現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第二章的課件

1、1第二章 線(xiàn)性控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式2.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖2.3 狀態(tài)表達(dá)式的建立（一）2.4 狀態(tài)表達(dá)式的建立（二）2.5 狀態(tài)向量的線(xiàn)性變換（坐標(biāo)變換）2.6 從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)2.7 時(shí)變系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式22.1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式系統(tǒng)方塊圖3一、狀態(tài)變量系統(tǒng)的狀態(tài)變量是系統(tǒng)中足以描述系統(tǒng)時(shí)域行為的最小一組變量。當(dāng)它在tt0時(shí)刻的值已知時(shí)，則在給定tt0時(shí)間的輸入作用下，便能完全地確定系統(tǒng)在任何tt0時(shí)間的系統(tǒng)行為。狀態(tài)變量的確定和個(gè)數(shù)n階微分方程要唯一確定其解，必須已知n個(gè)獨(dú)立的初始條件n階系統(tǒng)的n個(gè)獨(dú)立變量取決

2、于系統(tǒng)中的獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)2.14二、狀態(tài)向量如果n個(gè)狀態(tài)變量用x1(t), x2(t), xn(t)表示，并把這些狀態(tài)變量看作矢量X(t)的分量，則X(t)稱(chēng)為狀態(tài)向量。記作2.15三、狀態(tài)空間狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量x1(t), x2(t), xn(t)為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維空間狀態(tài)空間。狀態(tài)軌跡：X(t0)對(duì)應(yīng)狀態(tài)空間中的一個(gè)初始點(diǎn)，隨著時(shí)間的推移， X(t)將在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡。2.16四、狀態(tài)方程狀態(tài)方程：由系統(tǒng)狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組。例：R-L-C網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程建立2.17R-L-C網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程建立此系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件，即電容C和電感L，所以應(yīng)有兩個(gè)狀態(tài)變量。狀態(tài)變

3、量的選取原則上是任意的，考慮到系統(tǒng)的物理特性，可選取流經(jīng)電感的電流i和電容兩端的電壓uc為系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量。2.18R-L-C網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程建立根據(jù)基爾霍夫定理，可得含有狀態(tài)變量的一階微分方程組2.19R-L-C網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程建立經(jīng)整理得R-L-C網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程為2.110R-L-C網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程建立用一般符號(hào)表示，令x1=uc， x2=i并寫(xiě)成向量矩陣形式，則狀態(tài)方程為2.1向量矩陣形式11R-L-C網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程建立或2.112五、輸出方程輸出方程：系統(tǒng)輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式。上述R-L-C網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，若指定x1=uc作為輸出，輸出一般用y表示，則有 y=uc 或 y=x1它的矩陣

4、表達(dá)式為 2.113六、狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程和輸出方程一起構(gòu)成的對(duì)系統(tǒng)的完整的動(dòng)態(tài)描述。R-L-C網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式(x1=uc， x2=i)2.114在經(jīng)典控制理論中， R-L-C網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程描述采用兩階微分方程，若以u(píng)c為輸出，由上述的狀態(tài)方程中消去i得2.115R-L-C網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的另一種狀態(tài)變量的選取R-L-C網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，若取 作為狀態(tài)變量，則狀態(tài)方程為2.116從高階微分方程或從傳遞函數(shù)變?yōu)闋顟B(tài)方程，即多個(gè)一階微分方程，則此時(shí)的狀態(tài)方程可以有無(wú)窮多種，因?yàn)闋顟B(tài)變量的選取可以有無(wú)窮多種。狀態(tài)變量的非唯一性與傳遞函數(shù)并未描述系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)即系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不確定有關(guān)2.11

5、7同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取不同，狀態(tài)方程也不同。理論上，狀態(tài)變量的選取可以沒(méi)有任何物理意義；工程實(shí)際中，狀態(tài)變量的選取以可以測(cè)量的物理量為宜。2.118系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：建立系統(tǒng)的輸入、狀態(tài)和輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式 。2.1輸入輸出描述的系統(tǒng)方塊圖 引入系統(tǒng)狀態(tài)后的系統(tǒng)方塊圖 19系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的各變量之間的相互關(guān)系可以描述為：系統(tǒng)的輸入引起狀態(tài)的變化，再進(jìn)而引起輸出的變化。相應(yīng)的，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)也由如下兩組方程分別描述 2.1（2.11）（2.12）（2.11）式狀態(tài)方程， （2.12）式輸出方程，20上面兩個(gè)方程也可細(xì)寫(xiě)成2.121線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2.1

6、 線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式22七、狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)方塊圖2.1232.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖模擬結(jié)構(gòu)圖反映了狀態(tài)變量間的信息傳遞關(guān)系繪制狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖例1：242.225例2：二輸入、二輸出系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖2.2262.2272.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(一)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立途徑：由系統(tǒng)方塊圖建立從系統(tǒng)的物理或化學(xué)機(jī)理出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)由高階微分方程或傳遞函數(shù)變換獲得28一、由系統(tǒng)方塊圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式直流電動(dòng)機(jī)在電樞控制時(shí)的方塊圖描述2.3292.3選狀態(tài)變量 x1=ia , x2=,輸入u= ua ,輸出 y =，得該系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：30二、從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)

7、建立狀態(tài)空間表達(dá)式例：倒立擺系統(tǒng)2.331小車(chē)沿水平方向的力平衡方程是 2.3考慮到對(duì)所研究的對(duì)象，0，兩式可線(xiàn)性化為 32或2.333設(shè)狀態(tài)變量 輸入u , 輸出 y=z，則狀態(tài)空間描述為2.3342.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（二）實(shí)現(xiàn)問(wèn)題：由描述系統(tǒng)輸入輸出動(dòng)態(tài)關(guān)系的運(yùn)動(dòng)方程式或傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式?？紤]一個(gè)單輸入、單輸出的線(xiàn)性定常系統(tǒng)： 式中u為輸入，y為輸出 35寫(xiě)成傳遞函數(shù)形式為 ：2.4 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式能控標(biāo)準(zhǔn)型362.4設(shè)372.4能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)：382.4能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)：392.4例：系統(tǒng)輸入輸出微分方程為試求其狀態(tài)空間表達(dá)式。解：40例：試求下列系統(tǒng)的狀態(tài)空間

8、表達(dá)式。解： 2.4412.5 狀態(tài)向量的線(xiàn)性變換（坐標(biāo)變換）一、系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性對(duì)給定的線(xiàn)性定常系統(tǒng)： 總可以找到任意一個(gè)非奇異的矩陣T，對(duì)X作線(xiàn)性變換，得到另一個(gè)狀態(tài)向量Z。 設(shè) X=TZ 即 Z=T-1X42則可得以Z為狀態(tài)向量的狀態(tài)空間表達(dá)式2.5 由于T為任意非奇異矩陣，故狀態(tài)空間表達(dá)式非唯一。43例：某系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為2.5解：1）442.5經(jīng)變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為452.5解：2）經(jīng)變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為46二、系統(tǒng)特征值的不變性1、系統(tǒng)的特征值：系統(tǒng)矩陣A的特征值 2.5即特征方程的根2、系統(tǒng)特征值的不變性需證明 和 的特征多項(xiàng)式相同。證明：472.53、

9、特征向量為系統(tǒng)的特征值， 對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量為 而，或，。 例：48A的特征值是1、2、3 對(duì)應(yīng)于的特征向量是下列方程的非零解2.5492.5對(duì)應(yīng)于的特征向量是下列方程的非零解對(duì)應(yīng)于的特征向量是下列方程的非零解502.5三、狀態(tài)空間描述變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型511、A陣非規(guī)范形式時(shí)1）A特征值無(wú)重根時(shí)2.552例：2.5解： A的特征值是1、2、3 532.5542.52）A特征值有重根時(shí)不失一般性，設(shè)A為一44矩陣，特征值為4重根。為將A變成約旦標(biāo)準(zhǔn)型，則求(IA)qi=0 的解qi ， qi的線(xiàn)性獨(dú)立解的維數(shù)為4rank(IA )431，即A對(duì)應(yīng)的獨(dú)立特征向量維數(shù)為1。顯然這時(shí)無(wú)法將A相

10、似變換成對(duì)角線(xiàn)形式。為此，引入廣義特征向量的概念，使能獲得接近于對(duì)角線(xiàn)形式的J。比較簡(jiǎn)單的一種形式是 552.5由此引出廣義特征向量的定義即：562.5k4時(shí)的廣義特征向量鏈v1、v2 、v3 、v4，滿(mǎn)足 :(A I )v1=0(A I )v2= v1(A I )v3= v2(A I )v4= v3這里，v1仍為A對(duì)應(yīng)的特征向量， v2 、v3 、v4 為廣義特征向量。即變換矩陣的選取 Tv1 v2 v3 v4則 J= T-1AT57設(shè)A的特征根1有q重，其余n-q個(gè)根互異，變換矩陣T Tv1 v2 vq pq+1 pnpq+1， pn對(duì)應(yīng)于n-q個(gè)單根的特征向量，對(duì)應(yīng)于q個(gè)重根的廣義特征向

11、量v1 v2 vq 的求法如下：2.5(A I )v1=0(A I )v2= v1 (A I )vq= vq-1582.5廣義特征向量：向量V如滿(mǎn)足以下條件，則稱(chēng)為k階廣 義特征向量 如果k=1，它就簡(jiǎn)化成(A I )V=0及V0，V就是特征向量。對(duì)于k4的廣義特征向量鏈，由定義 又：592.5 即:例：試將下列狀態(tài)空間表達(dá)式化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型602.5612.5622.563例：如果A具有兩個(gè)或兩個(gè)以上特征值，例如有13重根，2沒(méi)有重根，則可能具有以下之一的形式 2.5642、A陣為規(guī)范形式時(shí)2.51） A的特征值 1，2，互異，變換陣T為范德蒙矩陣 652.52） A的特征值有重根時(shí)，與1)有

12、所不同例：有特征值1 、 1、 3 ，作非奇異線(xiàn)性變換 662.5672.5例：考慮下列系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式： 解：矩陣A的特征值為作變換 682.5變換后得：692.53、系統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)1) 考慮分母多項(xiàng)式中只含相異根的情況 設(shè)得到70得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的約旦（對(duì)角線(xiàn)）標(biāo)準(zhǔn)形 ：2.5712） 分母多項(xiàng)式中含有重根的情況 2.5假設(shè)系統(tǒng)極點(diǎn)除了前3個(gè)即 相等外，其余極點(diǎn) 相異 72系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 2.5732.5求下列系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型解：742.6 由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣 一、傳遞函數(shù)（陣）對(duì)給定的線(xiàn)性定常系統(tǒng)：取拉氏變換 75整理后得 若則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 2.6762.6

13、對(duì)單變量系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為：例：求下列系統(tǒng)的傳遞函數(shù)772.6解：782.6對(duì)傳遞函數(shù)陣，若，則是嚴(yán)格正則有理函數(shù)陣。而若是常數(shù)陣，則是正則有理函數(shù)陣。 792.6二、子系統(tǒng)各種聯(lián)結(jié)時(shí)的傳遞函數(shù)陣兩個(gè)子系統(tǒng)S1和S2的三種連接方塊圖802.6設(shè)的狀態(tài)空間描述為 1、并聯(lián)聯(lián)結(jié)， 并聯(lián)聯(lián)結(jié)時(shí)的狀態(tài)空間表達(dá)式：812.6組合系統(tǒng)的狀態(tài) ，于是得 組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 所以 822.6n個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)連接 2、串聯(lián)聯(lián)結(jié)，以及 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 832.6經(jīng)整理得串聯(lián)連接的組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 843、反饋聯(lián)結(jié)852.6， 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 整理得 862.6反饋聯(lián)結(jié)的傳遞函數(shù)陣推導(dǎo)如下 于是有若 是非奇異的，則得反饋連接的組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為：872.6如果與都是非奇異的，則所以反饋連接的組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣另一表達(dá)式為：882.7 時(shí)變系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式一、線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)892.7二、非線(xiàn)性系統(tǒng)設(shè)非線(xiàn)性系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于的狀態(tài)空間描述為 或 或 將上式中的和在的鄰域內(nèi)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，有902.7式中， 。