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1、第54練數(shù)列小題綜合練1(2022齊齊哈爾模擬)已知等比數(shù)列an中,4a1,eq f(1,2)a3,3a2成等差數(shù)列,則eq f(a2 021a2 023,a2 020a2 022)等于()A4或1 B4C1 D4答案B解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因為4a1,eq f(1,2)a3,3a2成等差數(shù)列,所以4a13a2a3,所以4a13a1qa1q2,且a10,所以q23q40,解得q4或q1,為保證eq f(a2 021a2 023,a2 020a2 022)有意義,則q21,所以q4,所以eq f(a2 021a2 023,a2 020a2 022)eq f(qa2 020a2 022,a
2、2 020a2 022)q4.2在數(shù)列an中,a12,anan1an1,則a2 023的值為()A2 B.eq f(1,3)C.eq f(1,2) D.eq f(3,2)答案A解析在數(shù)列an中,a12,anan1an1,所以an11eq f(1,an),當(dāng)n1時,解得a21eq f(1,2)eq f(3,2),當(dāng)n2時,解得a31eq f(2,3)eq f(1,3),當(dāng)n3時,解得a4132,當(dāng)n4時,解得a5eq f(3,2),故數(shù)列an的周期為3,所以a2 023a36741a12.3若數(shù)列an滿足a13,an3an13n(n2),則數(shù)列an的通項公式an等于()A23n B.eq f(3
3、n,n)Cn3n D.eq f(n,3n)答案C解析由an3an13n(n2),得n2時,a23a13218,對于A,a12363,故A錯;對于B,a1eq f(3,1)3,a2eq f(32,2)eq f(9,2)18,故B錯;對于C,a1133,a223218;對于D,a1eq f(1,3)3,故D錯4(2022太原模擬)已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,其前n項和為Sn,且Sn是等差數(shù)列,則下列結(jié)論錯誤的是()AanSn是等差數(shù)列BanSn是等比數(shù)列Caeq oal(2,n)是等差數(shù)列D.eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)是等比數(shù)列答案B解析由Sn是等差數(shù)列,得2S2S
4、1S3,即2(a1a2)a1a1a2a3,a2a3,設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則qeq f(a3,a2)1,ana10.對于A選項,anSn(n1)a1,數(shù)列anSn是等差數(shù)列,A正確;對于C選項,aeq oal(2,n)aeq oal(2,1),aeq oal(2,n)是常數(shù)列,且為等差數(shù)列,C正確;對于D選項,eq f(Sn,n)a10,eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)是等比數(shù)列,D正確;對于B選項,anSnnaeq oal(2,1),則eq f(an1Sn1,anSn)eq f(n1,n)不是常數(shù),anSn不是等比數(shù)列,B不正確5(202
5、2安慶模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,若Snnan,且S2S4S6S603 720,則a1等于()A8 B6C4 D2答案C解析Snnan,Snn(SnSn1),n2,nSn1(n1)Sn,n2,變形得eq f(Sn1,n1)eq f(Sn,n),n2,數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)是每項均為S1的常數(shù)列,eq f(Sn,n)S1,即SnnS1na1,又S2S4S6S603 720,2a14a16a160a1(24660)a1eq f(3062,2)a13 720,解得a14.6(2022銀川模擬)已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)首尾相接蛇形排列形成如圖三角形數(shù)表,第i行第
6、j列的數(shù)記為ai,j,如a3,17,a4,315,則ai,j2 021時,log2(i19)等于()1537911191715132123252729A54 B18 C9 D6答案A解析奇數(shù)構(gòu)成的數(shù)陣,令2n12 021,解得n1 011,故2 021是數(shù)陣中的第1 011個數(shù),第1行到第i行一共有123ieq f(ii1,2)個奇數(shù),則第1行到第44行末一共有eq f(44441,2)990個奇數(shù),第1行到第45行末一共有1 035個奇數(shù),所以2 021位于第45行,又第45行是從左到右依次遞增,且共有45個奇數(shù),所以2 021位于第45行,從左到右第21列,所以i45,j21,則log2(
7、i19)log2(4519)(3)2log2649654.7(2022泰安模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,公差為eq f(1,3),an0,eq f(1,a1a2)eq f(1,a2a3)eq f(1,a9a10)eq f(1,2),當(dāng)eq f(Sn10,n)取最小值時,n的值為()A7 B8 C9 D10答案B解析eq f(1,a1a2)eq f(1,a2a3)eq f(1,a9a10)3eq blcrc (avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,a1)f(1,a2)eq blc rc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,a2)f(
8、1,a3)blc(rc)(avs4alco1(f(1,a9)f(1,a10)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a1)f(1,a13)eq f(1,2),整理得aeq oal(2,1)3a1180,解得a13或a16(舍去),即Sn3neq f(nn1,2)eq f(1,3)eq f(n217n,6),則eq f(Sn10,n)eq f(n217n60,6n)eq f(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(nf(60,n)17).當(dāng)n7時,數(shù)列單調(diào)遞減,當(dāng)n8時,數(shù)列單調(diào)遞增,當(dāng)n7時,eq f(Sn10,n)eq f(38,7),當(dāng)n8時,eq f(Sn10,n)
9、eq f(65,12),故當(dāng)n8時,eq f(Sn10,n)取最小值8(多選)已知等比數(shù)列an的公比qeq f(2,3),等差數(shù)列bn的首項b112,若a9b9且a10b10,則以下結(jié)論正確的有()Aa9a10a10Cb100 Db9b10答案AD解析數(shù)列an是首項為a1,公比q為eq f(2,3)的等比數(shù)列,bn是首項為12,公差設(shè)為d的等差數(shù)列,則a9a1eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)8,a10a1eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)9,a9a10aeq oal(2,1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)17b9且a10b10,
10、b9和b10中至少有一個數(shù)是負(fù)數(shù),又b112,db10,故D正確b10一定是負(fù)數(shù),即b10SnBan1是等比數(shù)列C.eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,2n)是單調(diào)遞增數(shù)列DSnSn,A選項正確;對于B選項,將Sn12Snn,Sn2Sn1n1(n2),兩式相減得an12an1,即an112(an1)(n2),又令n1,得S22S113a12a11a12,a212(a11),所以an1從第二項開始成等比數(shù)列,公比為2,故n2時,an12n2(a21)2n,即an2n1,所以aneq blcrc (avs4alco1(2,n1,,2n1,n2,)故B選項錯誤;對于C選項,因為aneq
11、blcrc (avs4alco1(2,n1,,2n1,n2,)當(dāng)n1時,S12,當(dāng)n2時,Sn2(22232n)(n1)eq f(212n,12)(n1)2n1n1.所以Sneq blcrc (avs4alco1(2,n1,,2n1n1,n2,)令cneq f(Sn,2n)eq blcrc (avs4alco1(1,n1,,2f(n1,2n),n2,)則n2時,cn1cneq blc(rc)(avs4alco1(2f(n2,2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(n1,2n)eq f(n1,2n)eq f(n2,2n1)eq f(n,2n1)0,即cn1cn,而c2eq f(5
12、,4)c1,所以數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,2n)單調(diào)遞增,C選項正確;對于D選項,當(dāng)n2時,Sn2an2n1n1(2n12)1n1,S12a1顯然成立,故Sn2an恒成立,D選項正確10(多選)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,其中從第三項起,每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和,后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列an稱為“斐波那契數(shù)列”,記Sn為數(shù)列an的前n項和,則下列結(jié)論正確的是()Aa68BS954Ca1a3a5a2 023a2 024D.eq f(aoal(2,1)aoal(2,2)aoal(2,2 023),a2 02
13、3)a2 024答案ACD解析對于A,寫出數(shù)列的前6項為1,1,2,3,5,8,故A正確;對于B,S911235813213488,故B錯誤;對于C,由a1a2,a3a4a2,a5a6a4,a7a8a6,a2 023a2 024a2 022,可得a1a3a5a7a2 023a2a4a2a6a4a8a6a2 024a2 022a2 024,故C正確;對于D,斐波那契數(shù)列總有an2an1an,則aeq oal(2,1)a2a1,aeq oal(2,2)a2(a3a1)a2a3a2a1,aeq oal(2,3)a3(a4a2)a3a4a2a3,aeq oal(2,2 022)a2 022(a2 02
14、3a2 021)a2 022a2 023a2 021a2 022,aeq oal(2,2 023)a2 023a2 024a2 023a2 022,可得eq f(aoal(2,1)aoal(2,2)aoal(2,2 023),a2 023)eq f(a2 023a2 024,a2 023)a2 024,故D正確11已知等比數(shù)列an滿足log2(a1a2a3a4a5)5,等差數(shù)列bn滿足b3a3,則b1b2b3b4b5_.答案10解析因為等比數(shù)列an中,log2(a1a2a3a4a5)log2(a3)55,所以a32,因為b3a32,則由等差數(shù)列的性質(zhì)得b1b2b3b4b55b310.12已知數(shù)
15、列an的前n項和滿足Sn2n2n3,nN*,則數(shù)列an的通項公式an_.答案eq blcrc (avs4alco1(6,n1,,4n1,n2,nN*)解析Sn2n2n3(nN*),當(dāng)n1時,a1S1212136;當(dāng)n2時,anSnSn12n2n32(n1)2(n1)34n1.經(jīng)檢驗,當(dāng)n1時,不符合上式,aneq blcrc (avs4alco1(6,n1,,4n1,n2,nN*.)13(2022貴陽模擬)已知等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為Sn和Tn,且有a3a93,b5b76,則eq f(S11,T11)的值為_答案eq f(1,2)解析因為an,bn為等差數(shù)列,則有a3a92a63,b
16、5b72b66.S1111a6,T1111b6,所以eq f(S11,T11)eq f(11a6,11b6)eq f(a6,b6)eq f(1,2).14若數(shù)列an的前n項和為Sn,bneq f(Sn,n),則稱數(shù)列bn是數(shù)列an的“均值數(shù)列”已知數(shù)列bn是數(shù)列an的“均值數(shù)列”且通項公式為bnn,設(shè)數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,anan1)的前n項和為Tn,若Tneq f(1,2)m2m1對一切nN*恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為_答案(,13,)解析由題意,數(shù)列an的前n項和為Sn,由“均值數(shù)列”的定義可得eq f(Sn,n)n,所以Snn2,當(dāng)n1時,a1S11;當(dāng)n2時,anSnSn1n2(n1)22n1,a11也滿足an2n1,所以an2n1,所以eq f(1,anan1)eq f(1,2n12n1)eq f(1,2)eq bl
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