高二數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)突破：專題01 通過空間向量解決立體幾何中的角度問題（高考真題專練）（解析版）

1、 34/34專題01 通過空間向量解決立體幾何中的角度問題（高考真題專練）題型一 直線與平面所成的角1（2020海南）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面設(shè)平面與平面的交線為（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值【解答】（1）證明：過在平面內(nèi)作直線，由，可得，即為平面和平面的交線，平面，平面，又，平面，平面；（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，所在的直線為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，為上的點(diǎn)，則，0，0，1，0，1，作，則為平面與平面的交線為，因?yàn)?，是等腰直角三角形，所以?，則，0，1，1，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，0，與平面所成角的正弦值為2（2020山東）如圖，四

2、棱錐的底面為正方形，底面設(shè)平面與平面的交線為（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值【解答】解：（1）證明：過在平面內(nèi)作直線，由，可得，即為平面和平面的交線，平面，平面，又，平面，平面；（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，所在的直線為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，0，1，0，1，設(shè)，0，0，1，1，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，0，與平面所成角的正弦值為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，與平面所成角的正弦值的最大值為3（2020天津）如圖，在三棱柱中，平面，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，為棱的中點(diǎn)（）求證：；（）求二面角的正弦值；（）求直線與平面所成角的正弦值【解答】解：以為原點(diǎn)，的

3、方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，0，0，2，0，0，2，0，0，1，（）證明：依題意，1，；（）依題意，0，是平面的一個(gè)法向量，2，0，設(shè)，為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，則，二面角的正弦值；（）依題意，2，由（）知，為平面的一個(gè)法向量，直線與平面所成角的正弦值為4（2021浙江）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，分別為，的中點(diǎn)，（）證明：；（）求直線與平面所成角的正弦值【解答】（）證明：在平行四邊形中，由已知可得，由余弦定理可得，則，即，又，平面，而平面，；（）解：由（）知，平面，又平面，平面平面，且平面平面，且平面，平面，連接，則，在中，可得，又，在中，求得，取

4、中點(diǎn)，連接，則，可得、兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，2，0，又為的中點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則故直線與平面所成角的正弦值為5（2018浙江）如圖，已知多面體，均垂直于平面，（）證明：平面；（）求直線與平面所成的角的正弦值【解答】證明：平面，平面，又，同理可得：，又，平面解：取中點(diǎn)，過作平面的垂線，交于，以為原點(diǎn)，以，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，0，0，0，設(shè)平面的法向量為，則，令可得，1，設(shè)直線與平面所成的角為，則直線與平面所成的角的正弦值為題型二 二面角的平面角及求法6（2021新高考）在四棱錐中，底面是正方形，若

5、，（）求證：平面平面；（）求二面角的平面角的余弦值【解答】（）證明：中，所以，所以；又，平面，平面，所以平面；又平面，所以平面平面（）解：取的中點(diǎn)，在平面內(nèi)作，以為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，0，1，0，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，0，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，2，得，即，令，得，所以，2，；所以，所以二面角的平面角的余弦值為7（2020新課標(biāo)）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值【解答】解：（1）不妨設(shè)圓的半徑為1，在中，故，同理可得，又，故平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

6、有，1，故，設(shè)平面的法向量為，則由，得，取，則，所以平面的法向量為，由（1）可知平面，不妨取平面的法向量為，故，即二面角的余弦值為8（2019新課標(biāo)）如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值【解答】證明：（1）長(zhǎng)方體中，平面，平面解：（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，平面，則，1，1，1，0，0，面，故取平面的法向量為，0，設(shè)平面的法向量，由，得，取，得，二面角的正弦值為9（2021天津）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值【解答】（1）證明：以點(diǎn)

7、為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，0，1，2，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，又，2，2，所以，則，又平面，故平面；（2）解：由（1）可知，則，故直線與平面所成角的正弦值為；（3）解：由（1）可知，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，所以，故二面角的正弦值為10（2021北京）已知正方體，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)（1）求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求【解答】（1）證明：連結(jié)，在正方體中，平面，平面，則平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，則，故，又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，所以，而點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，故，則點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）解：以點(diǎn)為

8、原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，設(shè)點(diǎn)，0，且，則，2，1，1，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，所以，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，所以，故，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，則，解得，又，所以，故11（2021乙卷）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為中點(diǎn)，且（1）求；（2）求二面角的正弦值【解答】解：（1）連結(jié)，因?yàn)榈酌?，且平面，則，又，平面，所以平面，又平面，則，所以，又，則有，所以，則，所以，解得；（2）因?yàn)椋瑑蓛纱怪?，故以點(diǎn)位坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，0，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，故，所以，設(shè)二面角的平面角為，

9、則，所以二面角的正弦值為12（2021甲卷）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小？【解答】（1）證明：連接，分別為直三棱柱的棱和的中點(diǎn)，且，即，故以為原點(diǎn)，所在直線分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，0，2，1，2，設(shè)，則，0，2，1，即（2）解：平面，平面的一個(gè)法向量為，0，由（1）知，1，1，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，當(dāng)時(shí)，面與面所成的二面角的余弦值最大，此時(shí)正弦值最小，故當(dāng)時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小13（2019新課標(biāo)）如圖，直四棱柱的底面是菱形，分別是，的中點(diǎn)（1）證明：平面

10、；（2）求二面角的正弦值【解答】（1）證明：如圖，過作，則，且，又，四邊形為平行四邊形，則，由，為中點(diǎn)，得為中點(diǎn)，而為中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于的直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，1，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，又平面的一個(gè)法向量為，二面角的正弦值為14（2021新高考）如圖，在三棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，且二面角的大小為，求三棱錐的體積【解答】解：（1）證明：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）方法一：

11、取的中點(diǎn)，因?yàn)闉檎切?，所以，過作與交于點(diǎn)，則，所以，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，1，設(shè)，0，則，因?yàn)槠矫妫势矫娴囊粋€(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，又，所以由，得，令，則，故，因?yàn)槎娼堑拇笮椋?，解得，所以，又，所以，故方法二：過作，交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，連結(jié)，由題意可知，又平面所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，則為二面角的平面角，即，又，所以，則，故，所以，因?yàn)?，則，所以，則，所以，則，所以15（2020江蘇）在三棱錐中，已知，為的中點(diǎn)，平面，為中點(diǎn)（1）求直線與所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)在上，滿足，設(shè)二面角的大小為，求

12、的值【解答】解：（1）如圖，連接，為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，0，2，0，是的中點(diǎn)，1，設(shè)直線與所成角為，則，即直線與所成角的余弦值為；（2），設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得16（2020新課標(biāo)）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，求二面角的正弦值【解答】（1）證明：在上取點(diǎn)，使得，連接，在長(zhǎng)方體中，有，且又，四邊形和四邊形都是平行四邊形，且，且又在長(zhǎng)方體中，有，且，且，則四邊形為平行四邊形，且，又，且，且，則四邊形為平行四邊形，點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）解：在長(zhǎng)方體中，以為

13、坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，1，0，1，1，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，取，得；設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，取，得設(shè)二面角為，則二面角的正弦值為17（2019天津）如圖，平面，（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)【解答】（）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，0，0，2，1，0，設(shè)，則，2，則是平面的法向量，又，可得又直線平面，平面；（）解：依題意，設(shè)為平面的法向量，則，令，得直線與平面所成角的正弦值為；（）解：設(shè)為平面的法向量，則，取，可得，由題意，解得經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意線段的長(zhǎng)為18（2019新

14、課標(biāo)）圖1是由矩形、和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2（1）證明：圖2中的，四點(diǎn)共面，且平面平面；（2）求圖2中的二面角的大小【解答】證明：（1）由已知得，確定一個(gè)平面，四點(diǎn)共面，由已知得，面，平面，平面平面解：（2）作，垂足為，平面，平面平面，平面，由已知，菱形的邊長(zhǎng)為2，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系，則，1，0，0， ，0，設(shè)平面的法向量，則，取，得，6，又平面的法向量為，1，二面角的大小為19（2018新課標(biāo)）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)

15、，求面與面所成二面角的正弦值【解答】解：（1）證明：在半圓中，正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，平面，則，平面，平面，平面平面（2）的面積為定值，要使三棱錐體積最大，則三棱錐的高最大，此時(shí)為圓弧的中點(diǎn)，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖正方形的邊長(zhǎng)為2，1，0，則平面的法向量，0，設(shè)平面的法向量為，則，2，1，由，令，則，即，0，則，則面與面所成二面角的正弦值20（2018新課標(biāo)）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值【解答】（1）證明：連接，是的中點(diǎn)，且，又，則，則，平面；（2）建立以坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為，軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：，0，2，0，2，設(shè)，則，則平面的法向量為，0，設(shè)平面的法向量為，則，則，令，則，即，二面角為，即，解得