數(shù)學(xué)開放題及其策略

1、數(shù)學(xué)開放題及其編制策略隨著我國素質(zhì)教育的全面推進(jìn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用開放題已經(jīng)成為一種趨勢。認(rèn)識理解數(shù)學(xué)開放題的含義、特征，掌握編制數(shù)學(xué)開放題的原則和方法，有利于我們充分利用其新穎性、多樣性、發(fā)散性等諸多優(yōu)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立、自主學(xué)習(xí)的能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教改過程中，進(jìn)一步研究開放題及其編制策略，對學(xué)生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新思維與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)有一定的現(xiàn)實(shí)意義。1.數(shù)學(xué)開放題的含義及其發(fā)展1.1數(shù)學(xué)開放題的含義 長期以來，數(shù)學(xué)教學(xué)中使用的傳統(tǒng)問題有一個共同特征：條件完備、結(jié)論唯一，這類問題常被稱為“封閉性問題”,與之相對，那些有很多種正確答案的問題常被稱為“開放性問題

2、”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，也出現(xiàn)過各種各樣的開放題，但對于到底什么數(shù)學(xué)開放題，數(shù)學(xué)界尚未形成公認(rèn)的界定。以下是一些學(xué)者的幾種觀點(diǎn)： 條件不完備或答案不確定； 條件可以多余，答案不必唯一，問題不必有解； 條件多余需選擇，條件不足需補(bǔ)充，答案不清待確定； 有多種正確答案，解答方法也有多種； 有多種不同的解法或者有多種可能的答案； 答案不唯一； 數(shù)學(xué)開放題大多屬于問題性題，也有的可能屬于探索性題。 由以上論述可以看出，各種觀點(diǎn)對“開放題”一詞的理解不盡相同，但我認(rèn)為第6種定義最簡捷，最廣泛。那么，似乎可以說：答案不唯一的數(shù)學(xué)題是數(shù)學(xué)開放題。然而，實(shí)際上有的探索題答案雖然唯一，卻很具有開放性，不能把這類題

3、排除在外；再如，在數(shù)學(xué)開放題及其教學(xué)學(xué)術(shù)研討會（1998，上海）上也有人對此提出質(zhì)疑：“一元二次方程的解也不唯一，那么解一元二次方程這類習(xí)題也能算開放題么？”由此，一道題的開放性和封閉性，取決于這道題是否激發(fā)了解題主體的思維，也就是說在解題過程中，學(xué)生是否進(jìn)行了多角度，多層次的探索，是否發(fā)散了思維。因而，我認(rèn)為數(shù)學(xué)開放題的基本特征在于思維的開放和發(fā)散，可以給出以下的描述性的界定：數(shù)學(xué)開放題是指那些解決方案不唯一，并且在解決過程中要求學(xué)生綜合多方面的知識素養(yǎng)、運(yùn)用多角度的思維方式，去思考和探索的數(shù)學(xué)問題。 另外，通過比較封閉題和開放題，還可以得到這樣一個結(jié)論：一道數(shù)學(xué)題的開放性在很大程度上取決于

4、這道題的設(shè)問方式。也就是說，即使是一道傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)題，也可以通過改變設(shè)問方式而將其改編為具有開放性的習(xí)題。像這樣將傳統(tǒng)的封閉性數(shù)學(xué)題改編成開放性問題，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，而且還是開發(fā)和利用以教材為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)課程資源的一種比較經(jīng)濟(jì)、切實(shí)可行的途徑。1.2數(shù)學(xué)開放題的發(fā)展 數(shù)學(xué)開放性問題的出現(xiàn)始自70年代，由日本學(xué)者首先提出，很快得到了東西方各國數(shù)學(xué)教育界的支持和贊同。1993年，我國初步將開放性問題融入數(shù)學(xué)課堂，取得了較好的教學(xué)效果。1998年，我國將“開放題數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式”立項(xiàng)為全國教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題。2000年3月，教育部發(fā)布關(guān)于2000年初中畢業(yè)、升學(xué)考試改革

5、的指導(dǎo)意見，明確指出“數(shù)學(xué)考試應(yīng)設(shè)計一定的開放題”，教育部制定頒布的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）、普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）（2003年4月），以及作為新課改時期過渡性的高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（修訂稿）、初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（修訂稿）和義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）中都出現(xiàn)了許多關(guān)于開放題的內(nèi)容，這都標(biāo)志著開放性問題越來越受到我國教育界的重視。2.數(shù)學(xué)開放題的特征 為了更好的編制開放題，需要先了解一下它常見的幾種特征。2.1問題的條件常常是不完備的 一個開放題的條件可以不足，也可以多余。這是數(shù)學(xué)開放題的特征之一。條件不足時可以要求學(xué)生予以補(bǔ)足，條件多余時可以要求學(xué)生進(jìn)行選擇。例

6、1：如圖1所示，簡單零件的形狀可以由它的主視圖，俯視圖和左視圖決定，現(xiàn)將條件“左視圖”去掉，得開放題： 主視圖 左視圖 俯視圖 圖1 一個簡單零件圖（表面均為平面）的主視圖及俯視圖如圖2所示，試補(bǔ)上它的左試圖。 主視圖 俯視圖圖2 在本題中，給出的條件（主視圖及俯視圖）不足以確定零件的形狀，學(xué)生需要補(bǔ)足一些條件才能畫出它的左視圖。正是由于條件的不足，使本題的結(jié)論具有很大的開放性。本題的答案是多種多樣的，如圖3中的三個都是，當(dāng)然還有其它的結(jié)果。 圖3例2：如圖4：試計算三角形的面積。這是一道條件多余的題目，三角形的面積可由邊BC和其上的高AD求出，而AB的長度是多余的。這樣的題目可以讓學(xué)生理解三

7、角形面積公式中h指的是a邊上對應(yīng)的高。圖42.2問題的答案是不確定的，具有層次性 開放題解答的不確定性和多樣性，決定了它能夠滿足各種層次水平的學(xué)生的需要，使他們可以在自己的能力范圍之內(nèi)解決問題 ，從而開放題的第二個特征體現(xiàn)在層次性上。例3：在12小時內(nèi)，鐘面上的時針和分針在哪里成60的角？ 本題有幾種不同的解答思路： 依直覺作答，可得到2時和10時這兩個答案；對其他答案作近似估計，如圖5的1時15分多一些的某一時刻；圖5先研究一個比較簡單的問題：在12小時之內(nèi)，鐘面上的時針和分針在哪些時間恰好重合（或成一直線，成90的角）？再研究特殊的60的角；列方程解答。 這道題不同的解答方法和答案就是體現(xiàn)

8、在不同學(xué)生數(shù)學(xué)思維層次水平上，可以直接作答，也可以用間接的方法解答。這個題如果以直覺作答，表明學(xué)生的思維水平略低，通常這類學(xué)生做不了太抽象的題目，平時需要給這類學(xué)生布置一些簡單直觀的題目。列方程解答，表明學(xué)生的另一種思維水平，通常他們勤于思考、思維發(fā)散，可以嘗試有一定難度的開放題?？傊_放性問題答案的不確定性，可以使得不同層次的學(xué)生選擇適合自己水平的解答方式。 2.3問題的解決策略具有非常規(guī)性，發(fā)散性和創(chuàng)新性 解答開放題時，往往沒有一般的解題模式可以遵循，有時需要打破原有的思維模式，從多個角度思考問題，有時發(fā)現(xiàn)一個新的解答需要一種新的方法或開拓一個新的研究領(lǐng)域。這可以看成是開放題的第三個特征。

9、例4：試比較圖6中兩個幾何圖形的異同： 在解答本題時并沒有常規(guī)的解題模式可以遵循，思維呈發(fā)散性，如能找到一個新視點(diǎn)，就可以發(fā)現(xiàn)新的解答。如考慮內(nèi)角和就可以發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和圖6為180，而五邊形內(nèi)角和為540這一新的不同點(diǎn)。例5：在平面上有4個點(diǎn)，每兩點(diǎn)的連線可連成6條線段，這些線段恰好有兩種不同的長度，如圖7所示的正方形4個頂點(diǎn)就滿足上述要求，問：除了正方形的4個頂點(diǎn)之外你還能找出平面上其他只具有兩種距離的四個點(diǎn)么？圖7 該題的全部解答需要一個較長的過程，學(xué)生要結(jié)合自身已有的知識，利用發(fā)散和創(chuàng)新性思維，不僅可以從幾何的角度探索，也可以從代數(shù)的領(lǐng)域嘗試，運(yùn)用不同方法解答該題。如從正方形的四邊相等

10、出發(fā)，我們可以聯(lián)想到正三角形的三個頂點(diǎn)及其重心，菱形的四個頂點(diǎn)也滿足上述要求，如圖8所示。 圖8 2.4問題的研究具有探索性和發(fā)展性 開放題與封閉題的研究有很大的不同，這主要體現(xiàn)在對答案的探索性（盡管解封閉題時也需要一定的探索，但其探索性大大低于開放題）和問題本身可層層發(fā)展成為一系列的問題。這就是數(shù)學(xué)開放題的第四個特征。例如：對于上例而言，就可以發(fā)展成一系列的問題： 試研究平面上具有三種距離的五個點(diǎn) 試研究空間中具有兩種距離的四個點(diǎn) 試研究空間中具有兩種距離的五個點(diǎn) 這樣的改編，使得原有題目從兩種距離發(fā)展到三種距離，從四個點(diǎn)發(fā)展到五個點(diǎn)，從平面發(fā)展到空間，不僅充分利用每一道題，而且開闊了學(xué)生的

11、思維空間。2.5問題的教學(xué)具有參與性和學(xué)生主體性由于開放題沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)答案，這就使教師在課堂教學(xué)中難以使用傳統(tǒng)的教學(xué)方法，教師可以運(yùn)用啟發(fā)、點(diǎn)撥、置疑等多種方式替代以往的灌輸，激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動機(jī)，參與到課堂教學(xué)活動中來，發(fā)揮主體性，加強(qiáng)師生互動，教學(xué)相長，建立新型的師生關(guān)系。這是數(shù)學(xué)開放題的又一重要特征。同樣對于例5，如果教師采用灌輸?shù)姆椒▽追N答案一一講解給學(xué)生，必然會引起學(xué)生的反感，一些學(xué)生也許還會發(fā)現(xiàn)教師不知道的答案，他們希望與教師和同學(xué)分享，并不是被壓抑著被動聽講，這時教師就可以發(fā)揮學(xué)生的主動性，讓他們參與到課堂教學(xué)中。當(dāng)然，隨著開放題研究的深入，還有其他闡述特征的方式，這里

12、只是列出最基本的。3.數(shù)學(xué)開放題的類型及其編制策略 鑒于開放題的復(fù)雜性，這里根據(jù)分類來研究編制策略。目前數(shù)學(xué)開放題的常見類型可歸納成下表，其中前兩種分類方法（按命題要素分類和按答案結(jié)構(gòu)分類）比較嚴(yán)格，而后兩種分類方法（按解題目標(biāo)分類和按編制方法分類）則表1主要取其實(shí)用性。按命題要素分類按答案結(jié)構(gòu)分類按解題目標(biāo)分類按編制方法分類條件開放題策略開放題結(jié)論開放題綜合開放題有限窮舉型有限混沌型無限離散型無限連續(xù)性找規(guī)律或關(guān)系量化設(shè)計分類與整理舉例數(shù)學(xué)建模提問題情景題評價一題多解條件不足的問題逆的問題計數(shù)問題的弱化變化與推廣 這里我以第一種分類方法（按命題要素分類）為例，結(jié)合數(shù)學(xué)開放題的特征，具體討論不

13、同類型開放題的編制策略：3.1條件開放題的編制策略 如果一個數(shù)學(xué)開放題的未知要素是假設(shè)、已知部分，則為條件開放題。對于這種類型，我們可以采用弱因法、索因法等方法進(jìn)行編制。 弱因法是在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)題中，減少某些已知條件或用較隱蔽的條件替換原來的條件，再適當(dāng)修改部分題目的要求，從而獲得數(shù)學(xué)開放題的編制方法。例6：如圖9在ABC中，M是AB的中點(diǎn)，CM=AB，求證：ACB=90圖9若將條件“CM=AB”去掉，用弱因法將它換成“CM與AB的大小不定”就可得到條件開放題：在ABC中，M是AB的中點(diǎn)，試根據(jù)CM與AB的大小關(guān)系討論ABC的形狀。 這樣做不僅發(fā)散了學(xué)生的思維，更重要的是通過一道題的解答，讓學(xué)生

14、了解了銳角、直角、鈍角三角形一邊與其上中線的關(guān)系，而且掌握了直角三角形的另一種判定定理，起到了事半功倍的效果。3.2策略開放題的編制策略 如果一個數(shù)學(xué)開放題的未知要素是推理、探求部分，則為策略開放題。對于這種類型，我們可以采用建模法等方法進(jìn)行編制。 建模法是給出問題的實(shí)際情境，建立數(shù)學(xué)模型，尋求多種解法與結(jié)論的方法。實(shí)際情境可以是數(shù)學(xué)本身，也可以是生產(chǎn)的、經(jīng)濟(jì)的、生活的等不同的情境。例10：某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種貸款方案：第一種，一次性貸款10萬元，第一年獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤。第二種，每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年增加利潤5000元。兩種方案都是10年

15、，到期一次性還清貸款并付息，試比較兩種方案的優(yōu)劣。例11：制作書架時需要一塊長100cm，寬20cm的木板，現(xiàn)在只有一塊長80cm，寬30cm的木板，問怎么樣將木板鋸開，可以拼接成所需尺寸的木板。 建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生知識的增加不等于智力的發(fā)展，學(xué)生如果不能在現(xiàn)實(shí)活動中進(jìn)行運(yùn)用，就不可能獲得對知識的深刻理解，也就是說那樣的知識只是外在的，并沒有轉(zhuǎn)化為學(xué)生的智力發(fā)展。而數(shù)學(xué)開放題往往與實(shí)際生活相聯(lián)系，讓學(xué)生在實(shí)際生活中去應(yīng)用、驗(yàn)證和發(fā)展所學(xué)的知識，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，這樣就加深了學(xué)生對相關(guān)知識的認(rèn)識、理解和記憶。比如：可應(yīng)用建模法將商場打折促銷、彩票中獎概率、銀行貸款利息等生活常見的事例編制成數(shù)學(xué)

16、開放題，這樣的題目既具有建構(gòu)性，又具有現(xiàn)實(shí)性，因此有利于學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的態(tài)度去對待周圍的事物，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)；有利于讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識來源于生活，又服務(wù)于生活，讓學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題的習(xí)慣，并真正認(rèn)識到數(shù)學(xué)在社會生產(chǎn)、生活中的價值，從而促使學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的動力。3.3結(jié)論開放題的編制策略 如果一個數(shù)學(xué)開放題的未知要素是判斷，結(jié)果部分，則為結(jié)論開放題。對于這種類型，我們可以采用隱果法、比較法等方法進(jìn)行編制。 隱果法是指隱去傳統(tǒng)數(shù)學(xué)題的結(jié)論，使其結(jié)論多樣化或不確定。隱果法也是編制開放題的主要方法之一。例12：數(shù)列：1，2，4，8，16，32如果把四至六項(xiàng)隱去，就有一道結(jié)論開放題：1，2，

17、4，（ ），（ ），（ ） 這樣一道開放題，根據(jù)思路不同，就會有很多種答案：答案：如果把它看作等比數(shù)列，要添的三項(xiàng)當(dāng)然是8，16，32；答案：如果把數(shù)列理解為從第三項(xiàng)起，前兩數(shù)的積加上2等于第三個，則三個空格分別的是10，42，422；答案：如果把數(shù)列理解為從第三項(xiàng)起，前兩數(shù)的和加上1等于第三個數(shù)，這樣三個空格填的就是7，12，20。 除此之外，這道題還有其他的想法。 上面這樣的題目，體現(xiàn)了事物的結(jié)果并不總是唯一的道理。有利于培養(yǎng)學(xué)生從不同角度分析、解決問題的能力。正因?yàn)閿?shù)學(xué)開放題具有多種不同的解法或有多種可能的解答，這就要求編制的數(shù)學(xué)開放題知識點(diǎn)要多，綜合性要強(qiáng)，這樣有利于激發(fā)學(xué)生發(fā)揚(yáng)主體精

18、神，主動參與，自行探索。在開放題教學(xué)中，教師的作用是“主導(dǎo)”，而不是“主宰”，其主要職責(zé)是為學(xué)生的主動建構(gòu)創(chuàng)造良好的條件和寬松的文化氛圍。在這樣的條件和氛圍之下，學(xué)生為了得到更多的答案，就會從不同角度研究問題，發(fā)散思維，還會與其它同學(xué)合作學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步。 比較法是指比較一些數(shù)學(xué)對象的異同點(diǎn)，如幾何圖形、數(shù)字、算式、解答方法等，或從不同的角度對它們進(jìn)行分類，這樣往往能獲得開放題。表2當(dāng)然除了以上理由外，還有其它的理由，這些答案無所謂對錯，沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，只要言之有理，都是正確的。這樣的題目使不同層次的學(xué)生都能有所收獲，對于學(xué)困生而言，各種類型的數(shù)學(xué)開放題，以其起點(diǎn)低、有趣、開放而對學(xué)困生產(chǎn)生吸引

19、力，使他們樂于參與。我們要鼓勵學(xué)生自己探索新角度，大膽創(chuàng)新，體現(xiàn)每個人的獨(dú)特性。對于不同的學(xué)生而言，他們已有的知識儲備和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)不同，學(xué)習(xí)是一個主動“建構(gòu)”的過程，因而要充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，而開放題在發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主觀能動性方面具有極大的優(yōu)勢。盡管如此，還必須通過教師這一“中介”來實(shí)現(xiàn)，對學(xué)生解題活動的關(guān)注不應(yīng)只停留于其外在表現(xiàn)，而應(yīng)深入到他們內(nèi)在心理活動之中，我們不應(yīng)把開放題教學(xué)看成一種結(jié)果教學(xué)，而應(yīng)該加強(qiáng)師生對話和溝通、學(xué)生之間的合作和交流。3.4綜合開放題的編制策略如果一個數(shù)學(xué)開放題只給出一定的情景，其條件、解題策略和結(jié)論都是未知要素，要求解題主題在情景中自行設(shè)定和尋找，這類題目

20、則稱為綜合開放題。例13：試測量學(xué)校旗桿的高度。如上例，綜合開放題具有一定的情景性。學(xué)習(xí)者理解、建構(gòu)知識受到特定學(xué)習(xí)環(huán)境的影響，知識在不同情況下不是簡單的套用，而應(yīng)針對情景的特殊性對知識進(jìn)行再創(chuàng)造。學(xué)習(xí)知識不應(yīng)滿足于教條式的掌握，而需要把握它在不同的具體環(huán)境中的復(fù)雜變化。因而，有建構(gòu)主義者提出，知識是生存在具體的、情境性的、可感知的活力之中的。它不是一套獨(dú)立于情景的知識符號（如名詞術(shù)語等），不可能脫離活動情境而抽象的存在。它只有通過實(shí)際情境中的應(yīng)用活動才能真正被人所理解。學(xué)習(xí)應(yīng)該與情境化的社會實(shí)踐活動結(jié)合起來（Browm,Collins&Duguid,1989）。例14：試計算校游泳池內(nèi)水的體

21、積。對于這樣一道題目，學(xué)生自然會列出許多求幾何體體積的公式，然而面對這道結(jié)合實(shí)際的綜合開放題，在一系列數(shù)據(jù)都未知的情況下，如果想要套公式，就有些困難。那么學(xué)生首先想到的就是要到實(shí)地進(jìn)行數(shù)據(jù)測量，但是游泳池的形狀不一定是規(guī)則的立方體，兩邊的水深也不一致，這時學(xué)生就會開始思考，該如何計算其內(nèi)水的體積。這樣的題目具有聯(lián)通性和發(fā)展性，利于擴(kuò)大學(xué)生思維的空間，增加學(xué)生思維的容量。學(xué)生在解決開放性問題時，需要運(yùn)用觀察、想象、分析、綜合、類比、演繹、歸納、概括等思維方法，同時探索多個解決方向，創(chuàng)造性地運(yùn)用新觀念和新方法，獲得多種結(jié)論，并加以整理和論證。開放題之間往往存在著一定的規(guī)律和內(nèi)在的聯(lián)系，因此解決開放

22、題時，需運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，要具備創(chuàng)造思維能力與較好的認(rèn)識能力，這樣才能達(dá)到既定的目標(biāo)。這類問題能極大誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識和智慧潛力，伴隨著問題的解決，學(xué)生的思路會更加開闊，信息流量更加豐富，知識結(jié)構(gòu)更加完善，適應(yīng)社會的能力不斷提高。 另外有一些數(shù)學(xué)開放題依靠一個人的力量在有限時間內(nèi)是無法完成的，像上面的例17。解決這樣的問題就可以采用小組的方式，組員之間互相協(xié)作，互相交流，在解題過程中充分發(fā)揮團(tuán)隊精神，在知識方面互相補(bǔ)充，在方法上互相借鑒，取長補(bǔ)短，合作學(xué)習(xí)。教師作為教學(xué)的組織者，應(yīng)該對學(xué)習(xí)組織方式（主要包括個人學(xué)習(xí)、小組學(xué)習(xí)、小組合作、集體討論等）和教學(xué)方法進(jìn)行合理的選擇、分配和組合，以便更好的進(jìn)行開放題的教學(xué)。建構(gòu)主義十分重視這種合作學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí)，由于人們是以自己的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)來建構(gòu)和理解某一現(xiàn)象的，每個人的經(jīng)驗(yàn)不同，因此對知識的理解必然存在差異，不同的人看到事物的不同方面。但通過交流協(xié)商，可以使人們看到那些不同于自己的觀點(diǎn)