很多有關(guān)向量的計算、證明問題。二.定理在解題中的應(yīng)用BAEDC例1.（2013 江蘇）設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點， 若則1+2= .高考解析是這樣解的：由題意作如下圖形：解法一：在ABC中故還可以這樣來求解：解法二：A為直線BC外一點，故設(shè)由已知故從解法二可以看出，還可以將條件推廣為點E為直線BC上任意一點，所求結(jié)果仍然不變。證明如下：證明：點E為直線BC上任意一點，故設(shè)又，且,EODBAC例2：如圖，已知OAB中,點C是以A為中心的點B的對稱點，D是將分成2:1的一個分點，DC和

3、OA交于點E,設(shè)（1）用和表示向量（2）若求實數(shù)的值。解：（1）由已知點A為BC的中點，則故（2）D,E,C三點共線，故設(shè)，由（1）則解得=MBADCOFE例3（2007長沙，2010 山東滕州）如圖，在OAB中, ,AD與BC交于點M，設(shè)(1)用表示(2)已知在線段AC上取一點E，在線段BDA上取一點F,使EF過M點，設(shè).求證：解：（1）由A,M,D三點共線，可設(shè),又,，同理，由C,M,B三點共線， （2）由E,M,F三點共線，設(shè),由已知 則PAOGBCQ由（1） 例4：如圖，ABC中，G為它的重心，PQ的中心為G點，則 。解：Q,G,P三點共線，故設(shè)由已知，,又由三角形重心的性質(zhì):故例5（

4、江西五校:師大附中、臨川一中、鷹潭一中、宜春中學(xué)、新余四中聯(lián)考）已知平面向量滿足，且與的夾角為1200，則的最小值是_這道題若象下面的解法化為函數(shù)來解，則很麻煩：解法一：由已知，且與的夾角為1200，=令則上式=x2-2x+4=(x-1)2+3的最小值為3，故的最小值為.如果利用向量減法的幾何意義，畫出如下圖形ACOC1B解法二：把與的始點移到同一點O,則,由已知DAB= 1200，則OAB= 600,注意到所求向量與的系數(shù)和為1，故對應(yīng)的向量始點為O，終點C必在直線AB上移動，由向量膜的幾何意義，當(dāng)點C落在點C1時的膜最小即線段OC1的長。在RtOAC1中，,OAB= 600,OC1=.故的

5、最小值為.例6 （2014 天津）已知菱形ABCD的邊長為2，BAD=1200,點E,F分別在邊BC、DC上，BE=BC,DF=DC, （ ）A B C D 試題分析：此類向量的問題，若從定義角度或幾何的角度出發(fā)，對考生的思維層次要求較高，此時可以借助建立直角坐標(biāo)系的方法，降低問題的難度，通過建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將向量的數(shù)量積坐標(biāo)化即可。解法一：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，故A（0,1），B，C（0，-1），D,故 OEBAxFCDy故,同理故故依題意，解得，故，故選C.BADFCE但是，如果沒有想到坐標(biāo)法，就可以用以下方法解答。解法二：由即B,E,C三點共線，可設(shè)同理，可設(shè) 又代入上式化簡可得：又由又則聯(lián)立可得：.由此看來，在我們平時的教學(xué)、學(xué)習(xí)過程中，